Kurs:Lineare Algebra/Teil II/12/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	0	6	2	0	4	4	1	0	3	0	3	5	1	3	7	0	45

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Isometrie

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen euklidischen Vektorräumen.

2. Eine Orthogonalbasis in einem ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.
3. Der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
4. Ein Ringhomomorphismus

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   zwischen Ringen ${}R$ und ${}S$.

5. Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$.
6. Die ${}n$-te äußere Potenz zu einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).

Lösung

1. Die Abbildung ${}\varphi$ heißt eine Isometrie, wenn für alle ${}v,w\in V$ gilt:

   ${}\left\langle \varphi (v),\varphi (w)\right\rangle =\left\langle v,w\right\rangle \,.$

2. Eine Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von ${}V$ heißt Orthogonalbasis, wenn

   $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

   gilt.

3. Der Untervektorraum

   ${\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in V\right\}}$

   heißt Ausartungsraum zur Bilinearform.

4. Die Abbildung

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

   1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$
   2. ${}\varphi (1)=1$
   3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.
5. Zwei Basen ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ heißen orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
6. Man nennt den ${}K$-Vektorraum ${}\bigwedge ^{n}V$ das ${}n$-te Dachprodukt von ${}V$.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren.
2. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes ${}g\in G$ in einer endlichen Gruppe ${}G$.
3. Der Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.

Lösung

1. Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Dann gibt es eine Orthonormalbasis ${}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ mit

   ${}\langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{i}\rangle \,$

   für alle ${}i=1,\ldots ,n$.
2. Die Ordnung von ${}g$ teilt die Ordnung der Gruppe.
3. Es sei ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension ${}n$. Dann entsprechen durch die Zuordnung

   $[v_{1},\ldots ,v_{n}]\longmapsto [v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}]$

   die Orientierungen

   auf ${}V$ den Orientierungen auf ${}\bigwedge ^{n}V$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

Lösung

Die Aussage wird durch Induktion über ${}i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für ${}i=1$ muss man lediglich ${}v_{1}$ normieren, also durch ${}u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}$ ersetzen. Es sei die Aussage für ${}i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren ${}u_{1},\ldots ,u_{i}$ mit ${}\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ bereits konstruiert. Wir setzen

$w_{i+1}=v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$

Dieser Vektor steht wegen

${}{\begin{aligned}\left\langle w_{i+1},u_{j}\right\rangle &=\left\langle v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle -\sum _{k\leq i,k\neq j}\left\langle v_{i+1},u_{k}\right\rangle \left\langle u_{k},u_{j}\right\rangle -\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle \left\langle u_{j},u_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle -\left\langle v_{i+1},u_{j}\right\rangle \\&=0\end{aligned}}$

senkrecht auf allen ${}u_{1},\ldots ,u_{i}$ und offenbar ist

${}\langle u_{1},\ldots ,u_{i},w_{i+1}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}\rangle \,.$

Durch Normieren von ${}w_{i+1}$ erhält man ${}u_{i+1}$.

Aufgabe (2 Punkte)

Durch die Matrix

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0&0\\\sin \alpha &-\cos \alpha &0&0\\0&0&\cos \beta &\sin \beta \\0&0&\sin \beta &-\cos \beta \end{pmatrix}}$

ist eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} ^{4}$ gegeben (${}\alpha ,\beta \in [0,\pi [$). Bestimme die Eigenwerte und ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von ${}\varphi$.

Lösung

Die Abbildung ist die direkte Summe der beiden durch

${\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha \\\sin \alpha &-\cos \alpha \end{pmatrix}}$

und

${\begin{pmatrix}\cos \beta &\sin \beta \\\sin \beta &-\cos \beta \end{pmatrix}}$

gegebenen linearen Abbildungen. Diese sind beide Achsenspiegelungen und können daher auf die Form

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

gebracht werden. Die Eigenwerte sind demnach ${}1$ und ${}-1$, die algebraische und geometrische Vielfachheit ist jeweils ${}2$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz des Thales.

Lösung

Ohne Einschränkung sei ${}E=\mathbb {R} ^{2}$ und ${}P=0$. Wir schreiben „vektoriell“ ${}w=C$, ${}v=A$, somit ist ${}B=-v$. Der Verbindungsvektor von ${}A$ nach ${}C$ ist dann ${}-v+w$ und der Verbindungsvektor von ${}B$ nach ${}C$ ist dann ${}v+w$. Somit ist

${}{\begin{aligned}\left\langle -v+w,v+w\right\rangle &=\left\langle -v,v\right\rangle +\left\langle -v,w\right\rangle +\left\langle w,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle v,w\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-\left\langle v,v\right\rangle +\left\langle w,w\right\rangle \\&=-r^{2}+r^{2}\\&=0,\end{aligned}}$

also sind diese Seiten senkrecht zueinander.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf einem zweidimensionalen reellen Vektorraum, die bezüglich einer Basis durch die Gramsche Matrix

${\begin{pmatrix}0&b\\b&c\end{pmatrix}}$

beschrieben werde. Bestimme den Typ der Form in Abhängigkeit von ${}b,c$.

Lösung

Wir verwenden das Eigenwertkriterium. Das charakteristische Polynom der Matrix ist

${}X(X-c)-b^{2}=X^{2}-cX-b^{2}\,.$

Bei ${}b\neq 0$ ist der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle ${}0$ negativ. Somit gibt es eine negative und eine positive Nullstelle und daher ist der Typ gleich ${}(1,1)$. Es sei also ${}b=0$. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind dann ${}0$ und ${}c$. Bei ${}c=0$ liegt die Nullform mit dem Typ ${}(0,0)$ vor. Bei negativem ${}c$ ist der Typ ${}(0,1)$ und bei positivem ${}c$ ist der Typ ${}(1,0)$.

Aufgabe (1 Punkt)

Ist eine Achsenspiegelung im ${}\mathbb {R} ^{2}$ selbstadjungiert?

Lösung

Eine Achsenspiegelung ist eine Isometrie und zu sich selbst invers, somit ist sie selbstadjungiert.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}G$ eine Gruppe und ${}g\in G$ ein Element, und seien ${}m,n\in \mathbb {Z}$ ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

1. Es ist ${}g^{0}=e_{G}$.
2. Es ist ${}g^{m+n}=g^{m}g^{n}$.

Lösung

Die erste Aussage folgt aus der Definition. Die zweite Aussage ist klar, wenn beide Zahlen ${}\geq 0$ oder beide ${}\leq 0$ sind. Es sei also ${}m$ positiv und ${}n$ negativ. Bei ${}m\geq -n$ kann man in ${}g^{m}g^{n}$ „innen“ ${}-n$-mal ${}g$ mit ${}g^{-1}$ zu ${}e_{G}$ kürzen, und übrig bleibt die ${}m-(-n)=(m+n)$-te Potenz von ${}g$, also ${}g^{m+n}$. Bei ${}m<-n$ kann man ${}m$-mal ${}g$ mit ${}g^{-1}$ kürzen und übrig bleibt die ${}-n-m=-(m+n)$- te Potenz von ${}g^{-1}$. Das ist wieder ${}g^{m+n}$.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere ist, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?

Lösung

Wir betrachten die Puzzleteile je nachdem, ob sie ${}0,1,2,3$ oder ${}4$ Ausbuchtungen haben (was die Anzahl der Einbuchtungen festlegt). Bei keiner Ausbuchtung gibt es keine weitere Unterscheidung. Bei einer Ausbuchtung kann die Ausbuchtung an einer kurzen oder an einer langen Seite sein. Bei zwei Ausbuchtungen gibt es vier Möglichkeiten: Die beiden Ausbuchtungen können gegenüber an den kurzen Seiten, oder gegenüber an den langen Seiten, oder nebeneinander an einer kurzen und an einer langen Seite sein. Im letzteren Fall macht es aber noch einen Unterschied, ob, wenn man die Ausbuchtung an der kurzen Seite nach oben dreht, die Ausbuchtung an der langen Seite links oder rechts liegt. Für drei Ausbuchtungen gibt es wieder zwei und bei vier Ausbuchtungen wieder eine Möglichkeit. Insgesamt gibt es also

${}1+2+4+2+1=10\,$

Typen.

Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte den Würfel

Es sei ${}\alpha$ die Gerade durch ${}A$ und ${}G$, es sei ${}\beta$ die Gerade durch ${}B$ und ${}H$, es sei ${}\gamma$ die Gerade durch ${}C$ und ${}E$, es sei ${}\delta$ die Gerade durch ${}D$ und ${}F$. Man beschreibe die Wirkungsweise der folgenden Würfelbewegungen auf der Menge ${}M=\{\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \}$.

1. Die Halbdrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse.
2. Die Vierteldrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse, die ${}A$ in ${}B$ überführt.
3. Die Halbdrehung um die Kantenmittelpunktsachse zur Kante ${}A,E$.
4. Die Dritteldrehung um die Raumachse ${}\alpha$, die ${}B$ in ${}D$ überführt.

Gibt es eine Würfelbewegung (wenn ja, welche?), die ${}\alpha$ auf ${}\alpha$, ${}\beta$ auf ${}\beta$ abbildet und die ${}\gamma$ und ${}\delta$ vertauscht?

Lösung

Die in Frage stehende Abbildung sei mit ${}\varphi$ bezeichnet.

(1)

${}g$	${}\alpha$	${}\beta$	${}\gamma$	${}\delta$
${}\varphi (g)$	${}\gamma$	${}\delta$	${}\alpha$	${}\beta$

(2)

${}g$	${}\alpha$	${}\beta$	${}\gamma$	${}\delta$
${}\varphi (g)$	${}\beta$	${}\gamma$	${}\delta$	${}\alpha$

(3)

${}g$	${}\alpha$	${}\beta$	${}\gamma$	${}\delta$
${}\varphi (g)$	${}\gamma$	${}\beta$	${}\alpha$	${}\delta$

(4)

${}g$	${}\alpha$	${}\beta$	${}\gamma$	${}\delta$
${}\varphi (g)$	${}\alpha$	${}\delta$	${}\beta$	${}\gamma$

Es gibt eine solche Würfelbewegung: Die Halbdrehung um die Kantenmittelpunktsachse zur Kante ${}C,D$ hat diese Eigenschaft.

Aufgabe (1 Punkt)

Man gebe ein Beispiel für eine uneigentliche Symmetrie des Achsenkreuzes im ${}\mathbb {R} ^{3}$ in Matrixform.

Lösung

${}-E_{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, die nicht stabil ist, für die aber die Folge ${}{\left(\det \varphi \right)}^{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, gegen ${}0$ konvergiert.

Lösung

Wir betrachten die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}\,.$

Dabei ist

${}M^{n}={\begin{pmatrix}2&0\\0&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}2^{n}&0\\0&{\frac {1}{3^{n}}}\end{pmatrix}}\,$

und wegen dem Eintrag links oben ist diese Matrixpotenzfolge nicht beschränkt, die Matrix ist also nicht stabil. Es ist

${}\det M^{n}=\det {\begin{pmatrix}2^{n}&0\\0&{\frac {1}{3^{n}}}\end{pmatrix}}={\left({\frac {2}{3}}\right)}^{n}\,$

und diese Folge konvergiert gegen ${}0$.

Aufgabe (7 (5+2) Punkte)

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

${\begin{pmatrix}p&0&1-r\\1-p&q&0\\0&1-q&r\end{pmatrix}}$

mit ${}0\leq p,q,r\leq 1$.

1. Berechne die Eigenwerte der Matrix.
2. Berechne eine Eigenverteilung.

Lösung

1. Das charakteristische Polynom der Matrix ist

   ${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}X-p&0&r-1\\p-1&X-q&0\\0&q-1&X-r\end{pmatrix}}&=(X-p)(X-q)(X-r)+(p-1)(q-1)(r-1)\\&=X^{3}-(p+q+r)X^{2}+(pq+pr+qr)X-pqr+pqr-(pq+pr+qr)+pqr-1\\&=X^{3}-(p+q+r)X^{2}+(pq+pr+qr)X-(pq+pr+qr)+pqr-1.\end{aligned}}$

   Nach Fakt ***** ist ${}1$ ein Eigenwert (was man auch direkt sieht), somit ist ${}X-1$ ein Faktor und man erhält die Zerlegung

   ${}{\begin{aligned}X^{3}-(p+q+r)X^{2}+(pq+pr+qr)X-(pq+pr+qr)+pqr-1&=(X-1)(X^{2}+(1-(p+q+r))X+pq+pr+qr-pqr+1)\\\end{aligned}}$

   Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen sind die Nullstellen des rechten Faktors gleich

   ${}\lambda _{2}=-{\frac {1-(p+q+r)}{2}}+{\sqrt {{\frac {(1-(p+q+r))^{2}}{4}}-pq+pr+qr+pqr-1}}\,$

   und

   ${}\lambda _{3}=-{\frac {1-(p+q+r)}{2}}-{\sqrt {{\frac {(1-(p+q+r))^{2}}{4}}-pq+pr+qr+pqr-1}}\,,$

   wobei die Quadratwurzel eventuell komplex zu verstehen ist.

2. Es geht um den Kern der Matrix

   ${\begin{pmatrix}1-p&0&r-1\\p-1&1-q&0\\0&q-1&1-r\end{pmatrix}}.$

   Bei ${}p=1$ gehört ${}e_{1}$ zum Kern, bei ${}q=1$ gehört ${}e_{2}$ zum Kern, bei ${}r=1$ gehört ${}e_{3}$ zum Kern. Es seien also ${}p,q,r\neq 1$. Ein nichttriviales Element im Kern ist dann

   ${\begin{pmatrix}(1-q)(1-r))\\(1-p)(1-r)\\(1-p)(1-q)\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung