Kurs:Lineare Algebra/Teil II/12/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 0 6 2 0 4 4 1 0 3 0 3 5 1 3 7 0 45




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Isometrie

    zwischen euklidischen Vektorräumen.

  2. Eine Orthogonalbasis in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  3. Der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform auf einen -Vektorraum .
  4. Ein Ringhomomorphismus

    zwischen Ringen und .

  5. Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .
  6. Die -te äußere Potenz zu einem -Vektorraum (es genügt, das Symbol dafür anzugeben).


Lösung

  1. Die Abbildung heißt eine Isometrie, wenn für alle gilt:
  2. Eine Basis , , von heißt Orthogonalbasis, wenn

    gilt.

  3. Der Untervektorraum

    heißt Ausartungsraum zur Bilinearform.

  4. Die Abbildung

    heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

    1. .
  5. Zwei Basen und heißen orientierungsgleich, wenn die Determinante ihrer Übergangsmatrix positiv ist.
  6. Man nennt den -Vektorraum das -te Dachprodukt von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren.
  2. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes in einer endlichen Gruppe .
  3. Der Satz über Orientierungen auf einem Vektorraum und dem Dachprodukt.


Lösung

  1. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei eine Basis von . Dann gibt es eine Orthonormalbasis von mit
    für alle .
  2. Die Ordnung von teilt die Ordnung der Gruppe.
  3. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum der Dimension . Dann entsprechen durch die Zuordnung

    die Orientierungen

    auf den Orientierungen auf .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt.


Lösung

Die Aussage wird durch Induktion über bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für muss man lediglich normieren, also durch ersetzen. Sei die Aussage für schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren mit bereits konstruiert. Wir setzen

Dieser Vektor steht wegen

senkrecht auf allen und offenbar ist

Durch Normieren von erhält man .


Aufgabe (2 Punkte)

Durch die Matrix

ist eine lineare Abbildung gegeben (). Bestimme die Eigenwerte und ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten von .


Lösung

Die Abbildung ist die direkte Summe der beiden durch

und

gegebenen linearen Abbildungen. Diese sind beide Achsenspiegelungen und können daher auf die Form

gebracht werden. Die Eigenwerte sind demnach und , die algebraische und geometrische Vielfachheit ist jeweils .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz des Thales.


Lösung

Ohne Einschränkung sei und . Wir schreiben „vektoriell“ , , somit ist . Der Verbindungsvektor von nach ist dann und der Verbindungsvektor von nach ist dann . Somit ist

also sind diese Seiten senkrecht zueinander.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Bilinearform auf einem zweidimensionalen reellen Vektorraum, die bezüglich einer Basis durch die Gramsche Matrix

beschrieben werde. Bestimme den Typ der Form in Abhängigkeit von .


Lösung

Wir verwenden das Eigenwertkriterium. Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Bei ist der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle negativ. Somit gibt es eine negative und eine positive Nullstelle und daher ist der Typ gleich . Sei also . Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind dann und . Bei liegt die Nullform mit dem Typ vor. Bei negativem ist der Typ und bei positivem ist der Typ .


Aufgabe (1 Punkt)

Ist eine Achsenspiegelung im selbstadjungiert?


Lösung

Eine Achsenspiegelung ist eine Isometrie und zu sich selbst invers, somit ist sie selbstadjungiert.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Gruppe und ein Element, und seien ganze Zahlen. Zeige die folgenden Potenzgesetze.

  1. Es ist .
  2. Es ist .


Lösung

Die erste Aussage folgt aus der Definition. Die zweite Aussage ist klar, wenn beide Zahlen oder beide sind. Sei also positiv und negativ. Bei kann man in „innen“ -mal mit zu kürzen, und übrig bleibt die -te Potenz von , also . Bei kann man -mal mit kürzen und übrig bleibt die - te Potenz von . Das ist wieder .


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Wikt puzzle favicon.svg

Die Puzzleteile für ein Puzzle haben eine grob rechteckige Form, wobei die eine Seite erkennbar länger als die andere sei, und auf jeder Seite gibt es entweder eine Einbuchtung oder eine Ausbuchtung. Wie viele Typen von Puzzelteilen gibt es?


Lösung

Wir betrachten die Puzzleteile je nachdem, ob sie oder Ausbuchtungen haben (was die Anzahl der Einbuchtungen festlegt). Bei keiner Ausbuchtung gibt es keine weitere Unterscheidung. Bei einer Ausbuchtung kann die Ausbuchtung an einer kurzen oder an einer langen Seite sein. Bei zwei Ausbuchtungen gibt es vier Möglichkeiten: Die beiden Ausbuchtungen können gegenüber an den kurzen Seiten, oder gegenüber an den langen Seiten, oder nebeneinander an einer kurzen und an einer langen Seite sein. Im letzteren Fall macht es aber noch einen Unterschied, ob, wenn man die Ausbuchtung an der kurzen Seite nach oben dreht, die Ausbuchtung an der langen Seite links oder rechts liegt. Für drei Ausbuchtungen gibt es wieder zwei und bei vier Ausbuchtungen wieder eine Möglichkeit. Insgesamt gibt es also

Typen.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte den Würfel

Snijden kruisen evenwijdig.png


Es sei die Gerade durch und , es sei die Gerade durch und , es sei die Gerade durch und , es sei die Gerade durch und . Man beschreibe die Wirkungsweise der folgenden Würfelbewegungen auf der Menge .

  1. Die Halbdrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse.
  2. Die Vierteldrehung durch die vertikale Seitenmittelpunktsachse, die in überführt.
  3. Die Halbdrehung um die Kantenmittelpunktsachse zur Kante .
  4. Die Dritteldrehung um die Raumachse , die in überführt.

Gibt es eine Würfelbewegung (wenn ja, welche?), die auf , auf abbildet und die und vertauscht?


Lösung

Die in Frage stehende Abbildung sei mit bezeichnet.

(1)

(2)

(3)

(4)

Es gibt eine solche Würfelbewegung: Die Halbdrehung um die Kantenmittelpunktsachse zur Kante hat diese Eigenschaft.


Aufgabe (1 Punkt)

Man gebe ein Beispiel für eine uneigentliche Symmetrie des Achsenkreuzes im in Matrixform.


Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, die nicht stabil ist, für die aber die Folge , , gegen konvergiert.


Lösung

Wir betrachten die Matrix

Dabei ist

und wegen dem Eintrag links oben ist diese Matrixpotenzfolge nicht beschränkt, die Matrix ist also nicht stabil. Es ist

und diese Folge konvergiert gegen .


Aufgabe (7 (5+2) Punkte)

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

mit .

  1. Berechne die Eigenwerte der Matrix.
  2. Berechne eine Eigenverteilung.


Lösung

  1. Das charakteristische Polynom der Matrix ist
    Nach Fakt ***** ist ein Eigenwert (was man auch direkt sieht), somit ist ein Faktor und man erhält die Zerlegung
    Nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen sind die Nullstellen des rechten Faktors gleich

    und

    wobei die Quadratwurzel eventuell komplex zu verstehen ist.

  2. Es geht um den Kern der Matrix

    Bei gehört zum Kern, bei gehört zum Kern, bei gehört zum Kern. Seien also . Ein nichttriviales Element im Kern ist dann


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung