Lösung
- Zwei Vektoren heißen orthogonal zueinander, wenn
-
ist.
- In einem
Dreieck
in einer
euklidischen Ebene
heißt der Schnittpunkt der
Höhe
durch mit der Geraden durch
und
der
Höhenfußpunkt
dieser Höhe.
- Eine quadratische
komplexe
Matrix
-
heißt
hermitesch,
wenn
-
für alle gilt.
- Ein
Endomorphismus
-
heißt
normal,
wenn und
vertauschbar
sind.
- Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine
Relation,
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
(für beliebige ).
- .
- Aus folgt .
- Aus und folgt .
- Eine Teilmenge
eines
Körpers
heißt
Unterkörper
von , wenn folgende Eigenschaften gelten.
- Es ist .
- Mit ist auch .
- Mit ist auch .
- Mit ist auch .
- Mit , ist auch .
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die
Polarisationsformel
für ein
Skalarprodukt
auf einem reellen Vektorraum.
- Das
Minorenkriterium
für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
- Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.
Lösung
- Die Polarisationsformel besagt
-
- Es sei eine
symmetrische Bilinearform
auf einem
endlichdimensionalen
reellen Vektorraum
und sei eine
Basis
von . Es sei die
Gramsche Matrix
zu bezüglich dieser Basis. Die Determinanten der
quadratischen
Untermatrizen
-
seien alle von verschieden für . Es sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge
-
Dann ist vom
Typ
.
- Es sei ein
Körper,
ein
-
Vektorraum
und . Es sei
-
eine
alternierende
multilineare Abbildung
in einen weiteren -Vektorraum . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte
lineare Abbildung
-
derart, dass das Diagramm -
kommutiert.
Lösung
Es ist
und
Somit ist
-
Also ist
-
genau dann, wenn
-
ist.
Lösung
Der Abstand der beiden Punkte ist
-
Die Kreisgleichung ist somit
-
In der folgenden Aufgabe sollen Personen in der Ebene so platziert werden, dass je zwei Personen zueinander einen Abstand von zumindest haben
(alle Angaben beziehen sich auf Meter).
Die Personen bzw. ihre Platzierung sind dabei durch einen Punkt gegeben.
- Zeige, dass man auf einem quadratischen -Platz Leute platzieren kann
(Randpunkte sind erlaubt).
- Was ist falsch am folgenden Argument: „Auf einem -Platz kann man höchstens Leute platzieren. Zu jeder Person gehört nämlich ein Umkreis mit Radius , und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt
.
Diese Flächen liegen ganz in der Gesamtfläche der Größe
.
Wegen
-
ist dies nicht möglich.“
- Zeige, dass man auf einem -Platz definitiv nicht Leute platzieren kann.
- Zeige, dass man auf einem -Platz Leute platzieren kann.
Lösung
- Wir platzieren die Leute auf den Positionen
-
das sind
Leute.
- Für Leute, die am Rand platziert sind, muss nicht der volle Umkreis innerhalb der vorgegebenen Fläche liegen.
- Zu jeder Person gehört ein Umkreis mit Radius , und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt
.
Diese Flächen liegen zwar nicht ganz in der Gesamtfläche der Größe
,
da der Mittelpunkt aber zu der quadratischen -Fläche gehört, gibt es an den Rändern höchstens einen Überstand von . D.h. dass diese Kreise ganz in der umgebenden -Fläche liegt. Wegen
-
ist dies für Personen nicht möglich.
- Wir platzieren die Leute auf den Punkten eines Rasters, das aus gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge aufgebaut ist. Die Höhe eines solchen gleichseitigen Dreieckes ist nach dem Satz von Pythagoras gleich . Wegen
-
ist
-
daher kann man auf dem etwas größeren Rechteck nun sieben Zeilen platzieren
(die erste Zeile sei der untere Rand des Rechtecks).
Auf den Zeilen haben abwechselnd
bzw.
Leute Platz, dies ergibt
Leute.
Es seien die Seitenlängen eines Dreiecks. Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks gleich
-
ist.
Lösung
Wir nehmen an, dass der Höhenfußpunkt zur Höhe durch zwischen
und
liegt. Es sei die Länge dieser Höhe und der Höhenfußpunkt. Es sei die Länge von nach und die Länge von nach . Nach
dem Satz des Pythagoras
ist
-
und
-
woraus sich
-
also
-
und
-
ergibt. Somit ist
und daher
-
und letztlich
-
Lösung
Es sei die Gramsche Matrix der Bilinearform zu einer fixierten Basis. Wenn nicht invertierbar ist, so gibt es einen Vektor
mit
.
Dann ist auch
-
für alle
und die Form ist ausgeartet. Wenn umgekehrt die Bilinearform ausgeartet ist, so gibt es einen Vektor
mit
-
für alle
.
Doch daraus folgt wiederum, dass der Nullvektor ist, also die Gramsche Matrix nicht invertierbar ist.
Lösung
Es sei der
Ausartungsraum
der Bilinearform und ein
direktes Komplement,
also
-
Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf nicht ausgeartet. Es sei eine
Basis
von und eine Basis von . Die Vektoren können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren
orthogonal
stehen. Wir müssen uns also nur noch um kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch mit
-
Der Orthogonalraum zu besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension . Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis mit
-
Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis finden mit
-
für alle . Dies zeigen wir durch Induktion, seien schon konstruiert. Wir setzen
-
und setzen
-
Dann ist für
-
Berechne
-
in einem vierdimensionalen
Standard-Minkowski-Raum.
Lösung
Es ist
Lösung
Lösung /Aufgabe/Lösung
Für ein doppelverpacktes Geschenk soll eine würfelförmige Schachtel in eine etwas größere würfelförmige Schachtel hineingelegt werden. Bestimme auf unterschiedliche Arten, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt.
Lösung
Wir denken uns den größeren Würfel fest.
Es gibt Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Seite auszusuchen, die der Boden sein soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind Möglichkeiten.
Es gibt Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Ecke auszusuchen, die mit einer fixierten Ecke der größeren Würfelschachtel deckungsgleich werden soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind Möglichkeiten
Es gibt Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Kante auszusuchen, die mit einer fixierten Kante der größeren Würfelschachtel deckungsgleich werden soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind Möglichkeiten
Lösung /Aufgabe/Lösung
Beweise den Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.
Lösung
Aus (1) folgt (2). Es sei
.
Wir können mit einer beliebigen
Norm
auf und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann konvergiert wegen
-
die Folge gegen . Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und
-
eine Linearkombination ist, so ist
-
und aus der Konvergenz der beteiligten Folgen gegen folgt die Konvergenz dieser Summenfolge gegen . Von (2) bzw. (3) nach (4). Wir können
annehmen: Im reellen Fall kann man von
ausgehen und die Abbildung durch eine reelle Matrix ausdrücken und diese als komplexe Matrix auffassen. Das gegebene reelle Erzeugendensystem ist dann auch ein komplexes Erzeugendensysten für den . Es sei ein Eigenwert und
ein Eigenvektor zu . Da nach Voraussetzung
-
gegen konvergiert, muss gegen konvergieren und daher ist
-
Für den Schluss von (4) auf (1) verwenden wir
Lemma 53.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)),
es ist also
-
wobei die Nilpotenzordnung des nilpotenten Anteils ist. Die Eigenwerte von sind
nach Aufgabe 28.13 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
die Eigenwerte des diagonalisierbaren Anteils , sie seien mit bezeichnet. Die Summanden sind von der Form
-
zu einem festen
und einem Polynom . Die Diagonaleinträge von sind
(nach Diagonalisieren)
von der Form
-
und wegen
konvergiert dies für gegen . Daher konvergiert gegen die Nullabbildung und das gilt
nach Aufgabe 53.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
auch für das Produkt mit der festen Abbildung . Daher konvergiert auch die Summe gegen die Nullabbildung.
Lösung /Aufgabe/Lösung
Lösung
Es sei . Daher ist
-
Wir setzen
-
Für ist nach der Dreiecksungleichung
also ist und damit ist offen.
Lösung
- Es ist
- Der Eintrag rechts oben besitzt den Betrag und ist daher nicht beschränkt. Deshalb sind die Matrixpotenzen nicht beschränkt und somit auch nicht konvergent.