Kurs:Lineare Algebra/Teil II/20/Klausur mit Lösungen

From Wikiversity
Jump to navigation Jump to search


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 3 5 0 6 1 3 0 0 3 0 10 0 0 2 5 44




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Orthogonale Vektoren in einem reellen Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
  3. Eine hermitesche Matrix.
  4. Ein normaler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt .

  5. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  6. Ein Unterkörper eines Körpers .


Lösung

  1. Zwei Vektoren heißen orthogonal zueinander, wenn

    ist.

  2. In einem Dreieck in einer euklidischen Ebene heißt der Schnittpunkt der Höhe durch mit der Geraden durch und der Höhenfußpunkt dieser Höhe.
  3. Eine quadratische komplexe Matrix

    heißt hermitesch, wenn

    für alle gilt.

  4. Ein Endomorphismus

    heißt normal, wenn und vertauschbar sind.

  5. Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).
    1. .
    2. Aus folgt .
    3. Aus und folgt .
  6. Eine Teilmenge eines Körpers heißt Unterkörper von , wenn folgende Eigenschaften gelten.
    1. Es ist .
    2. Mit ist auch .
    3. Mit ist auch .
    4. Mit ist auch .
    5. Mit , ist auch .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Polarisationsformel für ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.
  2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
  3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.


Lösung

  1. Die Polarisationsformel besagt
  2. Sei eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei eine Basis von . Es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Die Determinanten der quadratischen Untermatrizen

    seien alle von verschieden für . Es sei die Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge

    Dann ist vom Typ

    .
  3. Es sei ein Körper, ein -Vektorraum und . Es sei

    eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren -Vektorraum . Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

    derart, dass das Diagramm
    kommutiert.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass für die Gleichheit genau dann gilt, wenn ist.


Lösung

Es ist

und

Somit ist

Also ist

genau dann, wenn

ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es seien die Seitenlängen eines Dreiecks. Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks gleich

ist.


Lösung

Wir nehmen an, dass der Höhenfußpunkt zur Höhe durch zwischen und liegt. Es sei die Länge dieser Höhe und der Höhenfußpunkt. Es sei die Länge von nach und die Länge von nach . Nach dem Satz des Pythagoras ist

und

woraus sich

also

und

ergibt. Somit ist

und daher

und letztlich


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine symmetrische Bilinearform auf . Zeige, dass eine Orthogonalbasis besitzt.


Lösung

Es sei der Ausartungsraum der Bilinearform und ein direktes Komplement, also

Dabei ist die Einschränkung der Bilinearform auf nicht ausgeartet. Es sei eine Basis von und eine Basis von . Die Vektoren können wir auf jeden Fall als Teil einer Orthogonalbasis nehmen, da diese ja auf allen Vektoren orthogonal stehen. Wir müssen uns also nur noch um kümmern. Das bedeutet, dass wir gleich annehmen können, dass wir eine nichtausgeartete symmetrische Bilinearform auf haben. Wegen der Polarisationsformel gibt es dann auch mit

Der Orthogonalraum zu besitzt deshalb und wegen der Eigenschaft, nicht ausgeartet zu sein, die Dimension . Dieser Orthogonalraum ist ebenfalls nicht ausgeartet, daher gibt es nach Induktion über die Dimension eine Basis mit

Eine solche Basis lässt sich in folgender Weise orthogonalisieren, und zwar kann man eine Orthogonalbasis finden mit

für alle . Dies zeigen wir durch Induktion, seien schon konstruiert. Wir setzen

und setzen

Dann ist für


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne

in einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum.


Lösung

Es ist


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern.

  1. Das -Brett.
  2. Das -Brett.
  3. Das -Brett.


Lösung

  1. Jeder Pferdsprung würde das -Brett verlassen, daher sind die vier einzelnen Felder die Äquivalenzklassen.
  2. Problem skoczka szachowego 3x3.jpg

    Vom zentralen Feld aus würde jeder Pferdsprung das -Brett verlassen, dieses bildet somit für sich eine Äquivalenzklasse. Die acht übrigen Felder sind mittels Pferdsprüngen untereinander verbindbar, wie die Skizze zeigt.

  3. Die in der folgenden Matrix angegebene Zugreihenfolge

    zeigt, dass alle Felder bis auf das links unten miteinander durch Pferdsprünge verbunden sind. Letzteres ist mit dem mit markierten Feld durch einen Pferdsprung verbunden. Also sind alle Felder zueinander äquivalent und es gibt nur eine Äquivalenzklasse.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Für ein doppelverpacktes Geschenk soll eine würfelförmige Schachtel in eine etwas größere würfelförmige Schachtel hineingelegt werden. Bestimme auf unterschiedliche Arten, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt.


Lösung

Wir denken uns den größeren Würfel fest.

Es gibt Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Seite auszusuchen, die der Boden sein soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind Möglichkeiten.

Es gibt Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Ecke auszusuchen, die mit einer fixierten Ecke der größeren Würfelschachtel deckungsgleich werden soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind Möglichkeiten

Es gibt Möglichkeiten, auf dem kleineren Würfel eine Kante auszusuchen, die mit einer fixierten Kante der größeren Würfelschachtel deckungsgleich werden soll. Wenn dies festgelegt ist, so gibt es noch Drehmöglichkeiten, wie der Würfel zu platzieren ist. Dies sind Möglichkeiten


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (10 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.


Lösung

Aus (1) folgt (2). Sei . Wir können mit einer beliebigen Norm auf und dem Endomorphismenraum arbeiten, beispielsweise mit der Maximumsnorm. Dann konvergiert wegen

die Folge gegen . Von (2) nach (3) ist klar. Wenn umgekehrt (3) erfüllt ist, und

eine Linearkombination ist, so ist

und aus der Konvergenz der beteiligten Folgen gegen folgt die Konvergenz dieser Summenfolge gegen . Von (2) bzw. (3) nach (4). Wir können annehmen: Im reellen Fall kann man von ausgehen und die Abbildung durch eine reelle Matrix ausdrücken und diese als komplexe Matrix auffassen. Das gegebene reelle Erzeugendensystem ist dann auch ein komplexes Erzeugendensysten für den . Es sei ein Eigenwert und ein Eigenvektor zu . Da nach Voraussetzung

gegen konvergiert, muss gegen konvergieren und daher ist

Für den Schluss von (4) auf (1) verwenden wir Fakt *****, es ist also

wobei die Nilpotenzordnung des nilpotenten Anteils ist. Die Eigenwerte von sind nach Aufgabe ***** die Eigenwerte des diagonalisierbaren Anteils , sie seien mit bezeichnet. Die Summanden sind von der Form

zu einem festen und einem Polynom . Die Diagonaleinträge von sind (nach Diagonalisieren) von der Form

und wegen konvergiert dies für gegen . Daher konvergiert gegen die Nullabbildung und das gilt nach Aufgabe ***** auch für das Produkt mit der festen Abbildung . Daher konvergiert auch die Summe gegen die Nullabbildung.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln offen sind.


Lösung

Es sei . Daher ist

Wir setzen

Für ist nach der Dreiecksungleichung

also ist und damit ist offen.


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Sei

  1. Erstelle eine Formel für .
  2. Ist die Folge beschränkt, ist sie konvergent?


Lösung

  1. Es ist
  2. Der Eintrag rechts oben besitzt den Betrag und ist daher nicht beschränkt. Deshalb sind die Matrixpotenzen nicht beschränkt und somit auch nicht konvergent.