Kurs:Lineare Algebra/Teil II/8/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Punkte 3 3 12 6 12 2 10 3 3 3 4 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Orthogonalbasis in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Eine eigentliche Isometrie

    auf einem euklidischen Vektorraum .

  3. Ein normaler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt .

  4. Die Linksnebenklasse von in einer Gruppe bezüglich einer Untergruppe .
  5. Ein orientierter -Vektorraum.
  6. Ein stabiler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .


Lösung

  1. Eine Basis , , von heißt Orthogonalbasis, wenn

    gilt.

  2. Eine Isometrie heißt eigentlich, wenn ihre Determinante gleich ist.
  3. Ein Endomorphismus

    heißt normal, wenn und vertauschbar sind.

  4. Die Teilmenge

    heißt die Linksnebenklasse von in bezüglich .

  5. Ein reeller Vektorraum heißt orientiert, wenn er endlichdimensional und auf ihm eine Orientierung erklärt ist.
  6. Der Endomorphismus heißt stabil, wenn die Folge in beschränkt ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Spektralsatz für komplexe Isometrien.
  2. Der Satz über die Untergruppen von .
  3. Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.


Lösung

  1. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Skalarprodukt und sei
    eine Isometrie. Dann besitzt eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren zu .
  2. Die Untergruppen von sind genau die Teilmengen der Form
    mit einer eindeutig bestimmten nicht-negativen Zahl .
  3. Es sei eine spaltenstochastische Matrix mit der Eigenschaft, dass es eine Zeile gibt, in der alle Einträge positiv sind. Dann konvergiert zu jedem Verteilungsvektor mit die Folge gegen die eindeutig bestimmte stationäre Verteilung von .


Aufgabe weiter

Der sei mit der Maximumsnorm

versehen. Wir interessieren und für die reellen Matrizen

mit der Eigenschaft

für alle . Eine solche Matrix nennen wir -isometrisch.

  1. Zeige, dass eine -isometrische Matrix invertierbar ist.
  2. Zeige, dass die Menge der -isometrischen Matrizen eine Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe bildet.
  3. Zeige, dass eine Permutationsmatrix -isometrisch ist.
  4. Unter einer Vorzeichen-Permutationsmatrix verstehen wir eine Matrix, die aus einer Permutationsmatrix entsteht, indem man eintragsweise vor die jeweils ein oder ein -Zeichen setzt. Man gebe ein Beispiel für eine -Vorzeichen-Permutationsmatrix, die keine Permutationsmatrix und keine obere Dreiecksmatrix ist und deren Determinante gleich ist.
  5. Zeige, dass eine Vorzeichen-Permutationsmatrix -isometrisch ist.
  6. Zeige, dass jede -isometrische Matrix eine Vorzeichen-Permutationsmatrix ist.


Lösung

  1. Wenn nicht invertierbar wäre, so gäbe es einen nichttrivialen Kern, sagen wir , , mit

    Dann ist aber

    und

    was der isometrischen Eigenschaft widerspricht.

  2. Die Einheitsmatrix ist offenbar -isometrisch. Wenn und diese Eigenschaft haben, so ist wegen
    die Verknüpfung ebenfalls -isometrisch. Wenn die inverse Matrix zur -isometrischen Matrix ist, so ist wegen

    auch -isometrisch.

  3. In einer Permutationsmatrix steht in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine . Daher ist ein Vektor, der die Einträge von permutiert. Das Maximum der Beträge bleibt dabei gleich.
  4. Ein Beispiel ist
  5. In einer Vorzeichen-Permutationsmatrix steht in jeder Zeile und in jeder Spalte genau eine oder eine . Daher ist ein Vektor, der die Einträge von permutiert und eventuell mit einem Vorzeichen versieht. Das Maximum der Beträge bleibt dabei gleich.
  6. Sei -isometrisch. Für jeden Standardvektor ist die Maximumsnorm von gleich . Das bedeutet, dass in jeder Spalte von eine oder eine vorkommt. In der -ten Spalte der Matrix sei der -te Eintrag gleich oder . Wir betrachten den Vektor

    der die Maximumsnorm besitzt, wobei wir das Vorzeichen an der -ten Stelle genau dann positiv wählen, wenn ist. Dann ist

    Wegen der Isometrie muss dies sein, d.h. in der -ten Zeile muss überall abgesehen von der Stelle eine stehen. Wenn in einer Spalte mehr als zwei Einträge wären, so wären die Zeilen zu diesen Stellen linear abhängig, was Teil (1) widerspricht. Somit ist eine Vorzeichen-Permutationsmatrix.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt.


Lösung

Die Aussage wird durch Induktion über bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für muss man lediglich normieren, also durch ersetzen. Sei die Aussage für schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren mit bereits konstruiert. Wir setzen

Dieser Vektor steht wegen

senkrecht auf allen und offenbar ist

Durch Normieren von erhält man .


Aufgabe weiter

Wir betrachten das Dreieck, das durch die Eckpunkte und gegeben ist.

  1. Bestimme den Umfang des Dreiecks.
  2. Bestimme eine ganze Zahl mit der Eigenschaft, dass der Dreiecksumfang zwischen und liegt.
  3. Bestimme den Kosinus des Winkels des Dreiecks im Eckpunkt .
  4. Erstelle eine Gleichung in Parameterform für die Höhengerade durch den Eckpunkt .
  5. Bestimme den Höhenfußpunkt zur Höhe durch den Eckpunkt .
  6. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.


Lösung

  1. Der Umfang des Dreiecks ist
  2. Wegen

    und

    ist der Umfang nach unten durch

    beschränkt. Wir zeigen

    was zu

    äquivalent ist. Quadrieren ergibt

    bzw.

    Erneutes Quadrieren ergibt

    was wahr ist.

  3. Die beiden Dreiecksseiten, die von ausgehen, sind in vektorieller Form gleich

    Daher ist der Kosinus des eingeschlossenen Winkels nach Bemerkung ***** gleich

  4. Die Höhe durch steht senkrecht auf der Geraden durch die beiden Punkte und , also auf . Der Richtungsvektor der Höhe ist somit . Eine Parameterglechung hat daher die Form
  5. Die Koordinaten des Höhenfußpunktes ergeben sich aus der Lösung des linearen Gleichungssystems

    bzw.

    Dies führt auf und , der Höhenfußpunkt ist also

  6. Mit der Determinantenformel (siehe Aufgabe *****) ist der Flächeninhalt gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Matrix, die zur Matrix

die adjungierte Abbildung (bezüglich der Standardbasis) beschreibt.


Lösung

Nach Fakt ***** wird die adjungierte Abbildung durch beschrieben. Diese ist


Aufgabe (10 (1+3+2+2+2) Punkte)

Es sei ein Körper und der Polynomring in der einen Variablen über . Zu einem Polynom und einer Linearform

mit bezeichnet

das Polynom, das entsteht, wenn man jedes Vorkommen von in durch ersetzt. Dieser Einsetzungsprozess ist mit der Addition und der Multiplikation von Polynomen verträglich. Wir betrachten die Relation auf , die durch

falls es eine Linearform  mit mit

gibt.

  1. Berechne
  2. Zeige, dass durch eine Äquivalenzrelation gegeben ist.
  3. Es sei . Zeige, dass jedes Polynom einen Repräsentanten mit

    besitzt.

  4. Es sei . Zeige, dass jedes Polynom einen normierten Repräsentanten besitzt.
  5. Zeige, dass die Anzahl der Nullstellen eines Polynoms nur von der Äquivalenzklasse abhängt.


Lösung

  1. Es ist
  2. Wegen

    ist die Relation reflexiv. Sei

    und

    mit . Dann ist wegen

    und da der Einsetzungsprozess mit Addition und Multiplikation verträglich ist auch

    also , da ja wegen rechts wieder eine Linearform eingesetzt wird. Die Relation ist also transitiv. Sei nun

    Dann sind wegen

    die Einsetzungen durch und durch invers zueinander und somit ist

    und die Relation ist symmetrisch.

  3. Sei

    Bei

    können wir

    nehmen. Sei also insbesondere nicht das Nullpolynom. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es ein mit

    Dann ist

    mit einem Polynom . Offenbar ist .

  4. Sei wieder

    mit . Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es ein  mit . Dann ist

    ein normiertes und zu äquivalentes Polynom.

  5. Es sei

    mit verschiedenen Nullstellen und einem nullstellenfreien Polynom . Dann ist

    und dieses besitzt zumindest die verschiedenen Nullstellen . Wegen der Symmetrie der Situation sind es genau Nullstellen.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.


Lösung

Betrachte die Linksnebenklassen für sämtliche . Es ist

eine Bijektion zwischen und , so dass alle Nebenklassen gleich groß sind (und zwar Elemente haben). Die Nebenklassen bilden (als Äquivalenzklassen) zusammen eine Zerlegung von , so dass ein Vielfaches von sein muss.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

ein Ideal in ist.


Lösung

Sei

Wegen . ist . Seien . Das bedeutet und . Dann ist

und daher .

Sei nun und beliebig. Dann ist

also ist .


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein metrischer Raum und sei ein Punkt. Zeige, dass abgeschlossen ist.


Lösung

Es ist zu zeigen, dass offen ist. Sei dazu , also . Dann ist

und somit ist

da ja nicht zu diesem offenen Ball gehört. Also gibt es zu jedem Punkt aus eine offene Ballumgebung, die ganz in drinliegt und daher ist diese Menge offen.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die spaltenstochastische Matrix

Bestimme das minimale derart, dass in der -ten Potenz die Differenz der ersten zur zweiten Spalte bezüglich der Maximumsnorm des ist.


Lösung

Wir schreiben

Es ist

und

die Differenz der Einträge ist und somit größer als in der Maximumsnorm (die erste Differenz ist gleich der zweiten Differenz wegen der stochastischen Eigenschaft).

Es ist

und

die Differenz der Einträge ist

Somit muss man bis zur dritten Potenz gehen.


Aufgabe (3 Punkte)

Was versteht man in der Mathematik unter Modellierung? Welche Ansätze der linearen Algebra kann man als Modellierungen (und wofür) auffassen?


Lösung Modellierung/Erläuterung/Lineare Algebra/Beispiel/Aufgabe/Lösung