Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 11

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Untervektorräume unter linearen Abbildungen

Eine typische und wohl auch namensgebende Eigenschaft einer linearen Abbildung ist, dass sie Geraden wieder auf Geraden (oder Punkte) abbildet. Allgemeiner ist folgende Aussage.


Lemma

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Für einen Untervektorraum ist auch das Bild ein Untervektorraum von .
  2. Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untervektorraum von .
  3. Für einen Untervektorraum ist das Urbild ein Untervektorraum von .
  4. Insbesondere ist ein Untervektorraum von .

Beweis

Siehe Aufgabe 11.2.



Definition  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung. Dann nennt man

den Kern von .

Der Kern ist also nach der obigen Aussage ein Untervektorraum von .

Bemerkung  

Zu einer -Matrix ist der Kern der durch gegebenen linearen Abbildung

einfach der Lösungsraum des homogenen linearen Gleichungssystems


Wichtig ist das folgende Injektivitätskriterium.



Lemma  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung.

Dann ist injektiv genau dann, wenn ist.

Beweis  

Wenn die Abbildung injektiv ist, so kann es neben keinen anderen Vektor mit geben. Also ist .
Sei umgekehrt und seien gegeben mit . Dann ist wegen der Linearität

Daher ist und damit .




Die Dimensionsformel

Die folgende Aussage heißt Dimensionsformel.



Satz  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung und sei endlichdimensional.

Dann gilt

Beweis  

Sei . Es sei der Kern der Abbildung und seine Dimension ().

Es sei
eine

Basis von . Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren

derart, dass

eine Basis von ist. Wir behaupten, dass

eine Basis des Bildes ist. Es sei ein Element des Bildes . Dann gibt es ein mit . Dieses lässt sich mit der Basis als

schreiben. Dann ist

so dass sich als Linearkombination der schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der , , sei eine Darstellung der Null gegeben,

Dann ist

Also gehört zum Kern der Abbildung und daher kann man

schreiben. Da insgesamt eine Basis von vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten sein müssen, also sind insbesondere .



Definition  

Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und

sei eine -lineare Abbildung und sei endlichdimensional. Dann nennt man

den Rang von .

Die Dimensionsformel kann man auch als

ausdrücken.

Bemerkung  

Es sei eine lineare Abbildung mit endlichdimensional. Die Dimensionsformel besitzt die folgenden Spezialfälle. Wenn die Nullabbildung ist, so ist und

Wenn injektiv ist, so ist und

Der Rang liegt stets zwischen und der Dimension des Ausgangsraumes . Wenn surjektiv ist, so ist

und



Beispiel  

Wir betrachten die durch die Matrix

gegebene lineare Abbildung

Zur Bestimmung des Kerns müssen wir das homogene lineare Gleichungssystem

lösen. Der Lösungsraum ist

und dies ist der Kern von . Der Kern ist also eindimensional und daher ist die Dimension des Bildes nach der Dimensionsformel gleich .




Korollar  

Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der gleichen Dimension . Es sei

eine lineare Abbildung.

Dann ist genau dann injektiv, wenn surjektiv ist.

Beweis  

Dies folgt aus Satz 11.5 und Lemma 11.4.




Verknüpfung von linearen Abbildungen und Matrizen

In der letzten Vorlesung haben wir unter der Voraussetzung, dass Basen fixiert sind, die Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen besprochen. Diese Korrespondenz berücksichtigt auch Hintereinanderschaltungen und Matrizenmultiplikation, wie das folgenden Lemma zeigt.



Lemma  

Bei der Korrespondenz zwischen linearen Abbildungen und Matrizen entsprechen sich die Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen und die Matrizenmultiplikation.

Damit ist folgendes gemeint: es seien Vektorräume über einem Körper mit Basen

Es seien

lineare Abbildungen. Dann gilt für die beschreibenden Matrizen von und der Hintereinanderschaltung die Beziehung

Beweis  

Wir betrachten das kommutative Diagramm

wobei die Kommutativität auf der Beziehung

aus Lemma 10.14 beruht. Dabei sind die (inversen) Koordinatenabbildungen jeweils bijektiv, und somit ist

Also ist insgesamt

wobei hier überall die Abbildungsverknüpfung steht. Nach Aufgabe 10.23 stimmt die letzte Verknüpfung mit dem Matrixprodukt überein.

Daraus folgt beispielsweise, dass das Produkt von Matrizen assoziativ ist.



Lineare Abbildungen und Basiswechsel



Lemma  

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen und durch die Matrix beschrieben werde.

Dann wird bezüglich der Basen und durch die Matrix

beschrieben, wobei und die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von nach und von nach beschreiben.

Beweis  

Die linearen Standardabbildungen bzw. zu den Basen seien mit bezeichnet. Wir betrachten das kommutative Diagramm

wobei die Kommutativität auf Lemma 9.1 und Lemma 10.14 beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt




Korollar  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Es seien und Basen von .

Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich bzw. (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

Beweis  

Dies folgt direkt aus Lemma 11.11.


Es ist eine wichtige Zielsetzung dieser Vorlesung, zu einer gegebenen linearen Abbildung eine Basis derart zu finden, dass die beschreibende Matrix „möglichst einfach“ wird.


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