Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 23

Das charakteristische Polynom

Wir möchten zu einem Endomorphismus $φ : V \to V$ die Eigenwerte und dann auch die Eigenräume bestimmen. Dazu ist das charakteristische Polynom entscheidend.

Definition

Zu einer $n \times n$ -Matrix $M$ mit Einträgen in einem Körper $K$ heißt das Polynom

χ_{M} := det (X \cdot E_{n} - M)

das charakteristische Polynom^[1] von $M$ .

Für $M = {(a_{i j})}_{i j}$ bedeutet dies

χ_{M} = det (\begin{matrix} X - a_{11} & - a_{12} & \dots & - a_{1 n} \\ - a_{21} & X - a_{22} & \dots & - a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ - a_{n 1} & - a_{n 2} & \dots & X - a_{n n} \end{matrix}) .

In dieser Definition nehmen wir Bezug auf die Determinante von Matrizen, die wir nur für Matrizen mit Einträgen in einem Körper definiert haben. Die Einträge sind jetzt aber Elemente im Polynomring $K [X]$ . Da wir sie aber als Elemente im Körper der rationalen Funktionen $K (X)$ auffassen können,^[2] ist dies eine sinnvolle Definition. Gemäß der Definition ist diese Determinante ein Element in $K (X)$ , da aber alle Einträge der Matrix Polynome sind und bei der rekursiven Definition der Determinante nur addiert und multipliziert wird, ist das charakteristische Polynom wirklich ein Polynom. Der Grad des charakteristischen Polynoms ist $n$ und der Leitkoeffizient ist $1$ , d.h. die Gestalt ist

χ_{M} = X^{n} + c_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + c_{1} X + c_{0} .

Es gilt die wichtige Beziehung

χ_{M} (λ) = det (λ E_{n} - M)

für jedes $λ \in K$ , siehe Aufgabe 23.3. Hier wird links die Zahl $λ$ in das Polynom eingesetzt und rechts wird die Determinante von einer Matrix, die von $λ$ abhängt, ausgerechnet.

Für eine lineare Abbildung

φ : V ⟶ V

auf einem endlichdimensionalen Vektorraum definiert man das charakteristische Polynom

χ_{φ} := χ_{M},

wobei $M$ eine beschreibende Matrix bezüglich einer beliebigen Basis sei. Der Determinantenmultiplikationssatz zeigt, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Basis ist, siehe Aufgabe 23.24. Das charakteristische Polynom der Identität auf einem $n$ -dimensionalen Vektorraum ist

χ_{Id} = det (X E_{n} - E_{n}) = (X - 1)^{n} = X^{n} - n X^{n - 1} + (\binom{n}{2}) X^{n - 2} - (\binom{n}{3}) X^{n - 3} + \dots \pm (\binom{n}{2}) X^{2} \mp n X \pm 1 .

Satz

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein $n$ -dimensionaler Vektorraum. Es sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung.

Dann ist $λ \in K$ genau dann ein Eigenwert von $φ$ , wenn $λ$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms $χ_{φ}$ ist.

Beweis

Es sei $M$ eine beschreibende Matrix für $φ$ , und sei $λ \in K$ vorgegeben. Es ist

χ_{M} (λ) = det (λ E_{n} - M) = 0

genau dann, wenn die lineare Abbildung

λ {Id}_{V} - φ

nicht bijektiv (und nicht injektiv) ist (wegen Satz 16.11 und Lemma 12.5). Dies ist nach Lemma 22.1 und Lemma 11.4 äquivalent zu

{Eig}_{λ} (φ) = kern (λ {Id}_{V} - φ) \neq 0,

was bedeutet, dass der Eigenraum zu $λ$ nicht der Nullraum ist, also $λ$ ein Eigenwert zu $φ$ ist.

◻

Beispiel

Wir betrachten die reelle Matrix $M = (\begin{matrix} 0 & 5 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ . Das charakteristische Polynom ist

\begin{matrix} χ_{M} & = det (x E_{2} - M) \\ = det (x (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 & 5 \\ 1 & 0 \end{matrix})) \\ = det (\begin{matrix} x & - 5 \\ - 1 & x \end{matrix}) \\ = x^{2} - 5. \end{matrix}

Die Eigenwerte sind also $x = \pm \sqrt{5}$ (diese Eigenwerte haben wir auch in Beispiel 21.5 ohne charakteristisches Polynom gefunden).

Beispiel

Zur Matrix

M = (\begin{matrix} 2 & 5 \\ - 3 & 4 \end{matrix})

ist das charakteristische Polynom gleich

χ_{M} = det (\begin{matrix} X - 2 & - 5 \\ 3 & X - 4 \end{matrix}) = (X - 2) (X - 4) + 15 = X^{2} - 6 X + 23 .

Die Nullstellenbestimmung dieses Polynoms führt zur Bedingung

(X - 3)^{2} = - 23 + 9 = - 14,

die über $ℝ$ nicht erfüllbar ist, sodass die Matrix über $ℝ$ keine Eigenwerte besitzt. Über $ℂ$ hingegen gibt es die beiden Eigenwerte $3 + \sqrt{14} i$ und $3 - \sqrt{14} i$ . Für den Eigenraum zu $3 + \sqrt{14} i$ muss man

\begin{matrix} {Eig}_{3 + \sqrt{14} i} (M) & = kern ((3 + \sqrt{14} i) E_{2} - M) \\ = kern (\begin{matrix} 1 + \sqrt{14} i & - 5 \\ 3 & - 1 + \sqrt{14} i \end{matrix}) \end{matrix}

bestimmen, ein Basisvektor (also ein Eigenvektor) davon ist $(\begin{matrix} 5 \\ 1 + \sqrt{14} i \end{matrix})$ . Analog ist

{Eig}_{3 - \sqrt{14} i} (M) = kern (\begin{matrix} 1 - \sqrt{14} i & - 5 \\ 3 & - 1 - \sqrt{14} i \end{matrix}) = ⟨ (\begin{matrix} 5 \\ 1 - \sqrt{14} i \end{matrix}) ⟩ .

Beispiel

Für eine obere Dreiecksmatrix

M = (\begin{matrix} d_{1} & * & \dots & \dots & * \\ 0 & d_{2} & * & \dots & * \\ ⋮ & ⋱ & ⋱ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & \dots & 0 & d_{n - 1} & * \\ 0 & \dots & \dots & 0 & d_{n} \end{matrix})

ist das charakteristische Polynom nach Lemma 16.4 gleich

χ_{M} = (X - d_{1}) (X - d_{2}) \dots (X - d_{n}) .

In diesem Fall liegt das charakteristische Polynom direkt in der Zerlegung in lineare Faktoren vor, sodass unmittelbar seine Nullstellen und damit die Eigenwerte von $M$ ablesbar sind, nämlich die Diagonalelemente $d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}$ (die nicht alle verschieden sein müssen).

Invariante Untervektorräume

Definition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Dann heißt ein Untervektorraum $U \subseteq V$ $φ$ -invariant, wenn

φ (U) \subseteq U

gilt.

Der Nullraum und der Gesamtraum sind natürlich $φ$ -invariant. Ferner sind die Eigenräume zu $φ$ invariant.

Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum und

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Es sei

V = U \oplus W

eine direkte Summenzerlegung in $φ$ -invariante Unterräume.

Dann gilt für das charakteristische Polynom die Beziehung

$χ_{φ} = χ_{φ |_{U}} \cdot χ_{φ |_{W}} .$

Beweis

Es sei $u_{1}, \dots, u_{k}$ eine Basis von $U$ und $w_{1}, \dots, w_{m}$ eine Basis von $W$ , die zusammen eine Basis von $V$ ergeben. Bezüglich dieser Basis wird $φ$ insgesamt durch die Blockmatrix $M = (\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})$ beschrieben, wobei $A$ die Einschränkung $φ |_{U}$ und $B$ die Einschränkung $φ |_{W}$ beschreibt. Dann ist unter Verwendung von Aufgabe 16.23

χ_{φ} = χ_{M} = det (t Id - M) = det (t Id - A) det (t Id - B) = χ_{φ |_{U}} \cdot χ_{φ |_{W}} .

◻

Algebraische Vielfachheiten

Für eine genauere Untersuchung der Eigenräume ist die folgende Begrifflichkeit sinnvoll.

Definition

Es sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen $K$ -Vektorraum $V$ und $λ \in K$ . Man nennt dann den Exponenten des linearen Polynoms $X - λ$ im charakteristischen Polynom $χ_{φ}$ die algebraische Vielfachheit von $λ$ . Sie wird mit

μ_{λ} = μ_{λ} (φ)

bezeichnet.

Wie neulich eingeführt, nennt man

\dim_{K} ({Eig}_{λ} (φ))

die geometrische Vielfachheit von $λ$ . Aufgrund von Satz 23.2 wissen wir, dass die eine Vielfachheit genau dann positiv ist, wenn dies für die andere gilt, und dies ist genau dann der Fall, wenn $λ$ ein Eigenwert ist.

Im Allgemeinen können die beiden Vielfachheiten aber verschieden sein, wobei eine Abschätzung immer gilt.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum. Es sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung und $λ \in K$ .

Dann besteht zwischen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheit die Beziehung

$\dim_{K} ({Eig}_{λ} (φ)) \leq μ_{λ} (φ) .$

Beweis

Es sei $m = \dim_{K} ({Eig}_{λ} (φ))$ und sei $v_{1}, \dots, v_{m}$ eine Basis von diesem Eigenraum, die wir durch $w_{1}, \dots, w_{n - m}$ zu einer Basis von $V$ ergänzen. Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt

(\begin{matrix} λ E_{m} & B \\ 0 & C \end{matrix}) .

Das charakteristische Polynom ist daher nach Aufgabe 16.23 gleich $(X - λ)^{m} \cdot χ_{C}$ , sodass die algebraische Vielfachheit mindestens $m$ ist.

◻

Beispiel

Wir betrachten $2 \times 2$ -Scherungsmatrizen

M = (\begin{matrix} 1 & a \\ 0 & 1 \end{matrix})

mit $a \in K$ . Das charakteristische Polynom ist

χ_{M} = (X - 1) (X - 1),

sodass $1$ der einzige Eigenwert von $M$ ist. Den zugehörigen Eigenraum berechnet man als

{Eig}_{1} (M) = kern (\begin{matrix} 0 & - a \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

Aus

(\begin{matrix} 0 & - a \\ 0 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} r \\ s \end{matrix}) = (\begin{matrix} - a s \\ 0 \end{matrix})

folgt, dass $(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ ein Eigenvektor ist, und dass bei $a \neq 0$ der Eigenraum eindimensional ist (bei $a = 0$ liegt die Identität vor und der Eigenraum ist zweidimensional). Bei $a \neq 0$ ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts $1$ gleich $2$ , die geometrische Vielfachheit gleich $1$ .

Vielfachheiten und diagonalisierbare Abbildungen

Satz

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum. Es sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung.

Dann ist $φ$ genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom $χ_{φ}$ in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle $λ$ mit der algebraischen Vielfachheit $μ_{λ}$ die Gleichheit

$μ_{λ} = \dim_{K} ({Eig}_{λ} (φ))$

gilt.

Beweis

Wenn $φ$ diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass $φ$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind nach Beispiel 21.4 die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich nach Beispiel 23.5 auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag $λ$ trägt als Linearfaktor $X - λ$ bei.

Für die Umkehrung seien $λ_{1}, \dots, λ_{k}$ die verschiedenen Eigenwerte und

μ_{i} := μ_{λ_{i}} (φ) = \dim_{K} ({Eig}_{λ_{i}} (φ))

seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich $n = \dim_{K} (V)$ sein. Nach Lemma 22.6 ist die Summe der Eigenräume

{Eig}_{λ_{1}} (φ) \oplus \dots \oplus {Eig}_{λ_{k}} (φ) \subseteq V

direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich $n$ , sodass Gleichheit vorliegt. Nach Lemma 22.11 ist $φ$ diagonalisierbar.

◻

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum. Es sei

φ : V ⟶ V

eine lineare Abbildung. Das charakteristische Polynom $χ_{φ}$ zerfalle in verschiedene Linearfaktoren.

Dann ist $φ$ diagonalisierbar.

Beweis

Siehe Aufgabe 23.28.

◻

Daraus ergibt sich auch ein neuer Beweis für Korollar 22.10.

Fußnoten

↑ Manche Autoren definieren das charakteristische Polynom als Determinante von $M - X \cdot E_{n}$ anstatt von $X \cdot E_{n} - M$ . Dies ändert aber - und zwar nur bei $n$ ungerade - nur das Vorzeichen.
↑ $K (X)$ heißt der Körper der rationalen Polynome; er besteht aus allen Brüchen $P / Q$ zu Polynomen $P, Q \in K [X]$ mit $Q \neq 0$ . Bei $K = ℝ$ oder $ℂ$ kann man diesen Körper mit der Menge der rationalen Funktionen identifizieren.

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[1] Manche Autoren definieren das charakteristische Polynom als Determinante von $M - X \cdot E_{n}$ anstatt von $X \cdot E_{n} - M$ . Dies ändert aber - und zwar nur bei $n$ ungerade - nur das Vorzeichen.

[2] $K (X)$ heißt der Körper der rationalen Polynome; er besteht aus allen Brüchen $P / Q$ zu Polynomen $P, Q \in K [X]$ mit $Q \neq 0$ . Bei $K = ℝ$ oder $ℂ$ kann man diesen Körper mit der Menge der rationalen Funktionen identifizieren.

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[2]