Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/12/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 4 3 2 6 5 3 4 4 7 6 2 3 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Verknüpfung auf einer Menge .
  2. Ein Polynom über einem Körper in einer Variablen .
  3. Die Sinusreihe zu .
  4. Eine Stammfunktion zu einer Funktion .
  5. Die Dimension eines -Vektorraums ( besitze ein endliches Erzeugendensystem).
  6. Die beschreibende Matrix zu einer linearen Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen und bezüglich einer Basis von und einer Basis von .


Lösung

  1. Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
  2. Ein Ausdruck der Form
    mit

    heißt Polynom in einer Variablen über .

  3. Die Sinusreihe ist
  4. Eine Funktion heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.
  5. Unter der Dimension eines Vektorraums versteht man die Anzahl der Elemente in einer Basis von .
  6. Unter der beschreibenden Matrix zu bezüglich der Basen versteht man die -Matrix

    wobei die -te Koordinate von bezüglich der Basis ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Division mit Rest im Polynomring über einem Körper .
  2. Der Satz über die lineare Approximierbarkeit.
  3. Der Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen.


Lösung

  1. Es seien zwei Polynome mit . Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome mit
  2. Sei eine Teilmenge, ein Punkt und

    eine Funktion. Dann ist in genau dann differenzierbar, wenn es ein und eine Funktion

    gibt mit stetig in und und mit

  3. Es sei ein Körper und sei eine -Matrix über . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
    1. .
    2. Die Zeilen von sind linear unabhängig.
    3. ist invertierbar.
    4. .


Aufgabe (1 Punkt)

Berechne die Gaußklammer


Lösung

Es ist

also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das das arithmetische Mittel aus zwei vorgegebenen nichtnegativen rationalen Zahlen berechnet.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können.
    • Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken.
    • Es gibt einen Haltebefehl.

    Die Anfangskonfiguration sei

    mit . Dabei sind und die rationalen Zahlen, von denen das arithmetische Mittel berechnet werden soll. Das Ergebnis soll ausgedruckt werden (in der Form Zähler Nenner) und anschließend soll das Programm anhalten.


    Lösung

    1. Berechne Produkt aus 2. und 4. Speicherinhalt, schreibe das Ergebnis in 5. Speicher.
    2. Berechne Summe aus 5. und 6. Speicherinhalt, schreibe das Ergebnis in 7. Speicher.
    3. Berechne Summe aus 5. und 7. Speicherinhalt, schreibe das Ergebnis in 8. Speicher.
    4. Berechne Produkt aus 1. und 4. Speicherinhalt, schreibe das Ergebnis in 9. Speicher.
    5. Berechne Produkt aus 2. und 3. Speicherinhalt, schreibe das Ergebnis in 10. Speicher.
    6. Berechne Summe aus 9. und 10. Speicherinhalt, schreibe das Ergebnis in 11. Speicher.
    7. Drucke den 11. Speicherinhalt.
    8. Drucke den 8. Speicherinhalt.
    9. Halte an.


    Aufgabe (3 Punkte)

    Erläutere das Konzept „Approximation“ anhand typischer Beispiele.


    Lösung Approximation/Erläuterung/Aufgabe/Lösung


    Aufgabe (2 Punkte)

    Zeige, dass die reelle Zahl eine Nullstelle des Polynoms ist.


    Lösung

    Es ist

    und

    Somit ist


    Aufgabe (6 Punkte)

    Beweise den Zwischenwertsatz.


    Lösung

    Wir beschränken uns auf die Situation und zeigen die Existenz von einem solchen mit Hilfe einer Intervallhalbierung. Dazu setzt man und , betrachtet die Intervallmitte und berechnet

    Bei setzt man

    und bei setzt man

    In jedem Fall hat das neue Intervall die halbe Länge des Ausgangsintervalls und liegt in diesem. Da es wieder die Voraussetzung erfüllt, können wir darauf das gleiche Verfahren anwenden und gelangen so rekursiv zu einer Intervallschachtelung. Sei die durch diese Intervallschachtelung definierte reelle Zahl. Für die unteren Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich wegen der Stetigkeit nach dem Folgenkriterium auf den Grenzwert , also . Für die oberen Intervallgrenzen gilt und das überträgt sich ebenfalls auf , also .  Also ist .


    Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

    Wir betrachten das Polynom

    1. Berechne die Werte von an den Stellen .
    2. Skizziere den Graphen von auf dem Intervall . Gibt es einen Bezug zur Exponentialfunktion ?
    3. Bestimme eine Nullstelle von innerhalb von mit einem Fehler von maximal .


    Lösung

    1. Da die Exponentialfunktion die Reihendarstellung besizt, handelt es sich bei um eine polynomiale Approximation der Exponentialfunktion. Dies erklärt für betragsmäßig kleine Werte eine gewisse Verwandtschaft mit der Exponentialfunktion, die sich im Graphen niederschlägt.
    2. Aufgrund des Zwischenwertsatzes muss eine Nullstelle zwischen und besitzen. Zur Bestimmung der Nullstelle rechnen wir mit

      Es ist

      Die Nullstelle muss also zwischen und liegen.

    Es ist

    Also liegt eine Nullstelle im Intervall der Länge .


    Aufgabe (3 Punkte)

    Zeige, dass die Funktion

    streng wachsend ist.


    Lösung

    Die Ableitung ist

    Wegen und und für ist die Ableitung nichtnegativ und hat nur für eine Nullstelle. Die Funktion ist also nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) streng wachsend.


    Aufgabe (4 Punkte)

    Zeige, dass eine reelle Polynomfunktion

    vom Grad maximal lokale Extrema besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd streng wachsend oder streng fallend ist.


    Lösung

    Die Ableitung ist ein Polynom vom Grad . Dieses besitzt nach Korollar 6.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) höchstens Nullstellen. Nach Satz 15.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) besitzt daher höchstens lokale Extrema. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen der Ableitung und auch unterhalb der kleinsten und oberhalb der größten Nullstelle ist die Ableitung entweder echt positiv oder echt negativ. Wenn wir stets benachbarte Intervalle zusammenlegen, auf denen die Ableitung jeweils positiv oder jeweils negativ ist, so erhalten wir eine Zerlegung von in Intervalle, auf denen die Ableitung positiv oder negativ mit eventuell endlich vielen Ausnahmepunkten ist, und positiv und negativ wechseln sich ab. In diesen Intervallen ist dann nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) streng wachsend oder streng fallend.


    Aufgabe (4 Punkte)

    Bestimme das Taylor-Polynom der sechsten Ordnung zur Funktion im Nullpunkt mit einem Potenzreihenansatz unter Verwendung von


    Lösung

    Wir möchten die Taylor-Reihe bis zum Grad von im Entwicklungspunkt gemäß Bemerkung bestimmen. Nach der Definition ist

    Zur Berechnung des Taylor-Polynoms bis zum Grad braucht man nur die angeführte Entwicklung des Kosinus bis zum Grad . Das Taylorpolynom bis zum Grad von im Nullpunkt ergibt sich aus

    Dabei wurden nur die für den Grad relevanten Monome ausgerechnet. Das gesuchte Taylorpolynom ist also


    Aufgabe (7 (1+1+2+3) Punkte)

    Wir betrachten die Funktion

    1. Bestimme die Ableitung von .
    2. Bestimme die Tangente zu im Punkt .
    3. Bestimme die Schnittpunkte der Tangente mit dem Funktionsgraphen zu .
    4. Die Tangente und der Funktionsgraph zu schließen eine endliche Fläche ein. Bestimme deren Flächeninhalt.


    Lösung

    1. Es ist
    2. Es ist

      und

      Die Gleichung für die Tangente an diesem Punkt ist also

    3. Wir setzen

      bzw.

      Die Nullstelle und damit der Faktor ist bereits bekannt. Es ist (Division mit Rest)

      Die beiden Schnittpunkte sind also und .

    4. Im relevanten Bereich verläuft unterhalb von . Der eingeschlossene Flächeninhalt ist daher gleich


    Aufgabe (6 Punkte)

    Es sei ein beschränktes Intervall und eine nach unten beschränkte stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das Supremum über alle Treppenintegrale zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen (also das Unterintegral) existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt.


    Lösung

    Wir zeigen, dass jedes Treppenintegral zu einer unteren Treppenfunktion bis auf jeden vorgegebenen Fehler durch das Treppenintegral zu einer äquidistanten unteren Treppenfunktion angenähert werden kann, woraus die Aussagen folgen. Es seien die Intervallgrenzen und sei

    eine Unterteilung des Intervalls mit einer unteren Treppenfunktion mit den Werten auf dem Teilintervall . Es sei der maximale Wert von und es sei eine untere Schranke von und von . Es sei so gewählt, dass

    ist. Wir betrachten die äquidistante Unterteilung von mit Teilintervallen , , und wir betrachten darauf die Treppenfunktion , die folgendermaßen definiert ist.

    Damit ist und stimmt in jedem Punkt mit überein oder hat den Wert , letzteres kommt aber nur auf höchstens äquidistanten Teilintervallen vor. Daher gilt für die Differenz der beiden Treppenintegrale die Beziehung

    wie gefordert.


    Aufgabe (2 Punkte)

    Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit Schneeglöckchen und Mistelzweigen € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus Schneeglöckchen und Mistelzweigen €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und Mistelzweigen?


    Lösung

    Es sei der Preis für ein Schneeglöckchen und der Preis für einen Mistelzweig. Dann gilt

    und

    Wenn man von der ersten Zeile das Doppelte der zweiten Zeile abzieht, erhält man

    und damit

    Daraus ergibt sich

    und somit ist der Preis für den gewünschten Strauß gleich


    Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

    Es sei ein Körper und der Polynomring über , den wir als (unendlichdimensionalen) -Vektorraum betrachten, und es sei , , ein fixiertes Element.

    1. Ist die Abbildung

      (es wird also überall die Variable durch ersetzt) linear?

    2. Ist die Abbildung

      (es wird also zu jedem Polynom hinzuaddiert) linear?


    Lösung

    1. Es sei die Gesamtabbildung. Dann ist wegen
      und
      die Abbildung linear.
    2. Dies ist nicht linear, da das Nullpolynom auf abgebildet wird.


    Aufgabe (4 Punkte)

    Bestimme die inverse Matrix zur Matrix

    (über dem Körper der rationalen Funktionen ).


    Lösung

    Für eine invertierbare -Matrix ist die inverse Matrix generell gleich

    Im vorliegenden Fall ist die Determinante gleich

    Somit ist die inverse Matrix gleich


    Aufgabe (4 Punkte)

    Es sei eine Nullstelle des Polynoms

    Zeige, dass

    ein Eigenvektor der Matrix

    zum Eigenwert ist.


    Lösung

    Es ist