Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/12/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	3	3	3	5	5	4	1	5	8	4	4	5	5	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum ${}V$.
2. Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge ${}T\subseteq M$ eines metrischen Raumes ${}M$.
3. Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung ${}v'=f(t,v)$, wobei

   $f\colon I\times U\longrightarrow V$

   ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ${}I$ ein Intervall und ${}U\subseteq V$ eine offene Teilmenge ist).

4. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$ auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ bezüglich einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$.
5. Die Richtungsableitung einer Abbildung

   $\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$ in Richtung eines Vektors ${}v\in \mathbb {R} ^{n}$.

6. Ein lokales Maximum einer Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R}$

   auf einem metrischen Raum ${}M$ in einem Punkt ${}x\in M$.

Lösung

1. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

   $V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   mit folgenden Eigenschaften:

   1. Es ist

      ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

      für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, ${}x_{1},x_{2},y\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.

   2. Es ist

      ${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

      für alle ${}v,w\in V$.

   3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
2. Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge. Ein Punkt ${}a\in M$ heißt Berührpunkt von ${}T$, wenn zu jedem ${}\epsilon >0$ der Durchschnitt

   ${}T\cap U{\left(a,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,.$

3. Eine Abbildung

   $v\colon J\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

   auf einem offenen (Teil)Intervall ${}J\subseteq I$ heißt eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

   1. Es ist ${}v(t)\in U$ für alle ${}t\in J$.
   2. Die Abbildung ${}v$ ist differenzierbar.
   3. Es ist ${}v'(t)=f(t,v(t))$ für alle ${}t\in J$.
4. Die ${}n\times n$- Matrix

   $\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

   heißt die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich der Basis.

5. Unter der Richtungsableitung von ${}f$ in ${}P$ in Richtung ${}v$ versteht man den Grenzwert

   $\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {f(P+sv)-f(P)}{s}},$

   falls dieser existiert.

6. Man sagt, dass ${}f$ in ${}x\in M$ ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in M$ mit ${}d(x,x')\leq \epsilon$ die Abschätzung

   ${}f(x)\geq f(x')\,$

   gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Integralabschätzung für stetige Kurven.
2. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
3. Die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen auf einer offenen Menge ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Lösung

1. Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

   $g\colon [a,b]\longrightarrow V$

   eine stetige Abbildung. Dann gilt

   ${}\Vert {\int _{a}^{b}g(t)\,dt}\Vert \leq \int _{a}^{b}\Vert {g(t)}\Vert \,dt\,.$

2. Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ und es seien ${}G$ bzw. ${}H$ die Gramschen Matrizen von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

   ${}w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

   die wir durch die Übergangsmatrix ${}A=(a_{ij})_{i,j}$

   ausdrücken. Dan
3. Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge und

   $G\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

   1. ${}G$ ist ein Gradientenfeld.
   2. Für jeden stetig differenzierbaren Weg ${}\gamma \colon [a,b]\rightarrow U$ hängt das Wegintegral ${}\int _{\gamma }G$ nur vom Anfangspunkt ${}\gamma (a)$ und Endpunkt ${}\gamma (b)$ ab.

Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}y\,.$

b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

${}y'={\frac {2t}{t^{2}+1}}y+t^{2}\,.$

Lösung

a) Eine Stammfunktion von ${}{\frac {2t}{t^{2}+1}}$ ist

$\ln {\left(t^{2}+1\right)},$

daher ist

${}e^{\ln {\left(t^{2}+1\right)}}=t^{2}+1\,$

eine Lösung der homogenen Differentialgleichung.

b) Wir bestimmen gemäß dem Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen eine Stammfunktion zu

${}{\frac {t^{2}}{t^{2}+1}}={\frac {t^{2}+1}{t^{2}+1}}-{\frac {1}{t^{2}+1}}=1-{\frac {1}{t^{2}+1}}\,.$

Eine solche ist

$t-\arctan t.$

Daher ist

${}{\left(t-\arctan t\right)}{\left(t^{2}+1\right)}=t^{3}+t-t^{2}\arctan t-\arctan t\,$

eine Lösung der Differentialgleichung.

Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Dreiecksungleichung für die Norm zu einem Skalarprodukt.

Lösung

Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

${}\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\left\langle v+w,v+w\right\rangle =\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\left\langle v,w\right\rangle \leq \Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \,$

Aufgrund von Satz 34.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist dies ${}\leq {\left(\Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \right)}^{2}$. Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.

Aufgabe (3 Punkte)

Von einer Bewegung

$\varphi \colon ]0,{\frac {\pi }{2}}[\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

sei der Geschwindigkeitsverlauf

${}\varphi '(t)=\left({\frac {1}{t}},\,\tan {\left(t\right)},\,e^{-t}\right)\,$

bekannt. Ferner sei

${}\varphi {\left({\frac {\pi }{4}}\right)}=(0,0,0)\,$

bekannt. Bestimme ${}\varphi (t)$.

Lösung

Die Integralkurven ergeben sich durch komponentenweises Integrieren zu

$\left(\ln t+c_{1},\,-\ln \left(\cos t\right)+c_{2},\,-e^{-t}+c_{3}\right).$

Die Anfangsbedingung ergibt

${}c_{1}=-\ln {\frac {\pi }{4}}\,,$

${}c_{2}=\ln \left(\cos {\frac {\pi }{4}}\right)\,$

und

${}c_{3}=e^{-{\frac {\pi }{4}}}\,.$

Die Lösungskurve ist also

$\left(\ln t-\ln {\frac {\pi }{4}},\,-\ln \left(\cos t\right)+\ln \left(\cos {\frac {\pi }{4}}\right),\,-e^{-t}+e^{-{\frac {\pi }{4}}}\right).$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

$[0,2\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \left(t\cos t,\,t\sin t\right),$

im Vektorfeld

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(y,\,-x\right).$

Lösung

Es ist

${}{\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\left\langle {\begin{pmatrix}t\sin t\\-t\cos t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-t\sin t+\cos t\\t\cos t+\sin t\end{pmatrix}}\right\rangle dt&=\int _{0}^{2\pi }-t^{2}\sin ^{2}t+t\sin t\cos t-t^{2}\cos ^{2}t-t\sin t\cos tdt\\&=\int _{0}^{2\pi }-t^{2}dt\\&=-{\frac {1}{3}}t^{3}|_{0}^{2\pi }\\&={\frac {-8\pi ^{3}}{3}}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}5&0&t\\0&-3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,$

mit der Anfangsbedingung

${}{\begin{pmatrix}x(0)\\y(0)\\z(0)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\,.$

Lösung

${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}5&0&t\\0&-3&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,$

Aus der dritten Zeile

${}z'=z\,$

mit der Anfangsbedingung ${}z(0)=1$ folgt direkt

${}z(t)=e^{t}\,.$

Entsprechend folgt aus der zweiten Zeile direkt

${}y(t)=e^{-3t}\,.$

Die erste Zeile liefert die eindimensionale Differentialgleichung

${}x'=5x+te^{t}\,.$

Dies ist eine eindimensionale inhomogene lineare Differentialgleichung. Die zugehörige homogene Gleichung besitzt die Lösung ${}e^{5t}$. Mit Variation der Konstanten, also dem Ansatz

${}x(t)=c(t)e^{5t}\,$

(siehe Satz 32.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))), ergibt sich die Bedingung

${}c'(t)=te^{t}\cdot e^{-5t}=te^{-4t}\,.$

Die Stammfunktion hiervon sind

$-{\frac {1}{4}}te^{-4t}-{\frac {1}{16}}e^{-4t}+c.$

Somit ist

${}x(t)={\left(-{\frac {1}{4}}te^{-4t}-{\frac {1}{16}}e^{-4t}+c\right)}e^{5t}\,$

und die Anfangsbedingung legt

${}c={\frac {17}{16}}\,$

fest. Die Lösung des Anfangswertproblems ist somit

${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\left(-{\frac {1}{4}}te^{-4t}-{\frac {1}{16}}e^{-4t}+{\frac {17}{16}}\right)}e^{5t}\\e^{-3t}\\e^{t}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{4}}te^{t}-{\frac {1}{16}}e^{t}+{\frac {17}{16}}e^{5t}\\e^{-3t}\\e^{t}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

in einem Punkt ${}P\in V$.

Lösung

Da ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ eine lineare Abbildung von ${}V$ nach ${}W$ ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor ${}v\in V$ einen Vektor in ${}{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}\in W$. Nach Voraussetzung haben wir

${}\varphi (P+v)=\varphi (P)+{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\Vert {v}\Vert \cdot r(v)\,$

(mit den üblichen Bedingungen an ${}r$). Insbesondere gilt für (hinreichend kleines) ${}s\in {\mathbb {R} }$

${}\varphi (P+sv)=\varphi (P)+s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\,.$

Also gilt

${}{\begin{aligned}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {\varphi (P+sv)-\varphi (P)}{s}}&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,{\frac {s{\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+\vert {s}\vert \cdot \Vert {v}\Vert \cdot r(sv)}{s}}\\&=\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0,s\neq 0}\,\left({\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)}+{\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert \cdot r(sv)\right)\\&={\left(D\varphi \right)}_{P}{\left(v\right)},\end{aligned}}$

da ${}\operatorname {lim} _{s\rightarrow 0}\,r(sv)=0$ und der Ausdruck ${}{\frac {\vert {s}\vert }{s}}\Vert {v}\Vert$ beschränkt ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto 3x^{2}-2xy-y^{2}+5x,$

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.

Lösung

Die Jacobi-Matrix dieser Funktion ist

$(6x-2y+5,-2x-2y).$

Wir setzen beide Komponenten gleich ${}0$ und erhalten durch Subtraktion der beiden Gleichungen voneinander die Bedingung

$8x+5=0,$

also ist

$x=-{\frac {5}{8}}{\text{ und daher }}y={\frac {5}{8}}.$

Der einzige kritische Punkt der Funktion ist also

${}P=\left(-{\frac {5}{8}},\,{\frac {5}{8}}\right)\,.$

Wir bestimmen die Hesse-Matrix in diesem Punkt. Sie ist

${\begin{pmatrix}6&-2\\-2&-2\end{pmatrix}}.$

Wir wenden das Minorenkriterium an. Der Eintrag links oben ist positiv, die Determinante ist ${}-12-4=-16$, also negativ. Daher besitzt die Hesse-Form den Typ ${}(1,1)$, und somit liegt kein lokales Extremum vor.

Aufgabe (1 Punkt)

Begründe, ob die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy,x^{y})=(u,v,w).$

injektiv ist oder nicht.

Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv. Sowohl das Paar ${}(2,4)$ als auch das Paar ${}(4,2)$ werden auf ${}(6,8,16)$ abgebildet.

Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left({\frac {x^{2}}{2}},\,x+y\right).$

1. Ist ${}\varphi$ surjektiv?
2. Ist ${}\varphi$ injektiv?
3. Skizziere das Bild des Achsenkreuzes unter ${}\varphi$.
4. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ in einem Punkt ${}\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R} ^{2}$.
5. Bestimme die kritischen Punkte von ${}\varphi$.

Lösung

1. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise ${}{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}$ nicht erreicht wird.
2. Die Abbildung ist nicht injektiv, da ${}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ beide auf ${}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\0\end{pmatrix}}$ abgebildet werden.
3. Die ${}x$-Achse ${}{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}$, ${}x\in \mathbb {R}$ wird auf ${}{\begin{pmatrix}{\frac {x^{2}}{2}}\\x\end{pmatrix}}$, ${}x\in \mathbb {R}$ abgebildet, also eine liegende flache nach rechts offene Parabel, die ${}y$-Achse ${}{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}$, ${}y\in \mathbb {R}$ wird auf ${}{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}$, ${}y\in \mathbb {R}$ abgebildet, also auf die ${}y$-Achse.
4. Die Jacobi-Matrix ist

   ${\begin{pmatrix}x&0\\1&1\end{pmatrix}}.$

5. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

   ${}\det {\begin{pmatrix}x&0\\1&1\end{pmatrix}}=x\,,$

   die kritischen Punkte sind also die Punkte, wo ${}x=0$, also die Punkte auf der ${}y$-Achse.

Aufgabe (8 (2+3+3) Punkte)

Es sei

$g\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion.

a) Zeige, dass ${}g$ in einem Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion

$y\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y,$

auf den Graphen

${}\Gamma ={\left\{(x,y)\mid y=g(x)\right\}}\,$

im Punkt ${}(a,g(a))$ ein lokales Maximum besitzt.

b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?

c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen

$f,h\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R}$

und einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{2}$ derart, dass ${}\left(Df\right)_{P}$ und ${}\left(Dh\right)_{P}$ linear abhängig sind und dass ${}h$ auf der Faser zu ${}f$ durch ${}P$ kein lokales Extremum besitzt.

Lösung

a) Die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \Gamma ,\,x\longmapsto (x,g(x)),$

ist eine stetige Bijektion zwischen den reellen Zahlen und dem Graphen zu dieser Funktion. Dabei gilt die Beziehung

${}g=y\circ \varphi \,.$

In einer solchen Situation übersetzen sich die Extremaleigenschaften von ${}y$ und von ${}y\circ \varphi$ ineinander.

b) Den Graphen ${}\Gamma$ kann man als Faser zur Abbildung

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto y-g(x),$

über ${}0$ auffassen. Wenn die Linearform

${}h(x,y)=y\,$

auf dieser Faser in einem Punkt ${}P=(a,g(a))$ ein lokales Extremum besitzt, so besagt der Satz über die Extrema mit Nebenbedingungen, dass ${}\left(Df\right)_{P}=(-g'(a),1)$ und ${}\left(Dy\right)_{P}=(0,1)$ linear abhängig sind. Dies ist genau bei

${}g'(a)=0\,$

der Fall, und dies ist die notwendige Bedingung dafür, dass ${}g$ in ${}a$ ein lokales Extremum besitzt.

c) Wir setzen

${}f(x,y)=y-x^{3}\,$

und

${}h(x,y)=y\,$

(wir arbeiten also mit ${}g(x)=x^{3}$ und schließen an die Überlegungen aus Teil b) an). Die totalen Differentiale sind dann ${}\left(Df\right)_{P}=(-3x^{2},1)$ und ${}\left(Dy\right)_{P}=(0,1)$. Im Punkt ${}P=(0,0)$ liegt also lineare Abhängigkeit vor. Die Funktion ${}y$ hat aber auf der zugehörigen Faser (das ist der Graph zu ${}x^{3}$) kein lokales Extremum, was wegen a) daraus folgt, dass die Funktion ${}x^{3}$ kein lokales Extremum besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ersten drei Picard-Lindelöf-Iterationen zum Anfangswertproblem

${}y'=ty\,$

mit der Anfangsbedingung

${}y(0)=1\,.$

Lösung

Es ist ${}\varphi _{0}=1$. Die erste Iteration liefert

${}\varphi _{1}(t)=1+\int _{0}^{t}sds=1+{\frac {1}{2}}t^{2}\,.$

Die zweite Iteration liefert

${}{\begin{aligned}\varphi _{2}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{1}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}.\end{aligned}}$

Die dritte Iteration liefert

${}{\begin{aligned}\varphi _{3}(t)&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,\varphi _{2}(s)\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}F{\left(s,1+{\frac {1}{2}}s^{2}+{\frac {1}{8}}s^{4}\right)}ds\\&=1+\int _{0}^{t}s+{\frac {1}{2}}s^{3}+{\frac {1}{8}}s^{5}ds\\&=1+{\frac {1}{2}}t^{2}+{\frac {1}{8}}t^{4}+{\frac {1}{48}}t^{6}.\end{aligned}}$

Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.

Lösung

Aufgrund der Kettenregel ist

${}{\begin{aligned}\int _{\gamma }G&=\int _{a}^{b}\left\langle G(\gamma (t)),\gamma '(t)\right\rangle dt\\&=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}G_{i}(\gamma (t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial x_{i}}}(\gamma (t))\cdot \gamma _{i}'(t)dt\\&=\int _{a}^{b}(h\circ \gamma )^{\prime }(t)dt\\&=h(\gamma (b))-h(\gamma (a)).\end{aligned}}$

Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge ${}1$ haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt ${}30$ Grad beträgt.

1. Berechne die Grundseite des Dreiecks.
2. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

Lösung

1. Wir legen zwei Dreiecke der gegebenen Art an einem Schenkel nebeneinander. Es entsteht ein Viereck, das ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge ${}1$ enthält. Der mittlere Schenkel halbiert die zum Schenkelschnittpunkt gegenüberliegende Seite in zwei gleichlange Seiten der Länge ${}{\frac {1}{2}}$. Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist daher

   ${}h={\sqrt {1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,.$

   Daher ist die Länge des Anteils des mittleren Schenekels, der über das gleichseitige Dreieck hinausragt, gleich

   ${}c=1-h={\frac {2-{\sqrt {3}}}{2}}\,.$

   Deshalb besitzt die Grundseite des gleichschenkligen Dreiecks die Länge

   ${}{\begin{aligned}g&={\sqrt {c^{2}+{\frac {1}{4}}}}\\&={\sqrt {\left({\frac {2-{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}}}\\&={\frac {\sqrt {4+3-4{\sqrt {3}}+1}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {8-4{\sqrt {3}}}}{2}}\\&={\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}.\end{aligned}}$

2. Der Flächeninhalt ist ${}{\frac {1}{4}}$, da die Konstruktion aus Teil (1) zeigt, dass die Höhe zu einem Schenkel gleich ${}{\frac {1}{2}}$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ eine bijektive lineare Abbildung und sei ${}S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine kompakte Teilmenge mit ${}\lambda ^{n}(S)\neq 0$ und sei ${}T=\varphi (S)$ das Bild von ${}S$ unter ${}\varphi$. Zeige, dass der Schwerpunkt von ${}S$ unter ${}\varphi$ in den Schwerpunkt von ${}T$ abgebildet wird.

Lösung

Es werde ${}\varphi$ bezüglich der Standardbasis durch die Matrix ${}M=(a_{ij})$ beschrieben, deren Determinante ${}\neq 0$ ist, da ${}\varphi$ bijektiv ist. Nach Satz 58.8 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) gilt

${}\lambda ^{n}(T)=\vert {\det M}\vert \cdot \lambda ^{n}(S)\,.$

Wir bezeichnen die Koordinaten vorne mit ${}x_{i}$ und hinten mit ${}y_{i}$. Die Verknüpfung ${}y_{i}\circ \varphi$ ist somit ${}a_{i1}x_{1}+a_{i2}x_{2}+\cdots +a_{in}x_{n}$. Für die ${}i$-te Koordinate des Schwerpunktes von ${}S$ gilt nach Satz 60.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))

${}{\begin{aligned}{\frac {\int _{T}y_{i}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(T)}}&={\frac {\int _{S}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}\vert {\det M}\vert d\lambda ^{n}}{\vert {\det M}\vert \lambda ^{n}(S)}}\\&={\frac {\int _{S}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}\right)}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)}}\\&={\frac {\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\int _{S}x_{j}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)}}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{\frac {\int _{S}x_{j}d\lambda ^{n}}{\lambda ^{n}(S)}}.\end{aligned}}$

Dies ist die ${}i$-te Koordinate des Schwerpunktes von ${}S$ unter ${}\varphi$.