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Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/12/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 3 3 3 5 5 4 1 5 8 4 4 5 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum .
  2. Ein Berührpunkt zu einer Teilmenge eines metrischen Raumes .
  3. Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung , wobei

    ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ein Intervall und eine offene Teilmenge ist).

  4. Die Gramsche Matrix zu einer Bilinearform auf einem - Vektorraum bezüglich einer Basis von .
  5. Die Richtungsableitung einer Abbildung

    in einem Punkt in Richtung eines Vektors .

  6. Ein lokales Maximum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum in einem Punkt .


Lösung

  1. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

    mit folgenden Eigenschaften:

    1. Es ist

      für alle , und ebenso in der zweiten Komponente.

    2. Es ist

      für alle .

    3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.
  2. Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn zu jedem der Durchschnitt
  3. Eine Abbildung

    auf einem offenen (Teil)Intervall heißt eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

    1. Es ist für alle .
    2. Die Abbildung ist differenzierbar.
    3. Es ist für alle .
  4. Die - Matrix

    heißt die Gramsche Matrix von bezüglich der Basis.

  5. Unter der Richtungsableitung von in in Richtung versteht man den Grenzwert

    falls dieser existiert.

  6. Man sagt, dass in ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

    gilt.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Integralabschätzung für stetige Kurven.
  2. Der Satz über das Verhalten der Gramschen Matrizen zu einer Bilinearform bei einem Basiswechsel.
  3. Die Charakterisierung von Gradientenfeldern mit Wegintegralen auf einer offenen Menge .


Lösung

  1. Es sei ein euklidischer Vektorraum und

    eine stetige Abbildung. Dann gilt

  2. Es sei ein Körper, ein endlichdimensionaler - Vektorraum und eine Bilinearform auf . Es seien und zwei Basen von und es seien bzw. die Gramschen Matrizen von bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelte die Beziehungen

    die wir durch die Übergangsmatrix

    ausdrücken. Dan
  3. Es sei eine offene zusammenhängende Teilmenge und

    ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

    1. ist ein Gradientenfeld.
    2. Für jeden stetig differenzierbaren Weg hängt das Wegintegral nur vom Anfangspunkt und Endpunkt ab.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

a) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung

b) Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung


Lösung

a) Eine Stammfunktion von ist

daher ist

eine Lösung der homogenen Differentialgleichung.

b) Wir bestimmen gemäß dem Lösungsansatz für inhomogene lineare Differentialgleichungen eine Stammfunktion zu

Eine solche ist

Daher ist

eine Lösung der Differentialgleichung.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise die Dreiecksungleichung für die Norm zu einem Skalarprodukt.


Lösung

Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

Aufgrund von [[Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Skalarprodukt/R/Cauchy Schwarz/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] ist dies . Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.


Aufgabe (3 Punkte)

Von einer Bewegung

sei der Geschwindigkeitsverlauf

bekannt. Ferner sei

bekannt. Bestimme .


Lösung

Die Integralkurven ergeben sich durch komponentenweises Integrieren zu

Die Anfangsbedingung ergibt

und

Die Lösungskurve ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Wegintegral zur archimedischen Spirale

im Vektorfeld


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die Lösung des Anfangswertproblems

mit der Anfangsbedingung


Lösung

Aus der dritten Zeile

mit der Anfangsbedingung folgt direkt

Entsprechend folgt aus der zweiten Zeile direkt

Die erste Zeile liefert die eindimensionale Differentialgleichung

Dies ist eine eindimensionale inhomogene lineare Differentialgleichung. Die zugehörige homogene Gleichung besitzt die Lösung . Mit Variation der Konstanten, also dem Ansatz

(siehe [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Lineare gewöhnliche Differentialgleichung/Inhomogen/1/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]), ergibt sich die Bedingung

Die Stammfunktion hiervon sind

Somit ist

und die Anfangsbedingung legt

fest. Die Lösung des Anfangswertproblems ist somit


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung

in einem Punkt .


Lösung

Da eine lineare Abbildung von nach ist, liefert die Anwendung dieser Abbildung auf einen Vektor einen Vektor in . Nach Voraussetzung haben wir

(mit den üblichen Bedingungen an ). Insbesondere gilt für (hinreichend kleines)

Also gilt

da und der Ausdruck beschränkt ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion

und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein lokales Extremum vorliegt.


Lösung

Die Jacobi-Matrix dieser Funktion ist

Wir setzen beide Komponenten gleich und erhalten durch Subtraktion der beiden Gleichungen voneinander die Bedingung

also ist

Der einzige kritische Punkt der Funktion ist also

Wir bestimmen die Hesse-Matrix in diesem Punkt. Sie ist

Wir wenden das Minorenkriterium an. Der Eintrag links oben ist positiv, die Determinante ist , also negativ. Daher besitzt die Hesse-Form den Typ , und somit liegt kein lokales Extremum vor.


Aufgabe (1 Punkt)

Begründe, ob die Abbildung

injektiv ist oder nicht.


Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv. Sowohl das Paar als auch das Paar werden auf abgebildet.


Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Ist surjektiv?
  2. Ist injektiv?
  3. Skizziere das Bild des Achsenkreuzes unter .
  4. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  5. Bestimme die kritischen Punkte von .


Lösung

  1. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise nicht erreicht wird.
  2. Die Abbildung ist nicht injektiv, da und beide auf abgebildet werden.
  3. Die -Achse , wird auf , abgebildet, also eine liegende flache nach rechts offene Parabel, die -Achse , wird auf , abgebildet, also auf die -Achse.
  4. Die Jacobi-Matrix ist
  5. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

    die kritischen Punkte sind also die Punkte, wo , also die Punkte auf der -Achse.


Aufgabe (8 (2+3+3) Punkte)

Es sei

eine stetig differenzierbare Funktion.

a) Zeige, dass in einem Punkt genau dann ein lokales Maximum besitzt, wenn die Einschränkung der Funktion

auf den Graphen

im Punkt ein lokales Maximum besitzt.

b) Wie steht in dieser Situation der Satz über Extrema mit Nebenbedingungen mit dem eindimensionalen notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum in Verbindung?

c) Man gebe ein Beispiel von zwei stetig differenzierbaren Funktionen

und einem Punkt derart, dass und linear abhängig sind und dass auf der Faser zu durch kein lokales Extremum besitzt.


Lösung

a) Die Abbildung

ist eine stetige Bijektion zwischen den reellen Zahlen und dem Graphen zu dieser Funktion. Dabei gilt die Beziehung

In einer solchen Situation übersetzen sich die Extremaleigenschaften von und von ineinander.

b) Den Graphen kann man als Faser zur Abbildung

über auffassen. Wenn die Linearform

auf dieser Faser in einem Punkt ein lokales Extremum besitzt, so besagt der Satz über die Extrema mit Nebenbedingungen, dass und linear abhängig sind. Dies ist genau bei

der Fall, und dies ist die notwendige Bedingung dafür, dass in ein lokales Extremum besitzt.

c) Wir setzen

und

(wir arbeiten also mit und schließen an die Überlegungen aus Teil b) an). Die totalen Differentiale sind dann und . Im Punkt liegt also lineare Abhängigkeit vor. Die Funktion hat aber auf der zugehörigen Faser (das ist der Graph zu ) kein lokales Extremum, was wegen a) daraus folgt, dass die Funktion kein lokales Extremum besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ersten drei Picard-Lindelöf-Iterationen zum Anfangswertproblem

mit der Anfangsbedingung


Lösung

Es ist . Die erste Iteration liefert

Die zweite Iteration liefert

Die dritte Iteration liefert


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über das Wegintegral in einem Gradientenfeld.


Lösung

Aufgrund der Kettenregel ist


Aufgabe (4 (3+1) Punkte)

Wir betrachten ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Schenkel die Länge haben und dessen Winkel am Schenkelschnittpunkt Grad beträgt.

  1. Berechne die Grundseite des Dreiecks.
  2. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.


Lösung

  1. Wir legen zwei Dreiecke der gegebenen Art an einem Schenkel nebeneinander. Es entsteht ein Viereck, das ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge enthält. Der mittlere Schenkel halbiert die zum Schenkelschnittpunkt gegenüberliegende Seite in zwei gleichlange Seiten der Länge . Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist daher

    Daher ist die Länge des Anteils des mittleren Schenekels, der über das gleichseitige Dreieck hinausragt, gleich

    Deshalb besitzt die Grundseite des gleichschenkligen Dreiecks die Länge

  2. Der Flächeninhalt ist , da die Konstruktion aus Teil (1) zeigt, dass die Höhe zu einem Schenkel gleich ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine bijektive lineare Abbildung und sei eine kompakte Teilmenge mit und sei das Bild von unter . Zeige, dass der Schwerpunkt von unter in den Schwerpunkt von abgebildet wird.


Lösung

Es werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix beschrieben, deren Determinante ist, da bijektiv ist. Nach [[R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/R^n/Kompakte Teilmenge/Volumen/Lineare Abbildung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]] gilt

Wir bezeichnen die Koordinaten vorne mit und hinten mit . Die Verknüpfung ist somit . Für die -te Koordinate des Schwerpunktes von gilt nach [[Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Diffeomorphismus/Transformationsformel für Integrale/Kompakte Teilmengen/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]

Dies ist die -te Koordinate des Schwerpunktes von unter .