Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Vorlesung 34

Eine wichtige Zielsetzung dieses Kurses ist es, die Analysis und insbesondere die Konzepte Approximation, Konvergenz, Stetigkeit und Differenzierbarkeit auf höherdimensionale Situationen zu verallgemeinern. Dazu brauchen wir zunächst einen sinnvollen Abstandsbegriff.

Euklidische Vektorräume

Im Anschauungsraum kann man nicht nur Vektoren addieren und skalieren, sondern ein Vektor hat auch eine Länge, und die Lagebeziehung von zwei Vektoren zueinander wird durch den Winkel zwischen ihnen ausgedrückt. Länge und Winkel werden beide durch den Begriff des Skalarprodukts präzisiert. Dafür muss ein reeller Vektorraum vorliegen.

Definition

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

mit folgenden Eigenschaften:

1. Es ist

   ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

   für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, ${}x_{1},x_{2}\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.

2. Es ist

   ${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

   für alle ${}v,w\in V$.

3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.

Die dabei auftretenden Eigenschaften heißen Bilinearität (das ist nur eine andere Bezeichnung für multilinear, wenn der Definitionsbereich das Produkt von zwei Vektorräumen ist), Symmetrie und positive Definitheit.

Beispiel

Auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist die Abbildung

$\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)=({\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)},{\left(w_{1},\ldots ,w_{n}\right)})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}v_{i}w_{i},$

ein Skalarprodukt, das man das Standardskalarprodukt nennt. Einfache Rechnungen zeigen, dass dies in der Tat ein Skalarprodukt ist.

Beispielsweise ist im ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit dem Standardskalarprodukt

${}\left\langle {\begin{pmatrix}3\\-5\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\4\\6\end{pmatrix}}\right\rangle =3\cdot (-1)-5\cdot 4+2\cdot 6=-11\,.$

Definition

Ein reeller, endlichdimensionaler Vektorraum, der mit einem Skalarprodukt versehen ist, heißt euklidischer Vektorraum.

Zu einem euklidischen Vektorraum ${}V$ ist jeder Untervektorraum ${}U\subseteq V$ selbst wieder ein euklidischer Vektorraum, da man das Skalarprodukt auf ${}U$ einschränken kann und dabei die definierenden Eigenschaften erhalten bleiben.

Norm und Abstand

Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann nennt man zu einem Vektor ${}v\in V$ die reelle Zahl

${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$

die Norm von ${}v$.

Die Norm ist der Abstand (siehe weiter unten) zum Nullpunkt. Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ mit dem Standardskalarprodukt ist beispielsweise

${}\Vert {\begin{pmatrix}3\\2\\-4\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {9+4+16}}={\sqrt {29}}\,.$

Dass dies der „richtige“ Abstand zum Nullpunkt ist, beruht auf dem elementargeometrischen Satz von Pythagoras.

Satz

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

für alle ${}v,w\in V$.

Beweis

Bei ${}w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also ${}w\neq 0$ und damit auch ${}\Vert {w}\Vert \neq 0$. Damit hat man die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle \left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}$

Multiplikation mit ${}\Vert {w}\Vert ^{2}$ und Wurzelziehen ergibt das Resultat.

$\Box$

Bemerkung  

Für von ${}0$ verschiedene Vektoren ${}v$ und ${}w$ in einem euklidischen Vektorraum ${}V$ folgt aus der der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass

${}-1\leq {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\leq 1\,$

ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung ${}[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch

${}\angle (v,w):=\arccos {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\,.$

Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen ${}0$ und ${}\pi$. Die obige Gleichung kann man auch als

${}\left\langle v,w\right\rangle =\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \cdot \cos \left(\angle (v,w)\right)\,$

schreiben, was die Möglichkeit eröffnet, das Skalarprodukt in dieser Weise zu definieren. Allerdings muss man dann für den Winkel eine unabhängige Definition finden. Dieser Zugang ist etwas intuitiver, hat aber rechnerisch und beweistechnisch viele Nachteile.

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$.
2. Es ist ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in \mathbb {R}$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Beweis

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus

${}\Vert {\lambda v}\Vert ^{2}=\left\langle \lambda v,\lambda v\right\rangle =\lambda \left\langle v,\lambda v\right\rangle =\lambda ^{2}\left\langle v,v\right\rangle =\lambda ^{2}\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

${}\Vert {v+w}\Vert ^{2}=\left\langle v+w,v+w\right\rangle =\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\left\langle v,w\right\rangle \leq \Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \,$

Aufgrund von Satz 34.5 ist dies ${}\leq {\left(\Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \right)}^{2}$. Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.

$\Box$

Die folgende Aussage heißt Polarisationsformel.

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 34.3.

$\Box$

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zu zwei Vektoren ${}v,w\in V$ nennt man

${}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert \,$

den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$.

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ${}u,v,w\in V$).

1. Es ist ${}d(v,w)\geq 0$.
2. Es ist ${}d(v,w)=0$ genau dann, wenn ${}v=w$.
3. Es ist ${}d(v,w)=d(w,v)$.
4. Es ist

   ${}d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe 34.8.

$\Box$

Damit ist ein euklidischer Raum insbesondere ein metrischer Raum, womit wir uns in den nächsten Vorlesungen beschäftigen werden.

Orthogonalität

Mit dem Skalarprodukt kann man die Eigenschaft zweier Vektoren, aufeinander senkrecht zu stehen, ausdrücken.

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}\mathbb {R}$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Man nennt zwei Vektoren ${}v,w\in V$ orthogonal zueinander (oder senkrecht), wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

ist.

Definition

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum. Dann heißt

${}U^{\perp }={\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$

das orthogonale Komplement von ${}U$.

Beispiel

Es sei ${}V=\mathbb {R} ^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt versehen. Zum eindimensionalen Untervektorraum ${}\mathbb {R} e_{i}$ zum Standardvektor ${}e_{i}$ besteht das orthogonale Komplement aus allen Vektoren ${}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{i-1}\\0\\x_{i+1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}$, deren ${}i$-ter Eintrag ${}0$ ist. Zum eindimensionalen Untervektorraum ${}\mathbb {R} v$ zu einem Vektor

${}v={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\neq 0\,$

kann man das orthogonale Komplement bestimmen, indem man den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,$

bestimmt. Der Orthogonalraum

${}U=(\mathbb {R} v)^{\perp }={\left\{{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\mid a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\right\}}\,$

besitzt die Dimension ${}n-1$, es handelt sich also um eine sogenannte Hyperebene. Man nennt dann ${}v$ einen Normalenvektor für die Hyperebene ${}U$.

Zu einem Untervektorraum ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$, der durch eine Basis (oder ein Erzeugendensystem) ${}v_{i}={\begin{pmatrix}a_{i1}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix}}$, ${}i=1,\ldots ,k$, gegeben ist, bestimmt man das orthogonale Komplement als Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

${}A{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}=0\,,$

wobei ${}A={\left(a_{ij}\right)}$ die aus den ${}v_{i}$ (als Zeilen) gebildete Matrix ist.

Definition

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum. Eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ heißt Orthonormalbasis, wenn

$\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle =1{\text{ für }}{\text{alle }}i{\text{ und }}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0{\text{ für }}i\neq j$

gilt.

Die Elemente in einer Orthonormalbasis haben alle die Norm ${}1$ und sie stehen senkrecht aufeinander. Im ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist die Standardbasis eine Orthonormalbasis. Das folgende Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren erlaubt es, ausgehend von einer Basis eine Orthonormalbasis zu konstruieren.

Satz

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und es sei ${}v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$.

Dann gibt es eine Orthonormalbasis ${}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{n}$ von ${}V$ mit

${}\langle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{i}\rangle =\langle u_{1},u_{2},\ldots ,u_{i}\rangle \,$

für alle ${}i=1,\ldots ,n$.

Beweis

Die Aussage wird durch Induktion über ${}i$ bewiesen, d.h. es wird sukzessive eine Familie von orthonormalen Vektoren konstruiert, die jeweils den gleichen Untervektorraum aufspannen. Für ${}i=1$ muss man lediglich ${}v_{1}$ normieren, also durch

${}u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}\,$

ersetzen. Es sei die Aussage für ${}i$ schon bewiesen und sei eine Familie von orthonormalen Vektoren ${}u_{1},\ldots ,u_{i}$ mit ${}\langle u_{1},\ldots ,u_{i}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle$ bereits konstruiert. Wir setzen

${}w_{i+1}=v_{i+1}-\left\langle v_{i+1},u_{1}\right\rangle u_{1}-\cdots -\left\langle v_{i+1},u_{i}\right\rangle u_{i}\,.$

Dieser Vektor steht senkrecht auf allen ${}u_{1},\ldots ,u_{i}$ und offenbar ist ${}\langle u_{1},\ldots ,u_{i},w_{i+1}\rangle =\langle v_{1},\ldots ,v_{i},v_{i+1}\rangle$. Durch Normieren von ${}w_{i+1}$ erhält man ${}u_{i+1}$.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}V$ der Kern der linearen Abbildung

$\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto 2x+3y-z.$

Als Unterraum des ${}\mathbb {R} ^{3}$ trägt ${}V$ das induzierte Skalarprodukt. Wir möchten eine Orthonormalbasis von ${}V$ bestimmen. Dazu betrachten wir die Basis bestehend aus den Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}.$

Es ist ${}\Vert {v_{1}}\Vert ={\sqrt {5}}$ und somit ist

${}u_{1}={\frac {v_{1}}{\Vert {v_{1}}\Vert }}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\,$

der zugehörige normierte Vektor. Gemäß dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren setzen wir

${}{\begin{aligned}w_{2}&=v_{2}-\left\langle v_{2},u_{1}\right\rangle u_{1}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\right\rangle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\frac {6}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {5}}}\\0\\{\frac {2}{\sqrt {5}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}{\frac {6}{5}}\\0\\{\frac {12}{5}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

Es ist

${}\Vert {w_{2}}\Vert =\Vert {\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}\Vert ={\sqrt {{\frac {36}{25}}+1+{\frac {9}{25}}}}={\sqrt {\frac {70}{25}}}={\frac {\sqrt {14}}{\sqrt {5}}}\,$

und daher ist

${}u_{2}={\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}{\begin{pmatrix}-{\frac {6}{5}}\\1\\{\frac {3}{5}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {6}{\sqrt {70}}}\\{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {14}}}\\{\frac {3}{\sqrt {70}}}\end{pmatrix}}\,$

der zweite Vektor der Orthonormalbasis.

Bemerkung  

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum mit dem orthogonalem Komplement ${}U^{\perp }$. Es sei ${}E=P+U$ ein affiner Unterraum und ${}v\in V$, ${}v\neq 0$, ein Vektor und ${}G=Q+\mathbb {R} v$ die Gerade durch einen Punkt ${}Q$ mit dem Richtungsvektor ${}v$. Man denke bei ${}E$ an eine fixierte Gerade (eine Bande) in der Ebene oder eine Spiegelungsebene im Raum und bei ${}v$ an die Richtung einer Billardkugel oder eines Lichtstrahls, die Bewegung ist durch die Abbildung ${}\mathbb {R} \longrightarrow V$, ${}t\longmapsto Q+tv$, gegeben.

Wenn die Bewegung auf ${}E$ trifft, so wird die Bewegung nach dem Reflexionsgesetz reflektiert, dabei gilt die Beziehung Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel. Wir bestimmen den Ausfallsvektor und die Gesamtbewegung. Wir können ${}P=Q$ annehmen und dass die Bewegung zum Zeitpunkt ${}0$ diesen Punkt erreicht. Der Einfallsvektor ${}v$ besitzt nach Aufgabe 34.13 eine eindeutige Zerlegung

${}v=u+w\,$

mit ${}u\in U$ und ${}w\in U^{\perp }$. Der Vektor ${}w$ wird also zerlegt in die Spiegelungskomponente ${}u$ und in die Lotkomponente ${}w$. Der Ausfallsvektor ${}v^{*}$ ist dann gleich ${}u-w$, es gilt

${}\left\langle v,u\right\rangle =\left\langle u+w,u\right\rangle =\left\langle u,u\right\rangle =\left\langle u-w,u\right\rangle =\left\langle {v^{*}},u\right\rangle \,.$

Ein Vektor, der zu ${}U$ gehört, wird gar nicht reflektiert, ein Vektor, der senkrecht auf ${}U$ steht, wird in sein Negatives reflektiert. Die gesamte (ungebremste) Bewegung ist durch

${}\gamma (t)={\begin{cases}P+t(u+w){\text{ für }}t\leq 0\,,\\P+t(u-w){\text{ für }}t\geq 0\,,\end{cases}}\,$

gegeben.

Der Gradient

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Eine lineare Abbildung

$V\longrightarrow K$

heißt eine Linearform auf ${}V$.

Lemma

Es sei ${}(V,\left\langle -,-\right\rangle )$ ein euklidischer Vektorraum und

$f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Linearform.

Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Vektor ${}w\in V$ mit

${}f(v)=\left\langle w,v\right\rangle \,.$

Wenn ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ eine Orthonormalbasis von ${}V$ und ${}f(u_{i})=a_{i}$ ist, so ist dieser Vektor gleich ${}w=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$.

Beweis

Die Aussage folgt aus dem Zusatz. Es sei also eine Orthonormalbasis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ gegeben und sei ${}w=\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}$. Dann ist für jedes ${}j$

${}\left\langle w,u_{j}\right\rangle =\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i},u_{j}\right\rangle =a_{j}=f(u_{j})\,.$

D.h. die beiden linearen Abbildungen ${}v\mapsto \left\langle w,v\right\rangle$ und ${}f$ stimmen auf einer Basis überein, sind also nach Satz 24.7 identisch. Für jeden anderen Vektor ${}w'=\sum _{i=1}^{n}b_{i}u_{i}$ ist der Wert der zugehörigen Linearform an mindestens einem Basisvektor ${}u_{j}$ von ${}f(u_{j})$ verschieden, daher liegt Eindeutigkeit vor.

$\Box$

Dieser Vektor, mit dem man die Linearform mit Hilfe des Skalarproduktes beschreiben kann, heißt Gradient zur Linearform.

Fußnoten

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