Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil II/Arbeitsblatt 36/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Metrik. Zeige, dass die Inklusion stetig ist.
Es sei ein metrischer Raum und seien reelle Zahlen. Es seien
stetige Abbildungen mit . Zeige, dass dann die Abbildung
ebenfalls stetig ist.
Es sei
eine stetige Abbildung zwischen den metrischen Räumen und . Ist das Urbild eines offenen Balles stets wieder ein offener Ball in ?
Es sei ein metrischer Raum und sei
eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einer offenen Ballumgebung von gilt.
Es seien metrische Räume und seien
Abbildungen. Es sei stetig in und es sei stetig in . Zeige, dass die Hintereinanderschaltung
Kommentar:
Wie in der Vorlesung erwähnt, ist dies am leichtesten, in dem man die Stetigkeit mit Hilfe offener Mengen zeigt. Es geht auch mit dem --Kriterien. Da wir mehrere stetige Funktionen haben, geben wir den und Indizes, damit wir diese nicht verwechseln. Die Stetigkeit von in liefert, dass für alle ein existiert, sodass
Die Stetigkeit von in liefert, dass für alle ein existiert, sodass
Um die Stetigkeit von in zu zeigen, sei nun und wir müssen zeigen, dass am Ende ein existiert, sodass
ist.
Als erstes nutzt man nun die Steteigkeit von , wobei dort jetzt die Rolle von übernimmt. Damit folgt, dass
ist, für ein passendes . Als nächstes kann man die Stetigkeit von nutzen. Hierbei nimmt aber das eben erhaltene die Rolle von ein. Wir erhalten
für ein gewisses . Wendet man hierauf die Funktion an, bleibt die Teilmengenbeziehung erhalten und mit dem Vorherigen kombiniert, erhalten wir insgesamt
Das heißt, mit haben wir die Existenz eines geeigneten für die Stetigkeit von gezeigt.
Es sei ein Untervektorraum im euklidischen Raum . Zeige, dass abgeschlossen im ist.
Es seien und metrische Räume und es seien
zwei stetige Abbildungen. Zeige, dass die Menge
abgeschlossen in ist.
Wir betrachten die trigonometrische Parametrisierung des Einheitskreises, also die Abbildung
Zeige, dass eine Bijektion zwischen und dem Einheitskreis definiert, die stetig ist, deren Umkehrabbildung aber nicht stetig ist.
Es sei mit der euklidischen Metrik und mit der diskreten Metrik. Es sei
die Identität. Zeige, dass stetig ist, die Umkehrabbildung aber nicht.
Zwei metrische Räume und heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung
gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.
Zeige, dass das offene Einheitsintervall und das abgeschlossene Einheitsintervall nicht homöomorph sind.
Stifte eine Homöomorphie zwischen der abgeschlossenen Kreisscheibe und dem abgeschlossenen Quadrat.
Es sei ein halboffenes Intervall. Kann man in zwei disjunkte Unterräume derart zerlegen, dass und untereinander homöomorph sind?
Kommentar:
Nach Satz 36.3 ist eine Abbildung zwischen metrischen Räumen genau dann stetig, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind. Von daher würden wir direkt Probleme bekommen, wenn wir zum Beispiel in ein offenes Intervall und ein geschlossenes Intervall zerlegen würden (zum Beispiel
und müssen natürlich nicht unbedingt aus jeweils einem Teilintervall bestehen und könnten komplizierter sein. Es macht aber Sinn, es erst einmal so einfach wie möglich zu halten. Deswegen versuchen wir es mit der Aufteilung in
Nun können wir die Abbildung
Ihre Inverse ist dann
Dass beide stetig sind, lässt sich leicht dadurch sehen, dass offene Mengen nach Verschiebung weiterhin offen sind.
Es sei
eine Polynomfunktion und eine Basis von mit den zugehörigen Koordinatenfunktionen . Zeige, dass auch eine Polynomfunktion in diesen Koordinaten ist.
Es sei
eine Abbildung, die in jeder Komponente polynomial sei und sei
eine polynomiale Funktion. Zeige, dass dann auch die Hintereinanderschaltung eine polynomiale Funktion ist.
Finde ein Polynom der Form
das die Bedingungen
erfüllt.
Es sei und sei die Menge der reellen invertierbaren -Matrizen. Zeige, dass die Abbildung
stetig ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Im Nullpunkt befinde sich die Pupille eines Auges (oder eine Linse) und die durch bestimmte Ebene sei die Netzhaut (oder eine Fotoplatte). Bestimme die Abbildung
die das Sehen (oder Fotografieren) beschreibt (d.h. einem Punkt des Halbraumes wird durch den Lichtstrahl ein Punkt der Netzhaut zugeordnet). Ist diese Abbildung stetig, ist sie linear?
Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen
Ein Billardtisch sei cm breit und cm lang, die Kugeln haben einen Radius von cm und die Ecklöcher seien ein Viertelkreis[1] mit Radius cm um einen Eckpunkt. An den Tisch sei ein Koordinatensystem angelegt, das parallel zu den Tischseiten verläuft und bei dem die linke untere Ecke der Nullpunkt sei.
Berechne für die linke untere Ecke die Koordinaten der beiden Punkte des Lochrandes, durch die der Mittelpunkt einer Kugel hindurch muss, wenn sie eingelocht werden soll. Wie lang ist der Abstand zwischen diesen beiden Punkten, wie lang ist die Lochberandung zwischen diesen Punkten?
Eine Kugel soll nun direkt (ohne Verwendung von Bande oder anderen Kugeln) in dieses Loch versenkt werden, wobei der Queuestoß stets in Richtung der Kugelmitte und an deren „Äquator“ durchgeführt wird. Welche Winkeltoleranz zum Versenken der Kugel liegt vor, wenn der Kugelmittelpunkt die folgende Position besitzt:
a) (63.5, 63.5)
b) (100, 100)
c) (63.5, 192,5)
d) (63.5, 10)
Welche Länge hat das zugehörige Kreissegment auf der Kugel?
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Man gebe eine Homöomorphie zwischen und an.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein offenes Intervall. Kann man in zwei disjunkte Unterräume derart zerlegen, dass und untereinander homöomorph sind?
- Die Aufgabe zum Aufgeben
Aufgabe (10 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein abgeschlossenes Intervall. Kann man in zwei disjunkte Unterräume derart zerlegen, dass und untereinander homöomorph sind?
- Fußnoten
- ↑ Diese Aufgabe ergibt auch Sinn, wenn die Löcher volle Kreise um die Eckpunkte sind, hat aber ein anderes Ergebnis.