Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 6/kontrolle

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Monoidhomomorphismus zwischen kommutativen Monoiden und sei die Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf ${}M$ durch ${}\mu \sim \nu$, falls ${}\varphi (\mu )=\varphi (\nu )$ ist, definiert. Zeige, dass ${}\sim$ mit der Verknüpfung verträglich ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,+,0)$ eine kommutative Gruppe und ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation auf ${}M$. Zeige, dass ${}\sim$ genau dann mit der Verknüpfung verträglich ist, wenn es eine Untergruppe ${}H\subseteq M$ derart gibt, dass ${}\mu \sim \nu$ genau dann gilt, wenn ${}\mu -\nu \in H$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ eine Relation auf einem kommutativen Monoid ${}M$. Zeige, dass es eine kleinste, mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf ${}M$ gibt, die ${}R$ umfasst.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die von einer einzigen Relation ${}\alpha \sim \beta$ erzeugte mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf ${}M$ folgendermaßen gegeben ist: Es ist ${}x\sim y$ genau dann, wenn es eine Kette

$x_{1}=x,\ldots ,x_{n}=y$

gibt, wobei es für jedes ${}i$ ein ${}r\in \mathbb {N}$ und ein ${}\gamma \in M$ mit ${}x_{i}=r\alpha +\gamma$ und ${}x_{i+1}=r\beta +\gamma$ (oder umgekehrt) ist.

Aufgabe Aufgabe 6.5 ändern

Es sei ${}\sim$ eine mit der Verknüpfung verträgliche Äquivalenzrelation auf einem kommutativen Monoid. Zeige, dass es auf der Quotientenmenge ${}M/\sim$ eine eindeutig bestimmte Verknüpfung derart gibt, dass die kanonische Projektion ${}M\rightarrow M/\sim$ ein Monoidhomomorphismus ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde eine Realisierung des Monoids ${}\mathbb {N} ^{2}/2e\sim 4f$ als Untermonoid von ${}\mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}M\subseteq N$ kommutative Monoide. Zeige, dass durch

${}{\tilde {M}}={\left\{n\in N\mid {\text{es gibt }}k\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}kn\in M\right\}}\,$

ein Untermonoid von ${}N$ gegeben ist, das ${}M$ umfasst.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel eines Untermonoids ${}M\subseteq \mathbb {N} ^{2}$, das nicht endlich erzeugt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

${\left(4T^{(-1,3)}-6T^{(-2,5)}+5T^{(0,-2)}+3T^{(-1,1)}\right)}\cdot {\left(-7T^{(1,0)}+8T^{(4,5)}-4T^{(-3,5)}+6T^{(3,-1)}\right)}$

im Monoidring ${}K[\mathbb {Z} ^{2}]$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

${\left(4T^{0}-9T^{1}+9T^{2}+7T^{3}-4T^{4}\right)}\cdot {\left(4T^{0}-T^{1}+5T^{2}+7T^{3}-T^{4}\right)}$

im Monoidring ${}K[\mathbb {Z} /(5)]$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Multiplikation auf einem Monoidring zu einem kommutativen Monoid das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz erfüllt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und es sei ${}e\in M$ ein Element mit ${}2e=e$. Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}K[M]$ der zugehörige Monoidring. Zeige, dass ${}T^{e}$ ein idempotentes Element in ${}K[M]$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe ${}G\neq 0$. Zeige, dass der Monoidring ${}{\mathbb {C} }[G]$ nicht zusammenhängend ist, obwohl es in der Gruppe außer ${}0$ kein Element ${}e$ gibt, das die Gleichung ${}2e=e$ erfüllt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

${}G=\mathbb {Z} ^{r}\times \mathbb {Z} /(n_{1})\times \mathbb {Z} /(n_{2})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(n_{s})\,$

eine endlich erzeugte kommutative Gruppe (mit ${}n_{1},\ldots ,n_{s}\in \mathbb {N} _{\geq 2}$) und sei ${}K$ ein Körper. Beschreibe den Gruppenring ${}K[G]$ durch Variablen und Relationen. Zeige, dass (unter gewissen Voraussetzungen an den Körper) das entsprechende Nullstellengebilde glatt ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man den Koordinatenring zum Standardkegel ${}V(Z^{2}-X^{2}-Y^{2})$ über ${}{\mathbb {C} }$ als einen Monoidring realisieren kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper. Finde ein kommutatives Monoid ${}M$ derart, dass eine Isomorphie

${}K[M]\cong K[X,Y,U,V]/(UX-VY)\,$

vorliegt.

Die invertierbaren Elemente in einem Monoid nennt man auch Einheiten des Monoids. Sie bilden die Einheitengruppe des Monoids.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und ${}K$ ein Körper. Es sei ${}m\in M$ und ${}T^{m}\in K[M]$. Zeige, dass ${}m$ genau dann eine Einheit in ${}M$ ist, wenn ${}T^{m}$ eine Einheit in ${}K[M]$ ist.

Aufgabe Aufgabe 6.18 ändern

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M,N$ kommutative Monoide. Zu einem Monoidhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ werde der zugehörige ${}R$- Algebrahomomorphismus

$R[M]\longrightarrow R[N]$

im Sinne von Korollar 6.8 mit ${}R[\varphi ]$ bezeichnet. Zeige die folgenden Eigenschaften.

1. Zur Identität ${}\operatorname {Id} _{M}$ ist auch ${}R[\operatorname {Id} _{M}]$ die Identität.
2. Für eine Hintereinanderschaltung von Monoidhomomorphismen ist

   ${}R[\varphi \circ \psi ]=R[\varphi ]\circ R[\psi ]\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und ${}R$ ein kommutativer Ring. Charakterisiere, für welche Teilmengen ${}I\subseteq M$ die Teilmenge

${}R[I]=\bigoplus _{m\in I}T^{m}\subseteq R[M]\,$

ein Ideal in ${}R[M]$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Beweise die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R[\mathbb {Z} ^{n}]\cong R[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{1}\cdots X_{n}}\,$

mit Hilfe der universellen Eigenschaften von Monoidringen und Nenneraufnahmen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid und sei ${}f\in M$. Wir betrachten die Menge

${}M_{f}={\left\{m-nf\mid m\in M,\,n\in \mathbb {N} \right\}}/\sim \,,$

wobei die Relation

${}m-nf\sim m'-n'f\,$

genau dann gilt, wenn es ein ${}k\in \mathbb {N}$ derart gibt, dass

${}m+n'f+kf=m'+nf+kf\,$

in ${}M$ gilt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Definiere auf ${}M_{f}$ eine Monoidstruktur.
3. Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}T^{f}\in R[M]$ das Monom zu ${}f$ im Monoidring. Zeige

   ${}R[M_{f}]\cong R[M]_{T^{f}}\,.$

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Es seien ${}M\subseteq N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit Kürzungsregel. Zeige, dass für einen Körper ${}K$ der Ringhomomorphismus ${}K[M]\subseteq K[N]$ genau dann endlich ist, wenn es zu jedem ${}n\in N$ ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}kn\in M$ gibt.

Die folgenden Aufgaben besprechen Monoidringe zu Monoiden, die nicht endlich erzeugt sind.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne in ${}R=\mathbb {R} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Produkt

${\left(X^{2}+4X^{3/2}-5X+X^{1/2}\right)}{\left(2X^{3/2}+4X-7X^{1/2}\right)}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man jedes Element ${}F\in R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ (${}K$ ein Körper) als ein Polynom in ${}X^{1/b}$ mit einem ${}b\in \mathbb {N} _{+}$ schreiben kann, dass es also ein ${}P\in K[Y]$ derart gibt, dass ${}F=P(X^{1/b})$ gilt. Welches Polynom kann man bei

${}F=X^{1/2}+X^{1/3}+X^{1/5}\,$

nehmen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in ${}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Element ${}X$ keine Zerlegung in irreduzible Elemente besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass in ${}R=\mathbb {R} [\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ das Element ${}X^{2}+1$ nicht irreduzibel ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es in ${}R={\mathbb {C} }[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$ keine irreduziblen Elemente gibt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme sämtliche Teiler von ${}X$ im Ring ${}R=K[\mathbb {Q} _{\geq 0}]$, wobei ${}K$ ein Körper ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Einheiten im Ring ${}R=K[\mathbb {Q} ]$, wobei ${}K$ ein Körper ist.

Die folgenden Aufgaben mit dem ${}K$-Spektrum eines kommutativen Monoids ${}M$, also der Menge aller Monoidhomomorphismen von ${}M$ nach ${}K$ (mit der multiplikativen Struktur).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten das kommutative Monoid ${}M$, das durch die drei Erzeuger ${}e,f,g$ und die einzige Relation ${}e+f=5g$ gegeben ist. Bestimme das ${}K$- Spektrum zu ${}M$ für verschiedene Körper ${}K$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein endliches kommutatives Monoid. Zeige, dass das ${}K$- Spektrum zu ${}M$ auch endlich ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Betrachte den Monoidhomomorphismus

$\mathbb {N} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,e_{1}\longmapsto 1,\,e_{2}\longmapsto -1.$

Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper ${}K$) und den zugehörigen ${}K$-Spektren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten Monoide der Form ${}M=(\mathbb {Z} /(m),+)$. Beschreibe ${}K-\operatorname {Spek} \,(K[M])$ allgemein sowie für die Körper ${}K=\mathbb {R} ,{\mathbb {C} },\mathbb {Z} /(5)$. Finde die idempotenten Elemente von ${}\mathbb {C} [\mathbb {Z} /(3)]$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Diskutiere Beispiel 5.6 im Kontext von Monoidringen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}M,N$ endlich erzeugte kommutative Monoide mit den ${}K$-Spektren ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(M,K)$ und ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[N]\right)}=\operatorname {Mor} _{\operatorname {mon} }\,(N,K)$. Zeige, dass man für einen Monoidhomomorphismus ${}\varphi :M\rightarrow N$ die zugehörige Spektrumsabbildung auf zwei verschiedene Weisen definieren kann, die aber inhaltlich übereinstimmen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M=(\mathbb {Q} ,+)$ die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme ${}\mathbb {Q} \!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(\mathbb {Q} [M]\right)}$. Wie sieht es aus, wenn man ${}\mathbb {Q}$ durch ${}\mathbb {R}$ ersetzt?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die kommutativen Monoide ${}M=\mathbb {N} ^{r}$ und ${}N={\mathbb {N} }^{s}$. Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von ${}M$ nach ${}N$ eindeutig durch eine Matrix (mit ${}r$ Spalten und ${}s$ Zeilen) mit Einträgen aus ${}\mathbb {N}$ bestimmt ist.

Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine quadratische ${}r\times r$-Matrix mit Einträgen aus ${}\mathbb {N}$ mit der zugehörigen Monoidabbildung und der zugehörigen Spektrumsabbildung

$\varphi \colon K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)}\longrightarrow K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)},$

wobei ${}K$ ein unendlicher Körper sei. Zeige, dass genau dann ${}\det(M)\neq 0$ ist, wenn ${}\varphi$ surjektiv auf eine offene Menge aus ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[\mathbb {N} ^{r}]\right)}$ abbildet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus ${}K-\operatorname {Spec} \,K[N]$, die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt ${}1\in K-\operatorname {Spek} \,(K[M])$  (das ist der Punkt, der der konstanten Abbildung ${}M\mapsto 1$ entspricht) abgebildet werden, selbst die Struktur eines ${}K$-Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}M$ und ${}N$ kommutative Monoide und sei ${}K$ ein Körper. In welcher Beziehung steht ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M\times N]\right)}$ zu ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[M]\right)}$ und ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(K[N]\right)}$?

Die folgenden Aufgaben haben mit der Differenzengruppe eines Monoids zu tun.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Differenzengruppe zu einem kommutativen Monoid in der Tat eine Gruppe ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die zugehörige Differenzengruppe ${}\Gamma =\Gamma (M)$ eine kommutative Gruppe ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem Monoidhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow G$

in eine Gruppe ${}G$ gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

${\tilde {\varphi }}\colon \Gamma \longrightarrow G,$

der ${}\varphi$ fortsetzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ ein kommutatives Monoid mit zugehöriger Differenzengruppe ${}\Gamma =\Gamma (M)$. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. ${}M$ ist ein Monoid mit Kürzungsregel.
2. Die kanonische Abbildung ${}M\rightarrow \Gamma (M)$ ist injektiv.
3. ${}M$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.