Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Vorlesung 16/kontrolle

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Diskriminanten

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Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien Elemente in . Dann wird die Diskriminante von durch

definiert.

Die Produkte , , sind dabei Elemente in , von denen man jeweils die Spur nimmt, die in liegt. Man erhält also eine quadratische -Matrix über . Deren Determinante ist nach Definition die Diskriminante. Im folgenden werden wir vor allem an der Diskriminante von speziellen Basen interessiert sein, so dass sich die Diskriminante als Invariante eines Zahlkörpers erweist.

Bei einem Basiswechsel verhält sich die Diskriminante wie folgt.



Lemma  Lemma 16.2 ändern

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien und zwei -Basen von . Der Basiswechsel werde durch mit der Übergangsmatrix beschrieben. Dann gilt für die Diskriminanten die Beziehung

Beweis  

Ausgeschrieben haben wir die Beziehungen . Damit gilt

Wir schreiben und . Wegen der -Linearität der Spur gilt

Wir schreiben diese Gleichung mit den Matrizen , und als

und die Behauptung folgt dann aus dem Determinantenmultiplikationssatz und Satz 17.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)).




Lemma  Lemma 16.3 ändern

Sei eine separable endliche Körpererweiterung vom Grad und sei eine -Basis von . Dann ist

Beweis  

Wir beweisen diese Aussage nur in Charakteristik .

Sei angenommen, dass die Diskriminante ist. Das bedeutet, dass das durch die Matrix definierte lineare Gleichungssystem eine nicht-triviale Lösung besitzt. Es ist also

für alle . Sei . Dann ist für jedes

Da eine Einheit in ist, ist auch , , eine Basis und es folgt, dass die Spur auf dieser Basis und somit überall den Wert hat. Dies ist aber bei einer separablen Erweiterung nicht möglich: In Charakteristik folgt dies sofort aus Lemma 15.14  (2).



Beschreibung von Spur und Norm mit Einbettungen



Satz  Satz 16.4 ändern

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad . Dann gibt es genau Einbettungen von in die komplexen Zahlen .

Beweis  

Nach Satz 15.7 wird durch ein Element erzeugt, es ist also

mit einen irreduziblen Polynom vom Grad . Da irreduzibel ist und da die Ableitung ist folgt, dass und teilerfremd sind. Nach Satz 2.16 ergibt sich, dass und das Einheitsideal erzeugen, also ist. Wir betrachten diese Polynome nun als Polynome in , wobei die polynomialen Identitäten erhalten bleiben. Über den komplexen Zahlen zerfallen und in Linearfaktoren, und wegen der Teilerfremdheit bzw. der daraus resultierenden Identität haben und keine gemeinsame Nullstelle. Daraus folgt wiederum, dass keine mehrfache Nullstelle besitzt, sondern genau verschiedene komplexe Zahlen als Nullstellen besitzt. Jedes definiert nun einen Ringhomomorphismus

Da ein Körper ist, ist diese Abbildung injektiv. Da dabei auf verschiedene Elemente abgebildet wird, liegen verschiedene Abbildungen vor. Es kann auch keine weiteren Ringhomomorphismen geben, da jeder solche durch gegeben ist und sein muss.


Man beachte im vorstehenden Satz, dass das Bild von verschiedenen Einbettungen

der gleiche Unterkörper von sein kann. Dies gilt bereits für quadratische Erweiterungen wie . Man hat die beiden Einbettung , wobei die eine Abbildung auf und die andere auf schickt. Das Bild ist aber in beiden Fällen gleich.

Wenn das Bild einer Einbettung ganz in den reellen Zahlen liegt, so spricht man auch von einer reellen Einbettung. Zu einem Element nennt man die verschiedenen komplexen Zahlen

zueinander konjugiert. Diese sind allesamt Nullstellen eines irreduziblen Polynoms mit rationalen Koeffizienten vom Grad .



Lemma  Referenznummer erstellen

Sei eine endliche Körpererweiterung und ein Element. Es seien

die verschiedenen komplexen Einbettungen und es sei die Menge der verschiedenen Werte . Dann gilt für das Minimalpolynom von die Gleichung

Beweis  

Sei der von erzeugte Unterkörper von . Es ist dann

mit dem (normierten) Minimalpolynom von und (bzw. ) haben den Grad über . Gemäß Satz 16.4 gibt es Einbettungen , die den komplexen Nullstellen von entsprechen, und daher ist

Die Einbettungen induzieren jeweils eine Einbettung und somit ist , also . Andererseits lässt sich eine Einbettung zu einer Einbettung fortsetzen, da über separabel ist und von einem Element erzeugt wird und das zugehörige Minimalpolynom über zerfällt. Daher ist auch .


Wir erwähnen ohne Beweis die folgende Beschreibung von Norm und Spur, die wir aber in der Vorlesung nicht intensiv verwenden werden.


Lemma

Sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad und seien die verschiedenen komplexen Einbettungen. Es sei und , . Dann ist

Beweis

Wir verzichten auf einen Beweis.



Moduln und Ideale

Für den Begriff des Ganzheitsringes in einem Erweiterungskörper benötigen wir den Begriff des Moduls, der den eines Vektorraums in dem Sinne verallgemeinert, dass der Skalarenbereich kein Körper mehr sein muss, sondern ein beliebiger kommutativer Ring sein darf.


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Sei ein kommutativer Ring und eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt einen Modul, wenn eine Operation

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .

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Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Eine Teilmenge heißt Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ist und wenn für jedes und auch ist.


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Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Eine Familie , , heißt Erzeugendensystem für , wenn es für jedes Element eine Darstellung

gibt, wobei endlich ist und .


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Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Der Modul heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem , , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Ein kommutativer Ring selbst ist in natürlicher Weise ein -Modul, wenn man die Ringmultiplikation als Skalarmultiplikation interpretiert. Die Ideale sind dann genau die -Untermoduln von . Die Begriffe Ideal-Erzeugendensystem und Modul-Erzeugendensystem stimmen für Ideale überein.

Unter den Idealen sind besonders die Primideale und die maximalen Ideale relevant.


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Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt Primideal, wenn ist und wenn für mit folgt: oder .



Lemma

Sei ein Integritätsbereich und , . Dann ist genau dann ein Primelement, wenn das von erzeugte Hauptideal ein Primideal ist.

Beweis

Das ist trivial.




Lemma  Lemma 16.13 ändern

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in .

Dann ist ein Primideal genau dann, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.

Beweis  

Sei zunächst ein Primideal. Dann ist insbesondere und somit ist der Restklassenring nicht der Nullring. Sei in wobei durch Elemente in repräsentiert seien. Dann ist und damit oder , was in gerade oder bedeutet.

Ist umgekehrt ein Integritätsbereich, so handelt es sich nicht um den Nullring und daher ist . Sei . Dann ist in und daher in , also ist .



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Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.



Lemma  Lemma 16.15 ändern

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in .

Dann ist ein maximales Ideal genau dann, wenn der Restklassenring ein Körper ist.

Beweis  

Nach Aufgabe 9.15 entsprechen die Ideale im Restklassenring eindeutig den Idealen in zwischen und . Nun ist ein Körper genau dann, wenn es genau nur zwei Ideale gibt, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist und es dazwischen kein weiteres Ideal gibt. Dies bedeutet, dass maximal ist.




Korollar  Referenznummer erstellen

Sei ein kommutativer Ring und ein maximales Ideal in .

Dann ist ein Primideal.

Beweis  

Dies folgt sofort aus den Charakterisierungen für Primideale und für maximale Ideale mit den Restklassenringen.



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