Zahlbereich/Endlichkeit der Klassenzahl/Textabschnitt
Lemma
Es sei ein Zahlbereich. Dann gibt es nur endlich viele Ideale in , deren Norm unterhalb einer gewissen Zahl liegt.
Beweis
Lemma
Es sei ein Zahlbereich mit Diskriminante und Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei ein Ideal. Es sei eine Familie von positiven reellen Zahlen zu jeder reellen oder komplexen Einbettung, wobei für konjugiert komplexe Einbettungen die gleiche Zahl vorliege. Ferner gelte
Dann gibt es ein , , mit der Eigenschaft
für alle .
Beweis
Wir nummerieren die Einbettungen mit für die reellen und durch, wobei die konjugiert-komplexen Einbettungen nebeneinander stehen. Wir betrachten die Menge
Dies ist eine Produktmenge aus Intervallen der Länge und Kreisscheiben mit den Radien . Diese Menge ist offensichtlich zentralsymmetrisch und konvex ist. Die Menge ist so nicht kompakt. Wir können aber jedes derart verkleinern, dass die Bedingung nach wie vor erfüllt ist und dann in der entsprechenden Menge statt schreiben. Da die Menge ein Produkt aus Intervallen und Kreisen ist, ist ihr Volumen gleich
(man beachte, dass der Flächeninhalt des Kreises durch das zweifache Vorkommen der höheren berücksichtigt wird). Nach Voraussetzung und nach Fakt ist dieses Volumen größer als
wobei die Grundmasche des Gitters zum Ideal unter der reellen Gesamteinbettung bezeichnet. Nach dem Gitterpunktsatz von Minkowski gibt es einen Gitterpunkt , der in liegt. D.h. es gibt ein mit für alle .
Korollar
Es sei ein Zahlbereich mit Diskriminante und Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei eine Familie von positiven reellen Zahlen zu jeder reellen oder komplexen Einbettung, wobei für konjugiert komplexe Einbettungen die gleiche Zahl vorliege. Ferner gelte
Dann gibt es ein , , mit der Eigenschaft
für alle .
Beweis
Dies folgt direkt aus Fakt, angewendet auf das Einheitsideal .
Korollar
Es sei ein Zahlbereich mit Diskriminante und mit Paaren von komplexen Einbettungen.
Dann enthält jedes Ideal ein Element , , das die Normschranke
erfüllt.
Beweis
Für jede Wahl von positiven reellen Zahlen (wobei die komplexen Einbettungen durchläuft, und wobei die Paarbedingung für nichtreelles gelte) mit
gibt es nach Fakt ein , , mit
für jede komplexe Einbettung . Nach Fakt ist somit
Würde es kein mit Betragsnorm unterhalb (einschließlich) der angegebenen Grenze geben, könnte man daraus direkt einen Widerspruch produzieren.
Lemma
Es sei ein Zahlbereich mit Diskriminante und mit Paaren von komplexen Einbettungen. Dann enthält jede Idealklasse aus der Klassengruppe ein Ideal , das die Normschranke
erfüllt.
Beweis
Satz
Es sei ein Zahlbereich.
Dann ist die Divisorenklassengruppe von eine endliche Gruppe.
Beweis
Nach Fakt wird jede Klasse in der Klassengruppe durch ein Ideal mit einer Norm repräsentiert, die durch die dort angegebene Schranke beschränkt ist. D.h., dass die Ideale mit einer Norm unterhalb dieser Schranke alle Klassen repräsentieren. Nach Fakt gibt es aber überhaupt nur endlich viele Ideale mit einer Norm unterhalb einer gegebenen Schranke.
Das im Beweis verwendete Lemma bietet prinzipiell eine Abschätzung für die Anzahl der Klassengruppe.
Definition
Es sei ein Zahlbereich. Dann nennt man die Anzahl der Elemente in der Klassengruppe von die Klassenzahl von .
Es ist üblich, die Klassenzahl mit (oder , wenn der Quotientenkörper ist) zu bezeichnen.
Korollar
Es sei ein Zahlbereich und sei ein Ideal in . Dann gibt es ein derart, dass ein Hauptideal ist.
Beweis
Für das Nullideal ist die Aussage richtig, sei also von verschieden. Die zugehörige Idealklasse besitzt aufgrund von Fakt in der Idealklassengruppe endliche Ordnung, d.h., dass für ein
ist. Dies bedeutet aber gerade, dass ein Hauptideal ist.
Wir formulieren noch explizit die folgenden Kriterien für Faktorialität.
Korollar
Es sei ein Zahlbereich mit Diskriminante und Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei vorausgesetzt, dass jedes Primideal in , das die Normbedingung
erfüllt, ein Hauptideal sei.
Dann ist faktoriell.
Beweis
Es sei ein Ideal unterhalb der angegebenen Normschranke. Nach Fakt ist mit Primidealen , und wegen Fakt sind die Normen dieser Primideale ebenfalls unter der Schranke. Da all diese Primideale nach Voraussetzung Hauptideale sind, ist auch ein Hauptideal. Da nach Fakt jede Idealklasse durch ein Ideal unterhalb der Normschranke repräsentiert wird, bedeutet dies, dass jede Idealklasse durch ein Hauptideal repräsentiert wird. Das heißt die Klassengruppe ist trivial und damit ist nach Fakt der Ring faktoriell.
Korollar
Es sei ein Zahlbereich mit Diskriminante und Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl , die die Normbedingung
erfüllt, ein Primfaktorzerlegung besitzt.
Dann ist faktoriell.
Beweis
Es sei ein Primideal derart, dass unterhalb der angegebenen Schranke liegt, und es sei mit einer Primzahl . Nach Fakt ist die Norm von gleich mit , so dass auch unterhalb der Schranke ist und somit nach Voraussetzung eine Primfaktorzerlegung für besteht. Daraus folgt aber, dass ein Hauptideal ist. Aus Fakt folgt die Behauptung.
Korollar
Es sei eine quadratfreie Zahl und sei der zugehörige quadratische Zahlbereich mit Diskriminante . Es sei vorausgesetzt, dass jede Primzahl mit
in eine Primfaktorzerlegung besitzt. Dann ist faktoriell.
Beweis
Beispiel
Es sei , also und . Jede Idealklasse enthält ein Ideal der Norm
so dass nur Ideale mit Norm zu betrachten sind. Ein Ideal mit ist ein Primideal mit . Daher ist
die einzige Möglichkeit. Nach Beispiel ist kein Hauptideal. Daher ist die Idealklassengruppe isomorph zu , wobei das Nullelement durch die Hauptdivisoren (oder Hauptideale) repräsentiert wird und das andere Element durch .
Beispiel
Es sei der quadratische Zahlbereich zu , also bzw. . Wir wissen aufgrund von Fakt, dass nicht euklidisch ist. Dennoch ist faktoriell und nach Fakt ein Hauptidealbereich und die Klassengruppe ist trivial. Hierfür benutzen wir Fakt, d.h. wir haben für alle Primzahlen zu zeigen, dass sie eine Primfaktorzerlegung in besitzen. Diese Abschätzung wird nur von erfüllt. Für ist der Restklassenring
ein Körper, so dass träge in ist und insbesondere eine Primfaktorzerlegung besitzt.
Beispiel
Wir wollen zeigen, dass der fünfte Kreisteilungsring
faktoriell ist. Es gibt vier komplexe Einbettungen und die Diskriminante ist nach Fakt gleich . Wegen
ist nach Fakt nur zu überprüfen, ob die Primzahlen in eine Primfaktorzerlegung besitzen. Da und Körper sind (vergleiche Fakt), sind und sogar Primelemente in .