Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Differentialoperatoren

Es sei

{}R=K[X,Y]/(X^{2}-Y^{3})\,.

Dann ist

{}{\begin{aligned}R\otimes _{K}R&\cong R[A,B]/{\left(2XA+A^{2}-3Y^{2}B-3YB^{2}-B^{3}\right)}\\&\cong K[X,Y,A,B]{\left(X^{2}-Y^{3},2XA+A^{2}-3Y^{2}B-3YB^{2}-B^{3}\right)}\end{aligned}}

nach Fakt. Zur Bestimmung des singulären Ortes berechnen wir die Jacobi-Matrix dieser Restklassendarstellung. Es ist

{\begin{pmatrix}2X&-3Y^{2}&0&0\\2A&-6YB-3B^{2}&2X+2A&-3Y^{2}-6YB-3B^{2}\end{pmatrix}}.

Dies ist bei

{}X=Y=0\,

und bei ${}A=-X$ und ${}B=-Y$ singulär.

Beispiel

Wir betrachten den Monoidring ${}R=K[X,Y,Z]/(XY-Z^{p})$ in Charakteristik ${}p$ . Die Realisierung als Unterring ${}K[U^{p},V^{p},UV]\subseteq K[U,V]$ gilt in jeder Charakteristik. Der Differentialoperator ${}\partial _{Z}$ induziert auf ${}R$ einen Differentialoperator, der die Ordnung ${}1$ besitzt und ${}Z$ auf ${}1$ abbildet. Wie verhält sich dieser zum kanonischen Operator ${}E_{\nu }$ mit

{}\nu =(1,1)=Z\,

(in der Gitterrealisierung mit $(1,0)$ und $(p-1,p)$ ), also zum induzierten Operator zu ${}\partial _{U}\partial _{V}$ , der im Allgemeinen eine Ordnung ${}2$ hat.

Beispielsweise ist

{}\partial _{Z}(X^{i}Z^{j})=jX^{i}Z^{j-1}\,

und

{}{\begin{aligned}E_{Z}(X^{i}Z^{j})&=\partial _{U}\partial _{V}(U^{ip}(UV)^{j})\\&=\partial _{U}\partial _{V}(U^{ip+j}V^{j})\\&=(ip+j)jU^{ip-1}V^{j-1}\\&=j^{2}U^{ip+j-1}V^{j-1}\\&=j^{2}X^{i}Z^{j-1}.\end{aligned}}

Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Textabschnitt

Beispiel

Sei

{}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,

und ${}E$ eine Derivation auf ${}R$ . Wir betrachten

{}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n},U]/(F+U^{r})\,

mit ${}r\geq 1$ . Es ist ${}E(F)$ ein Vielfaches von ${}F$ , also

{}E(F)=AF\,

im Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ . Wir definieren ${}{\tilde {E}}$ auf ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n},U]$ durch

{}{\tilde {E}}(X_{i})=E(X_{i})\,

und

{}{\tilde {E}}(U)={\frac {1}{r}}AU\,.

Dies legt eine Derivation auf dem großen Polynomring fest. Wegen

{}{\tilde {E}}(F+U^{r})=E(F)+{\tilde {E}}(U^{r})=E(F)+rU^{r-1}E(U)=AF+rU^{r-1}{\frac {1}{r}}AU=A(F+U^{r})\,

induziert dies eine Derivation auf ${}S$ .

Beispiel

Sei

{}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(F)\,

und ${}E$ ein Differentialoperator der Ordnung ${}2$ auf ${}R$ . Dieser ist als Operator auf dem Polynomring der Form

\sum _{i}G_{i}\partial _{i}+\sum _{i\leq j}H_{ij}\partial _{i}\partial _{j}

gegeben und insbesondere durch die Wert auf den Variablen und quadratischen Monomen festgelegt. Es müssen ${}E(F)$ und die ${}E(X_{i}F)$ Vielfache von ${}F$ sein, sagen wir

{}E(F)=AF\,

und

{}E(X_{i}F)=B_{i}F\,

mit

{}A,B_{i}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,.

Wir betrachten

{}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n},U]/(F+U^{2})\,.

Wir definieren ${}{\tilde {E}}$ auf ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n},U]$ durch

{}{\tilde {E}}(X^{\mu })=E(X^{\mu })\,,

{}{\tilde {E}}(U)=C\,,

{}{\tilde {E}}(X_{i}U)=D_{i}\,

und

{}{\tilde {E}}(U^{2})=L\,

Dies legt einen Differentialoperator auf dem großen Polynomring fest. Dieser Operator is mit partiellen Ableitungen beschrieben gleich

\sum _{i}G_{i}\partial _{i}+\sum _{i\leq j}H_{ij}\partial _{i}\partial _{j}+C\partial _{U}+\sum _{i}D_{i}\partial _{i}\partial _{U}+{\frac {1}{2}}L\partial _{U}\partial _{U}.

Es ist

{}{\tilde {E}}(F+U^{2})=E(F)+{\tilde {E}}(U^{2})=AF+2CU+L\,.

Das führt zur Bedingung

{}2CU+L=AU^{2}\,.

Ferner kriegen wir nach Fakt die Bedingungen

{}{\begin{aligned}{\tilde {E}}(X_{i}(F+U^{2}))&={\tilde {E}}(X_{i}F)+{\tilde {E}}(X_{i}U^{2})\\&=E(X_{i}F)+X_{i}{\tilde {E}}(U^{2})+2U{\tilde {E}}(X_{i}U)-U^{2}{\tilde {E}}(X_{i})-2X_{i}U{\tilde {E}}(U)\\&=B_{i}F+X_{i}AU^{2}+2UD_{i}-U^{2}G_{i}-2X_{i}UC\end{aligned}}

und

{}{\begin{aligned}{\tilde {E}}(U(F+U^{2}))&={\tilde {E}}(UF)+{\tilde {E}}(U^{3})\\&={\tilde {E}}(UF)+3U{\tilde {E}}(U^{2})-3U^{2}{\tilde {E}}(U)\\&={\tilde {E}}(UF)+3U^{3}A-3U^{2}C,\end{aligned}}

um einen Operator auf ${}S$ zu induzieren. Mit dem Ansatz ${}C={\tilde {C}}U$ und ${}D_{i}={\tilde {D}}_{i}U$ werden die ersten Bedingungen erfüllt, wenn