Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Differentialoperatoren

Bemerkung  

Es sei $R$ ein $\mathbb{Z}$-graduierter Ring. Die Euler-Derivation $E$ ist die $R_0$-Derivation, die ein homogenes Element $h$ vom Grad $d$ auf $dh$ abbildet. Daher wird $\sum _i{h}_i$ auf $\sum _{i}i{h}_i$ abgebildet. Es liegt in der Tat eine Derivation vom Grad $0$ vor, wobei die Produktregel für homogene Elemente auf

$E(h_d\cdot g_e)=(d+e)(h_d{g}_e)=d{h}_d{g}_e+e{h}_d{g}_e=g_{e}E(h_d)+h_{d}E(g_e)$

beruht. Wenn $R$ als Restklassenring eines graduierten Polynomringes modulo einem homogenen Ideal vorliegt, so ist die Euler-Derivation gleich

$E=\sum _{i=1}^n\mathrm{Grad}(X_i)X_i{\partial }_i.$

Für ein Monom $X^{\nu }$ ist ja

$\begin{array}{cc}E\left(X^{\nu }\right)& =(\sum _{i=1}^n\mathrm{Grad}(X_i)X_i{\partial }_i)\left(X^{\nu }\right)\\ & =\sum _{i=1}^n\mathrm{Grad}(X_i){\nu }_i{X}^{\nu }\\ & =\mathrm{Grad}(X^{\nu })X^{\nu }.\end{array}$

Beispiel

Wir betrachten die Gleichung

$X^2+Y^2+Z^2+XYZ=0.$

Durch die Transformation

$\tilde{X}=X+\frac{1}{2}YZ$

erhält man

$\begin{array}{cc}{X}^2+Y^2+Z^2+XYZ& ={(\tilde{X}-\frac{1}{2}YZ)}^2+Y^2+Z^2+(\tilde{X}-\frac{1}{2}YZ)YZ\\ & ={\tilde{X}}^2+Y^2+Z^2+\frac{1}{4}{Y}^2{Z}^2-\frac{1}{2}{Y}^2{Z}^2\\ & ={\tilde{X}}^2+Y^2+Z^2-\frac{1}{4}{Y}^2{Z}^2\\ & ={\tilde{X}}^2+Y^2+Z^2(1-\frac{1}{4}{Y}^2).\end{array}$

Der hintere Faktor ist in der Komplettierung eine Einheit und daher kann man den Ausdruck in die Standardquadrik transformieren.

Affines Schema/Strukturgarbe/Einführung/Textabschnitt

Affines Schema/Strukturgarbe/Offene Teilmengen/Globaler Schnittring/Textabschnitt

Affines Schema/Reflexiver Modul/Garbe/Auswertung/Textabschnitt

Isolierte Singularität/Komplement/Einführung/Textabschnitt

Modul/Symmetrische Algebra/Spektrum/Realisierung/Textabschnitt

Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Textabschnitt

Kähler-Differentiale/Symmetrische Algebra/Varianten/Textabschnitt

Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Textabschnitt

Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt

Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Kähler-Differentiale/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt

Monoidring/Grad 0 Ring/Endliche Gruppe/Tangentialschema/Textabschnitt

Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Kähler-Differentiale/Zweite äußere Potenz/Textabschnitt

Hyperflächensingularitäten/Zweidimensional/Quasihomogen/Äußere Ableitung/Textabschnitt

Potenzsingularitäten/Zweidimensional/Kohomologie/Textabschnitt

Potenzsingularitäten/Kähler-Differentiale/Reflexive Hülle/Textabschnitt

Potenzsingularitäten/Derivationen/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt

Glatte projektive Kurve/Kanonische Regelfläche/Symmetrische Potenzen/Textabschnitt

Glatte projektive Varietät/Symmetrische Potenzen/Endliche Erzeugtheit/Textabschnitt

Hyperflächensingularitäten/Isoliert/Dimension geq 3/Kähler-Differentiale/Textabschnitt

Algebraische Differentialformen/Äußere Ableitung/Einführung/Textabschnitt

Tangentialkegel/Einführung/Textabschnitt

Singularität/Differentielle Signatur/Einführung/Textabschnitt

Algebraische Differentialoperatoren/Fortsetzung auf Nenneraufnahme/Einführung/Textabschnitt

Funktionenkörper/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt

Polynomring/Differentialoperatoren/Einführung/Textabschnitt

Kommutative Monoidringe/Signaturen/Beispiele/Textabschnitt

Kommutativer Monoidring/Torisch und simplizial/Signatur/Determinantenberechnung/Fakt

Kommutative Monoidringe/Signaturen/Produktformel/Textabschnitt

Numerische Monoidringe/Unitäre Differentialoperatoren/Textabschnitt

Differentialoperator/Algebraisch/Einführung/Textabschnitt

Hauptteilmodul/2/Einführung/Textabschnitt

Differentialoperator/Algebraisch/Verknüpfung/Ring/Textabschnitt

Differentialoperatoren/Direkter Summand/Textabschnitt

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Differentialoperatoren/Verknüpfung von Derivationen/Textabschnitt

Hauptteile/Einführung/Textabschnitt

Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Textabschnitt

Differentialoperatoren/Matrix zu Hauptteilen/Hyperfläche/Textabschnitt

Beispiel

Es sei

$R=K[X,Y]/(X^2-Y^3).$

Dann ist

$\begin{array}{cc}R{\otimes }_{K}R& \cong R[A,B]/(2XA+A^2-3Y^{2}B-3Y{B}^2-B^3)\\ & \cong K[X,Y,A,B](X^2-Y^3,2XA+A^2-3Y^{2}B-3Y{B}^2-B^3)\end{array}$

nach Fakt. Zur Bestimmung des singulären Ortes berechnen wir die Jacobi-Matrix dieser Restklassendarstellung. Es ist

$\left(\begin{array}{cccc}2X& -3Y^2& 0& 0\\ 2A& -6YB-3B^2& 2X+2A& -3Y^2-6YB-3B^2\end{array}\right).$

Dies ist bei

$X=Y=0$

und bei  $A=-X$  und  $B=-Y$  singulär.

Beispiel

Wir betrachten den Monoidring  $R=K[X,Y,Z]/(XY-Z^p)$  in Charakteristik $p$. Die Realisierung als Unterring  $K[U^p,V^p,UV]\subseteq K[U,V]$  gilt in jeder Charakteristik. Der Differentialoperator ${\partial }_Z$ induziert auf $R$ einen Differentialoperator, der die Ordnung $1$ besitzt und $Z$ auf $1$ abbildet. Wie verhält sich dieser zum kanonischen Operator $E_{\nu }$ mit

$\nu =(1,1)=Z$

(in der Gitterrealisierung mit $(1,0)$ und $(p-1,p)$), also zum induzierten Operator zu ${\partial }_U{\partial }_V$, der im Allgemeinen eine Ordnung $2$ hat.

Beispielsweise ist

${\partial }_Z(X^i{Z}^j)=j{X}^i{Z}^{j-1}$

und

$\begin{array}{cc}{E}_Z(X^i{Z}^j)& ={\partial }_U{\partial }_V(U^{ip}(UV{)}^j)\\ & ={\partial }_U{\partial }_V(U^{ip+j}{V}^j)\\ & =(ip+j)j{U}^{ip-1}{V}^{j-1}\\ & =j^2{U}^{ip+j-1}{V}^{j-1}\\ & =j^2{X}^i{Z}^{j-1}.\end{array}$

Modul/Freier Rang/Lokaler Ring/Textabschnitt

Beispiel

Es sei

$R=K[X_1,\dots ,X_n]/(F)$

und $E$ eine Derivation auf $R$. Wir betrachten

$S=K[X_1,\dots ,X_n,U]/(F+U^r)$

mit  $r\ge 1$.  Es ist $E(F)$ ein Vielfaches von $F$, also

$E(F)=AF$

im Polynomring $K[X_1,\dots ,X_n]$. Wir definieren $\tilde{E}$ auf $K[X_1,\dots ,X_n,U]$ durch

$\tilde{E}(X_i)=E(X_i)$

und

$\tilde{E}(U)=\frac{1}{r}AU.$

Dies legt eine Derivation auf dem großen Polynomring fest. Wegen

$\tilde{E}(F+U^r)=E(F)+\tilde{E}(U^r)=E(F)+r{U}^{r-1}E(U)=AF+r{U}^{r-1}\frac{1}{r}AU=A(F+U^r)$

induziert dies eine Derivation auf $S$.

Beispiel

Es sei

$R=K[X_1,\dots ,X_n]/(F)$

und $E$ ein Differentialoperator der Ordnung $2$ auf $R$. Dieser ist als Operator auf dem Polynomring der Form

$\sum _i{G}_i{\partial }_i+\sum _{i\le j}{H}_{ij}{\partial }_i{\partial }_j$

gegeben und insbesondere durch die Werte auf den Variablen und quadratischen Monomen festgelegt. Es müssen $E(F)$ und die $E(X_{i}F)$ Vielfache von $F$ sein, sagen wir

$E(F)=AF$

und

$E(X_{i}F)=B_{i}F$

mit

$A,B_i\in K[X_1,\dots ,X_n].$

Wir betrachten

$S=K[X_1,\dots ,X_n,U]/(F+U^2).$

Wir definieren $\tilde{E}$ auf $K[X_1,\dots ,X_n,U]$ durch

$\tilde{E}(X^{\mu })=E(X^{\mu }),$

$\tilde{E}(U)=C,$

$\tilde{E}(X_{i}U)=D_i$

und

$\tilde{E}(U^2)=L$

Dies legt einen Differentialoperator auf dem großen Polynomring fest. Dieser Operator is mit partiellen Ableitungen beschrieben gleich

$\sum _i{G}_i{\partial }_i+\sum _{i\le j}{H}_{ij}{\partial }_i{\partial }_j+C{\partial }_U+\sum _i{D}_i{\partial }_i{\partial }_U+\frac{1}{2}L{\partial }_U{\partial }_U.$

Es ist

$\tilde{E}(F+U^2)=E(F)+\tilde{E}(U^2)=AF+2CU+L.$

Das führt zur Bedingung

$2CU+L=A{U}^2.$

Ferner kriegen wir nach Fakt die Bedingungen

$\begin{array}{cc}\tilde{E}(X_i(F+U^2))& =\tilde{E}(X_{i}F)+\tilde{E}(X_i{U}^2)\\ & =E(X_{i}F)+X_i\tilde{E}(U^2)+2U\tilde{E}(X_{i}U)-U^2\tilde{E}(X_i)-2X_{i}U\tilde{E}(U)\\ & =B_{i}F+X_{i}A{U}^2+2U{D}_i-U^2{G}_i-2X_{i}UC\end{array}$

und

$\begin{array}{cc}\tilde{E}(U(F+U^2))& =\tilde{E}(UF)+\tilde{E}(U^3)\\ & =\tilde{E}(UF)+3U\tilde{E}(U^2)-3U^2\tilde{E}(U)\\ & =\tilde{E}(UF)+3U^{3}A-3U^{2}C,\end{array}$

um einen Operator auf $S$ zu induzieren. Mit dem Ansatz  $C=\tilde{C}U$  und  $D_i={\tilde{D}}_{i}U$  werden die ersten Bedingungen erfüllt, wenn

$X_{i}A+2{\tilde{D}}_i-G_i-2X_i\tilde{C}=B_i$

gilt, was man nach ${\tilde{D}}_i$ auflösen kann. Weiter ist

$\tilde{E}(UF)=UE(F)+CF+\sum _i{D}_i{\partial }_{i}F.$

Somit ist

$\begin{array}{cc}\tilde{E}(U(F+U^2))& =\tilde{E}(UF)+3U^{3}A-3U^{2}C\\ & =UE(F)+CF+\sum _i{D}_i{\partial }_{i}F+3U^{3}A-3U^{2}C\\ & =U(AF+\tilde{C}F+\sum _i{\tilde{D}}_i{\partial }_{i}F+3U^{2}A-3U^2\tilde{C}).\end{array}$

Anderer Ansatz von Jacobi-Taylor-Matrix her.

$D_i=\frac{1}{2}U{B}_i,$

$L=-\sum B_i{\partial }_{i}F$

und

$2CU=A{U}^2-L=A{U}^2+\sum B_i{\partial }_{i}F.$

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