Kurs:Algebraische Kurven/10/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 3 6 5 3 4 3 5 8 5 4 2 3 4 1 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die homogene Zerlegung zu einem Polynom .
  2. Ein zusammenhängender topologischer Raum .
  3. Sei ein Punkt in einer offenen Menge im -Spektrum von . Sei eine Funktion. Was bedeutet es, dass diese Funktion algebraisch ist?
  4. Die Führungszahl zu einem numerischen Monoid .
  5. Die Ordnung zu einem Element , in einem diskreten Bewertungsring .
  6. Das projektive Nullstellengebilde zu einem homogenen Polynom .


Lösung

  1. Zu heißt die Zerlegung

    mit

    die homogene Zerlegung von .

  2. Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, wenn es in genau zwei Teilmengen gibt (nämlich und der Gesamtraum ), die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
  3. Algebraisch im Punkt bedeutet, dass es Elemente gibt mit und mit
  4. Man nennt die minimale Zahl mit die Führungszahl von .
  5. Es sei das Primelement von . Die Zahl mit der Eigenschaft , wobei eine Einheit bezeichne, heißt die Ordnung von .
  6. Man bezeichnet die Menge

    als die projektive Nullstellenmenge zu .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über irreduzible Teilmengen und Verschwindungsideale.
  2. Der Satz über die Beziehung von faktoriell und normal.
  3. Der Satz über das Einsetzen von Potenzreihen in Potenzreihen.


Lösung

  1. Sei eine affin-algebraische Menge mit Verschwindungsideal . Dann ist genau dann irreduzibel, wenn ein Primideal ist.
  2. Sei ein faktorieller Integritätsbereich. Dann ist normal.
  3. Sei ein Körper mit dem Potenzreihenring . Es sei eine Potenzreihe mit konstantem Term . Dann definiert durch Einsetzen einen -Algebrahomomorphismus


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit dem Kreis , der den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Lösung

Der Einheitskreis ist die Lösungsmenge der Gleichung

und ist die Lösungsmenge der Gleichung

Wenn man von der zweiten Gleichung die erste abzieht, so erhält man

also

Aus der Einheitskreisgleichung folgt daraus, dass

sein muss. Der einzige Schnittpunkt ist also (der in der Tat ein Schnittpunkt ist).


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

Es sei das Bild der Abbildung

  1. Erfüllt eine algebraische Gleichung?
  2. Ist eine algebraische Kurve?


Lösung

  1. Das Bild erfüllt die algebraische Gleichung .
  2. Wir betrachten den Durchschnitt von mit der Geraden

    Dieser enthält die unendlich vielen Punkte

    Die gesamte Gerade gehört aber nicht zum Bild, da beispielsweise nicht dazu gehört. Also ist keine algebraische Kurve.


Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Varietät der kommutierenden -Matrizen, also die Menge der Matrizenpaare

  1. Zeige, dass dies eine affine Varietät ist, und bestimme möglichst einfache Gleichungen, die diese Varietät beschreiben.
  2. Zeige, dass die Abbildung

    surjektiv ist.

  3. Bestimme das Urbild von unter .


Lösung

  1. Es sei

    und

    Dann ist

    und

    Diese beiden Produktmatrizen sind genau dann gleich, wenn die vier Einträge übereinstimmen, wenn also

    und

    gilt. Somit liegt eine affine Varietät vor. Die erste und die vierte Gleichung sind zueinander und zu , äquivalent, also werden die kommutierenden Matrizen durch das Gleichungssystem

    beschrieben.

  2. Die Einheitsmatrix kommutiert mit jeder Matrix, daher ist ein Urbild von .
  3. Es geht um die Matrizen

    die zu

    das obige Gleichungssystem erfüllen. Die Bedingungen werden zu

    wobei man die dritte Bedingung weglassen kann. Das Urbild von ist also


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Primelement. Zeige, dass auch im Polynomring prim ist.


Lösung

Sei . Wir nehmen an, dass weder noch teilt. Dann teilt nicht alle Koeffizienten von und von . Es sei und und es seien bzw. die kleinsten Indizes derart, dass (bzw. ) kein Vielfaches von ist (für alle kleineren Indizes sind die Koeffizienten also Vielfache von ). Wir betrachten den -ten Koeffizienten von , dieser ist

Die Summanden links sind Vielfache von aufgrund der Wahl von und die Summanden rechts sind ebenso Vielfache von . Da auch der Gesamtkoeffizient nach Voraussetzung ein Vielfaches von ist, muss auch der mittlere Summand ein Vielfaches von sein. Da prim ist, ist dies ein Widerspruch.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien

und

Finde homogene Polynome , , mit


Lösung

Durch Division mit Rest (im homogenen Fall) erhält man

also ist

und


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine polynomiale Abbildung

derart, dass das Urbild von einem Punkt reduzibel ist, das Urbild von allen anderen Punkten aber irreduzibel.


Lösung

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Wir betrachten die Abbildung

Die Faser über dem Nullpunkt ist das Achsenkreuz , das nicht irreduzibel. Die Faser über einem Punkt , , ist . Es genügt zu zeigen, dass ein Primpolynom ist. Dies folgt aber aus der Isomorphie

mit der Umkehrabbildung . Die universellen Eigenschaften von Restklassenbildung und Nenneraufnahme sichern dabei, dass wirklich eine Bijektion vorliegt.


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Restklassenringe zu affin-linear äquivalenten affin-algebraischen Teilmengen .


Lösung

Nach Definition von affin-linear äquivalent gibt es eine affin-lineare Variablentransformation

mit . Es sei der zugehörige Automorphismus des Polynomrings . Dabei ist

Nach dem Isomorphiesatz folgt die Isomorphie der Restklassenringe.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper, eine endlich erzeugte -Algebra, sei ein Ideal und sei . In welcher Beziehung stehen die beiden Aussagen

und die beiden Aussagen

zueinander. Zeige, dass die Antwort davon abhängt, ob algebraisch abgeschlossen ist oder nicht.


Lösung

Wenn das Einheitsideal ist, so ist , da die in keinem Punkt verschwindet. Die Umkehrung davon gilt wenn algebraisch abgeschlossen ist, da dann aus der Voraussetzung (da beides die leere Menge ist) mit dem Hilbertschen Nullstellensatz sofort gilt. Bei gilt die Aussage nicht, wie das Polynom zeigt, das keine Einheit ist, dessen Nullstellenmenge aber leer ist.

Wenn nilpotent ist, so ist jedes Element davon nilpotent und damit verschwindet jedes Element davon unter jedem Ringhomomorphismus in einen Körper (da ein Körper reduziert ist). Bei einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper gilt wieder die Umkehrung, da man die Voraussetzung für jedes schreiben kann als . Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz folgt daraus , d.h. ist nilpotent (in einem noetherschen Ring ist dann auch das Ideal selbst nilpotent). Über einem endlichen Körper gilt die Umkehrung nicht. Bei ist das Polynom nicht nilpotent, aber es verschwindet an beiden (allen) Punkten.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über den globalen Schnittring eines -Spektrums.


Lösung

Ein Element liefert direkt eine algebraische Funktion auf ganz , was einen -Algebrahomomorphismus

ergibt. Wenn dabei an jedem Punkt die Nullfunktion induziert, so ist nach Fakt ***** und wegen der Reduziertheit auch . D.h. die Abbildung ist injektiv.

Sei nun ein algebraische Funktion. Dann gibt es zu jedem Punkt zwei Elemente mit und mit auf . Die bilden eine offene Überdeckung von und das bedeutet nach Fakt *****, dass die in das Einheitsideal erzeugen. Dann gibt es aber auch eine endliche Auswahl davon, die das Einheitsideal erzeugen, sagen wir , . Dann wiederum überdecken diese , , ganz .

Auf den Durchschnitten haben wir die Identitäten

Daraus folgt nach Fakt ***** und der Reduziertheit, dass

in gilt. Wir ersetzen durch und durch . Dann ist nach wie vor eine lokale Beschreibung für , und die letzte Bedingung vereinfacht sich zu

Da die das Einheitsideal erzeugen, gibt es Elemente mit

in . Wir behaupten, dass das Element

auf ganz die Funktion induziert. Dazu sei ein beliebiger Punkt, und zwar sei ohne Einschränkung . Dann ist


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass durch

ein Morphismus des Einheitskreises in sich gegeben ist. Zeige, dass das Urbild zu jedem Punkt aus zwei Punkten besteht.


Lösung

Es liegt ein Morphismus

vor. Es ist also lediglich zu zeigen, dass das Bild die Kreisgleichung erfüllt. Dies ergibt sich aus


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Wir betrachten das Nullstellengebilde

  1. Ist irreduzibel?
  2. Kann man den Koordinatenring als Monoidring erhalten?
  3. Kann man den Koordinatenring als Monoidring zu einem Untermonoid erhalten?


Lösung

  1. Es ist

    damit ist die Kurve nicht irreduzibel.

  2. Wir betrachten das durch zwei Erzeuger mit der einzigen Relation

    gegebene Monoid , damit ist

  3. Wir betrachten

    und

    Dann gilt , alle weiteren Relationen sind aber Vielfache davon, da bei einer Gleichung

    mit wegen der ersten Koordinate

    sein muss und wegen der zweiten Koordinate auch gerade sein muss.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Multiplizität und die Tangenten (mit ihrer Multiplizität) der Kurve

im Nullpunkt.


Lösung

Die homogene Stufe minimalen Grades des Polynoms ist

Daher sind die Geraden

die Tangenten an die Kurve im Nullpunkt. Die Multiplizitäten der Tangenten sind jeweils , da die Linearformen einfach in der Faktorzerlegung vorkommen.


Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

  1. Zeige, dass formales partielles Ableiten auf dem Polynomring bezüglich einer Variablen und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen vertauschbar sind.
  2. Zeige, dass dies nicht für die gleiche Variable stimmt.


Lösung

  1. Da beide Prozesse linear sind, kann man sich auf Monome
    beschränken, und die Situation betrachten, dass man nach ableitet und nach dehomogenisiert. Die partielle Ableitung davon ist
    die Dehomogenisierung liefert

    Wenn man zuerst dehomogenisiert, so erhält man

    und die partielle Ableitung ergibt ebenfalls

  2. Betrachte . Die Ableitung nach ergibt , dies bleibt bei Dehomogenisierung erhalten. Wenn man zuerst nach dehomogenisiert, so erhält man und die Ableitung davon ist .


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper. Betrachte die affine ebene Kurve

Definiere einen Isomorphismus zwischen und der affinen Geraden . Lässt sich ein solcher Isomorphismus zu einem Isomorphismus zwischen und dem projektiven Abschluss fortsetzen?


Lösung

Ein Isomorphismus wird gegeben durch

Auf der Ringebene entpricht dem der Einsetzungshomomorphismus

Dieser ist offenbar surjektiv und wohldefiniert. Da man links direkt eliminieren kann, steht links der Polynomring , so dass eine Isomorphie vorliegt.

Man kann einen solchen Isomorphismus nicht zu einem Isomorphismus fortsetzen, da der projektive Abschluss der Kurve nicht isomorph zur projektiven Geraden ist. Dies liegt daran, dass der projektive Abschluss durch beschrieben wird und genau der unendlich ferne Punkte dazu kommt. Dieser Punkt ist aber in der affinen Umgebung der Nullpunkt auf der affinen Kurve , der die Multiplizität zwei besitzt und daher nicht glatt ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass der Produktraum und die projektive Ebene nicht zueinander isomorph sind.


Lösung

Auf der projektiven Ebene schneiden sich je zwei Kurven. Auf dem Produkt gibt es hingegen disjunkte Kurven, beispielsweise zu Punkten die Geraden und .