Kurs:Analysis 3/3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Punkte 3 3 9 9 8 6 2 11 5 5 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Produkt-Präring auf der Präringe .
  2. Das Borel-Lebesgue-Maß auf dem .
  3. Der Kegel zu einer Basismenge und einem Punkt .
  4. Ein regulärer Punkt zu einer differenzierbaren Abbildung

    zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und .

  5. Ein orientierungstreuer Kartenwechsel auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit .
  6. Die äußere Ableitung einer stetig differenzierbaren -Differentialform auf einer offenen Menge .


Lösung

  1. Der Produkt-Präring ist der von allen Quadern

    erzeugte Präring in .

  2. Das Borel-Lebesgue-Maß auf ist das (eindeutig bestimmte) Maß auf , das für jeden Quader der Form den Wert besitzt.
  3. Der Kegel zur Basis mit der Spitze ist definiert durch
  4. Der Punkt heißt regulär für , wenn die Tangentialabbildung

    im Punkt maximalen Rang besitzt.

  5. Es seien

    und

    orientierte Karten von . Der zugehörige Kartenwechsel

    heißt orientierungstreu, wenn für jeden Punkt das totale Differential

    orientierungstreu ist.

  6. Die Form besitzt auf eine Darstellung

    mit stetig differenzierbaren Funktionen

    Dann ist die äußere Ableitung die -Form


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Beschreibung des Produkt-Präringes.
  2. Der Satz über die lokale Beschreibung von Differentialformen.
  3. Der Satz über die Partition der Eins.


Lösung

  1. Es seien Mengen mit darauf erklärten Präringen. Dann besteht der Produkt-Präring aus allen endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern.
  2. Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine offene Teilmenge mit einer Karte

    und offen. Es seien

    die zugehörigen Koordinatenfunktionen, . Dann lässt sich jede auf definierte -Differentialform

    eindeutig schreiben als

    mit eindeutig bestimmten Funktionen

  3. Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.


Aufgabe (9 (2+4+3) Punkte)

Aus einem Blatt Papier mit den Seitenlängen und cm sollen kreisförmige Konfettiplättchen mit einem Durchmesser von cm herausgestanzt werden.

a) Zeige, dass man höchstens Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

b) Zeige, dass man mindestens Konfettiplättchen aus einem Blatt erhalten kann.

c) Der geniale Narr Karl-Heinz kommt auf die Idee, das Blatt insgesamt neunmal zu falten, wobei jeweils die längere Seite halbiert wird. Anschließend wird das entstandene Bündel gestanzt. Wie viele Plättchen kann man mit dieser Methode erhalten?


Lösung

a) Die Fläche der Plättchen ist (alle Flächenangaben sind in Quadratzentimetern)

Dies liegt zwischen

Da das Blatt Quadratzentimetern Fläche besitzt, kann man aus Materialgründen maximal

also allerhöchstens Plättchen erhalten.

b) Wir ordnen auf dem Blatt die Kreise aneinanderliegend in Reihen an, wobei wir das Blatt im Hochformat nehmen. Die geraden Reihen werden um cm nach rechts verschoben, um die Zwischenräume besser aufzufüllen. Die Reihen erhalten dann abwechselnd bzw. Kreise. Der vertikale Abstand der Kreismittelpunkte zwischen zwei benachbarten Reihen ist

Dabei ist

und

Somit gibt es mindestens

also mindestens Reihen. Mit dieser Methode erhält man

Plättchen.

c) Bei den neun Halbierungen wird die längere Seite fünfmal und die kürzere Seite viermal halbiert. Die entstehenden Längen des Bündels ergeben sich aus

und aus

Nach der in b) beschriebenen Methode (wobei man das Bündel im Querformat nimmt) kann man wegen

zwei Reihen mit je zwei Kreisen platzieren ( kann man sicher nicht rausstanzen). Insgesamt ergeben sich so

Konfettiplättchen.


Aufgabe (9 (1+4+4) Punkte)

Es sei

der obere Einheitshalbkreis und

die Projektion auf die -Achse. Zu seien Punkte auf gleichverteilt in dem Sinne, dass und dazugehören und dass der Winkel zwischen zwei benachbarten Punkten konstant ist.

a) Skizziere die Situation für einschließlich der Bildpunkte unter .

b) Es sei das Zählmaß auf , bei dem jeder Punkt der Verteilung den Wert erhält und es sei

das zugehörige Bildmaß auf . Man gebe eine Formel für

() mit Hilfe des Arkuskosinus an.

c) Bestimme


Lösung

a)

b) Wir betrachten die Abbildung

die den oberen Halbkreis gleichförmig parametrisiert. Dabei entspricht der angegebenen gleichwinkligen Unterteilung von mit Punkten die äquidistante Unterteilung des Intervalls mit dem Abstand , das wir nennen. Das Bildmaß kann man also auch auffassen als Bildmaß zu unter der Abbildung

Daher ist

c) Wir behaupten, dass die Folge bestimmt gegen divergiert. Es ist zunächst

Es genügt also zu zeigen, dass

ist. Nach der Regel von l'Hospital kann man stattdessen

betrachten, und dies divergiert bestimmt gegen .


Aufgabe (8 Punkte)

Zeige, dass das Borel-Lebesgue-Maß das einzige translationsinvariante Maß auf dem ist, das für den Einheitswürfel den Wert besitzt.


Lösung

Das Borel-Lebesgue-Maß erfüllt nach Fakt ***** diese Bedingungen. Sei ein solches Maß. Nach Fakt ***** ist es egal, ob diese Bedingung an den abgeschlossenen, den offenen oder einen halboffenen Einheitswürfel gestellt wird. Wir werden durchgehend mit rechtsseitig offenen Quadern arbeiten. Da der durch abzählbar viele Verschiebungen des Einheitswürfels überdeckt wird, die wegen der Translationsinvarianz von alle das gleiche Maß besitzen, ist -endlich. Wir müssen zeigen, dass mit übereinstimmt, wobei es aufgrund des Eindeutigkeitssatzes genügt, die Gleichheit auf einem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem für die Borelmengen nachzuweisen. Ein solches System bilden die Quader der Form mit rationalen Ecken. Wegen der Translationsinvarianz von besitzt ein solcher Quader das gleiche Maß wie der verschobene Quader . Wir schreiben einen solchen Quader unter Verwendung eines Hauptnenners als mit . Dieser Quader setzt sich disjunkt aus Quadern (nämlich mit ) zusammen, die alle das gleiche -Maß haben, da sie ineinander verschoben werden können. Das -Maß des Quaders ist also das -fache des -Maßes des Quaders . Da sich der Einheitswürfel aus verschobenen Kopien dieses kleineren Würfels zusammensetzt, muss und damit

sein.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei der Zylinder um die -Achse und der Zylinder um die -Achse, beide zum Radius . Bestimme das Volumen des Durchschnitts .


Lösung

Es ist

und

Somit ist

Wir bestimmen den Flächeninhalt des Querschnitts von zu zwischen und . Der Querschnitt ist

Bei fixiertem (neben dem fixierten ) läuft zwischen und . Der Flächeninhalt von ist durch

Eine Stammfunktion dazu ist

Somit ist das Volumen von gleich


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Hausdorff-Raum. Zeige, dass die Diagonale

eine abgeschlossene Teilmenge im Produktraum ist.


Lösung

Wir müssen zeigen, dass das Komplement

offen ist. Sei also ein Paar mit . Aufgrund der vorausgesetzten Hausdorff-Eigenschaft gibt es disjunkte offene Mengen mit und . Es ist und nach Definition der Produkttopologie ist eine offene Menge in . Wegen der Disjunktheit folgt aus sofort . Also ist

und ist die Vereinigung von solchen offenen Produktmengen, also selbst offen.


Aufgabe (11 (1+3+1+2+4) Punkte)

Wir betrachten die Menge

der reellen nilpotenten -Matrizen sowie die Menge

a) Ist zusammenhängend?

b) Zeige, dass eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit einer offenen Teilmenge ist.

c) Bestimme die Dimension von .

d) Ist zusammenhängend?

e) Überdecke mit expliziten topologischen Karten.


Lösung

a) Jede nilpotente Matrix lässt sich durch den linearen Weg

innerhalb der nilpotenten Matrizen mit der Nullmatrix verbinden. Daher ist wegzusammenhängend und damit auch zusammenhängend.

b) Eine -Matrix ist genau dann nilpotent, wenn sowohl die Spur als auch die Determinante sind. Die Menge der nilpotenten Matrizen kann also als

aufgefasst werden. Wir betrachten die Abbildung

Deren Jacobi-Matrix ist

Diese Abbildung ist im Nullpunkt nicht regulär, aber in jedem anderen Punkt der Faser . Wenn nämlich ist, so folgt wegen

aus

sofort

Die Jacobi-Matrix hat also in den Punkten aus den maximalen Rang. Mit

kann man als die Faser der eingeschränkten Abbildung auffassen, die überall auf der Faser regulär ist. Daher ist nach Fakt ***** eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von .

c) Nach Fakt ***** ist die Dimension von gleich .

d) Wir schreiben

und

beides sind (als Durchschnitt von mit der durch gegebenen offenen Menge des ) offene Mengen in . Die Matrizen und zeigen, dass sie nicht leer sind. Ferner überdecken sie ganz . Bei folgt nämlich wegen

direkt , und der Punkt gehört nicht zu . Es liegt also eine Überdeckung mit zwei nichtleeren disjunkten offenen Mengen vor, daher ist nicht zusammenhängend.

e) Wir arbeiten mit der Abbildung

Wegen

ist die Determinantenbedingung erfüllt, und wegen

gehört das Bild zu . Die Abbildung

ist invers zu der gegebenen Abbildung. Dabei ist

klar. Die andere Identität ergibt sich aus

und

Beide Abbildungen sind stetig, daher liegt eine Homöomorphie vor. Für vertauscht man die Rollen von und .


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Aussage, dass die tangentiale Äquivalenz von Wegen auf einer Mannigfaltigkeit in einem Punkt mit einer beliebigen Karte überprüft werden kann.


Lösung

Für eine differenzierbare Kurve

mit und und eine Karte

(mit und ) ändert sich der Ausdruck

nicht, wenn man zu einem kleineren offenen Intervall und einer kleineren offenen Menge (mit der induzierten Karte) übergeht. Wir können also davon ausgehen, dass und auf dem gleichen Intervall definiert sind und ihre Bilder in liegen, und dass es für dieses zwei Karten

und

gibt. Dann folgt aus

nach der Kettenregel unter Verwendung der Differenzierbarkeit der Übergangsabbildung sofort


Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die -Differentialform

auf der -Sphäre , wobei die Koordinaten des umgebenden mit und bezeichnet seien. Bestimme unter der stetig differenzierbaren Abbildung


Lösung

Es ist

und

Somit ist


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine exakte Differentialform auf . Es sei eine kompakte orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) mit abzählbarer Topologie und es sei

eine stetig differenzierbare Abbildung. Zeige


Lösung

Da nach Fakt *****  (5) das Zurückziehen von Formen mit der äußeren Ableitung verträglich ist, ist auch exakt. Sei eine differenzierbare Form auf mit

Nach dem Satz von Stokes ist