Kurs:Körper- und Galoistheorie/T1/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 3 4 3 3 4 3 6 7 8 5 4 5 61




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine endliche Körpererweiterung .
  2. Eine Einheit in einem kommutativen Ring .
  3. Eine -te Einheitswurzel in einem Körper ().
  4. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe .
  5. Eine algebraische Zahl .
  6. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .


Lösung

  1. Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.
  2. Ein Element heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.
  3. Ein Element heißt -te Einheitswurzel, wenn ist.
  4. Ein Automorphismus

    der Form zu einem festen Element heißt innerer Automorphismus.

  5. Eine Zahl heißt algebraisch, wenn es ein von verschiedenes Polynom gibt mit .
  6. Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller -Algebra-Automorphismen von , also


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen und .
  2. Die trigonometrische Darstellung der -ten komplexen Einheitswurzeln ().
  3. Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer -Algebra und einem Element .


Lösung

  1. Die Gradformel besagt, dass eine endliche Körpererweiterung ist und dass
    gilt.
  2. Die -ten komplexen Einheitswurzeln besitzen die Darstellung
  3. Es gibt einen eindeutig bestimmten -Algebrahomomorphismus
    mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

in liegen.


Lösung

Wir schreiben die Gleichung als

Daher ist

Also liegen die Lösungen in .


Aufgabe (4 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Lösung

Wir machen den Ansatz . Einsetzen ergibt

wobei der Koeffizient zu gleich werden soll. Dieser Koeffizient ist , also muss man
wählen. Damit wird das Polynom zu

und die äquivalente Gleichung ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Lösung

Es ist

Dies ist eine -Linearkombination von und , nämlich

Daher ist

ein annullierendes Polynom von . Wegen kann es kein annullierendes Polynom von einem kleineren Grad geben, also handelt es sich um das Minimalpolynom.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte den Körper . Führe im Polynomring die Polynomdivision

aus, wobei die Restklasse von in bezeichnet.


Lösung

Die Division mit Rest ergibt


Aufgabe (4 Punkte)

Finde im Polynomring ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.


Lösung

Wir betrachten das Polynom

Da weder noch eine Nullstelle von sind, besitzt es keinen Linearfaktor. Die einzige verbleibende Faktorzerlegung wäre als ein Produkt von zwei irreduziblen Polynomen vom Grad zwei. Das einzige irreduzible Polynom vom Grad zwei ist . Wegen

ist irreduzibel.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in

das Produkt

( bezeichne die Restklasse von ).


Lösung

Es ist

und

Daher ist


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .


Lösung

Wir setzen und . Es sei eine -Basis von und eine -Basis von . Wir behaupten, dass die Produkte

eine -Basis von

bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum über aufspannen. Sei dazu . Wir schreiben

Wir können jedes als

 mit Koeffizienten ausdrücken. Das ergibt

Daher ist eine -Linearkombination der Produkte .
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

angenommen mit . Wir schreiben dies als . Da die linear unabhängig über sind und die Koeffizienten der zu gehören folgt, dass ist für jedes . Da die linear unabhängig über sind und ist folgt, dass ist für alle .


Aufgabe (7 Punkte)

Es seien und ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. teilt .
  2. Es ist .
  3. Es gibt einen Ringhomomorphismus
  4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus


Lösung

. Wenn ein Teiler von ist, so ist mit einem und daher ist . Somit gilt die Idealinklusion .
. Wegen der Idealinklusion wird unter dem Restklassen-Ringhomomorphismus

das Ideal auf abgebildet. Daher gibt es aufgrund des Satzes über die induzierte Abbildung einen Ringhomomorphismus


. Es sei
der gegebene Ringhomomorphismus. Dieser ist insbesondere ein Gruppenhomomorphismus, und es gilt . Da die diese Gruppe erzeugt, ist surjektiv.
. Es sei
ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Bei ist die Aussage richtig. Sei also , so dass die angegebenen Gruppen die endlichen Ordnungen bzw. besitzen. Dabei ist nach dem Isomorphiesatz die Gruppe isomorph zu einer Restklassengruppe von und aufgrund der Indexformel ist (die Anzahl der Nebenklassen) ein Teiler von .


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei und es sei die Menge der -ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei ein Polynom. Zeige, dass (d.h., dass als Polynom in geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes die Gleichheit

gilt.


Lösung

Sei zunächst . Dann schreiben wir . Für ist somit

Für die Umkehrung sei

Es sei eine primitive -te Einheitswurzel, so dass man alle Einheitswurzeln eindeutig als , , schreiben kann. Es ist

Wir zeigen, dass die Koeffizienten zu , wenn kein Vielfaches von ist, gleich sind. Dies gilt dann auch für .

Sei also kein Vielfaches von . Da primitiv ist, ist eine -te Einheitswurzel, aber nicht . Wegen der Faktorisierung

ist daher .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ein Körper und der Polynomring über . Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ein Hauptidealbereich ist.


Lösung

Es sei ein von verschiedenes Ideal in . Betrachte die nichtleere Menge

Diese Menge hat ein Minimum , das von einem Element , , herrührt, sagen wir . Wir behaupten, dass ist. Die Inklusion ist klar. Zum Beweis von sei gegeben. Aufgrund von Satz 19.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) gilt

Wegen und der Minimalität von kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist und ist ein Vielfaches von .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Galoisgruppe (einschließlich der Gruppenstruktur) der Körpererweiterung .


Lösung

Es ist . Ein -Algebrahomomorphismus muss auf eine Nullstelle von schicken, also auf oder auf . Die dadurch definierten surjektiven Einsetzungshomomorphismen

legen nach dem Isomorphiesatz einen -Algebraautomorphismus

fest. Die Galoisgruppe besteht also aus der Identität und der Konjugation . Die Identität ist das neutrale Element dieser Gruppe und die Hintereinanderausführung der Konjugation ist die Identität, was die Gruppenstruktur festlegt.


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es seien und kommutative Gruppen und seien und die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper .

  1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

    durch die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus

    definiert wird.

  2. Es sei eine weitere kommutative Gruppe und sei

    ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit


Lösung

  1. Ein Charakter ist ein Gruppenhomomorphismus
    daher ist die Verknüpfung
    ein Element aus , die Abbildung ist also wohldefiniert. Zu zwei Charakteren und einem beliebigen Element ist

    Also ist

    und die Zuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus.

  2. Dies ergibt sich für direkt aus