Kurs:Körper- und Galoistheorie/T1/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	$\sum$
Punkte	3	3	3	4	3	3	4	3	6	7	8	5	4	5	61

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$.
2. Eine Einheit $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
3. Eine $n$-te Einheitswurzel $z$ in einem Körper $K$ ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$).
4. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe $G$.
5. Eine algebraische Zahl  $z\in ℂ$. 
6. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.

Lösung

1. Eine Körpererweiterung $K\subseteq L$ heißt endlich, wenn $L$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über $K$ ist.
2. Ein Element $u$ heißt Einheit, wenn es ein Element $v\in R$ mit $uv=1$ gibt.
3. Ein Element $z\in K$ heißt $n$-te Einheitswurzel, wenn $z^n=1$ ist.
4. Ein Automorphismus

   $G⟶G$

   der Form $x\mapsto gx{g}^{-1}$ zu einem festen Element $g\in G$ heißt innerer Automorphismus.

5. Eine Zahl $z\in ℂ$ heißt algebraisch, wenn es ein von $0$ verschiedenes Polynom $P\in \mathbb{Q}[X]$ gibt mit $P(z)=0$.
6. Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller $K$-Algebra-Automorphismen von $L$, also

   ${\mathrm{Aut}}_K(L).$

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$.
2. Die trigonometrische Darstellung der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$).
3. Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer $R$-Algebra $A$ und einem Element $f\in A$.

Lösung

1. Die Gradformel besagt, dass $K\subseteq M$ eine endliche Körpererweiterung ist und dass

   ${\mathrm{grad}}_{K}M={\mathrm{grad}}_{K}L\cdot {\mathrm{grad}}_{L}M$

   gilt.
2. Die $n$-ten komplexen Einheitswurzeln besitzen die Darstellung

   $\cos \frac{2\pi k}{n}+\mathrm{i}\sin \frac{2\pi k}{n},k=0,1,\dots ,n-1.$

3. Es gibt einen eindeutig bestimmten $R$-Algebrahomomorphismus

   $\psi :R[X]⟶A$

   mit $\psi (X)=f$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl $n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

$x^2+3x+\frac{7}{3}=0$

in $\mathbb{Q}[\sqrt{n}]$ liegen.

Lösung

Wir schreiben die Gleichung als

${(x+\frac{3}{2})}^2=-\frac{7}{3}+\frac{9}{4}=\frac{-28+27}{12}=\frac{-1}{12}.$

Daher ist

$x+\frac{3}{2}=\pm \sqrt{\frac{-1}{12}}=\pm \frac{1}{2}\sqrt{-\frac{1}{3}}=\pm \frac{1}{6}\sqrt{-3}.$

Also liegen die Lösungen in $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Forme die Gleichung

$x^5+10x^4+x-5=0$

in eine äquivalente Gleichung der Form

$y^5+b_3{y}^3+b_2{y}^2+b_{1}y+b_0=0$

mit  $b_i\in \mathbb{Q}$  um.

Lösung

Wir machen den Ansatz $x=y+c$. Einsetzen ergibt

$(y+c{)}^5+10(y+c{)}^4+y+c-5=0,$

wobei der Koeffizient zu $y^4$ gleich $0$ werden soll. Dieser Koeffizient ist $5c+10$, also muss man

$c=-2$

wählen. Damit wird das Polynom zu

$\begin{array}{cc}& =(y+c{)}^5+10(y+c{)}^4+y+c-5\\ & =(y-2{)}^5+10(y-2{)}^4+y-2-5\\ & =y^5-5\cdot 2y^4+10(-2{)}^2{y}^3+10(-2{)}^3{y}^2+5(-2{)}^{4}y-2^5\\ & +10(y^4+4(-2)y^3+6(-2{)}^2{y}^2+4(-2{)}^{3}y+16)+y-7\\ & =y^5+40y^3-80y^2+80y-32-80y^3+240y^2-320y+160+y-7\\ & =y^5-40y^3+160y^2-239y+121\end{array}$

und die äquivalente Gleichung ist

$y^5-40y^3+160y^2-239y+121=0.$

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl $2+5\mathrm{i}$ über $\mathbb{Q}$.

Lösung

Es ist

$(2+5\mathrm{i}{)}^2=4-25+20\mathrm{i}=-21+20\mathrm{i}.$

Dies ist eine $\mathbb{Q}$-Linearkombination von $1$ und $2+5\mathrm{i}$, nämlich

$-21+20\mathrm{i}=-29\cdot 1+4(2+5\mathrm{i}).$

Daher ist

$Z^2-4Z+29$

ein annullierendes Polynom von $2+5\mathrm{i}$. Wegen $2+5\mathrm{i}\in ̸\mathbb{Q}$ kann es kein annullierendes Polynom von einem kleineren Grad geben, also handelt es sich um das Minimalpolynom.

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte den Körper

$K={𝔽}_4=\mathbb{Z}/(2)[U]/(U^2+U+1).$

Führe im Polynomring $K[X]$ die Polynomdivision

$X^4+u{X}^3+(u+1)X+1\text{ durch }u{X}^2+X+u+1$

aus, wobei $u$ die Restklasse von $U$ in $K$ bezeichnet.

Lösung

Die Division mit Rest ergibt

$X^4+u{X}^3+(u+1)X+1=(u{X}^2+X+u+1)((u+1)X^2+(u+1)X+(u+1))+uX+u+1.$

Aufgabe (4 Punkte)

Finde im Polynomring $\mathbb{Z}/(2)[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.

Lösung

Wir betrachten das Polynom

$F=X^4+X+1.$

Da weder $0$ noch $1$ eine Nullstelle von $F$ sind, besitzt es keinen Linearfaktor. Die einzige verbleibende Faktorzerlegung wäre als ein Produkt von zwei irreduziblen Polynomen vom Grad zwei. Das einzige irreduzible Polynom vom Grad zwei ist $X^2+X+1$. Wegen

$(X^2+X+1{)}^2=X^4+X^2+1\ne F$

ist $F$ irreduzibel.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in

$\mathbb{Z}/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)$

das Produkt

$(2x^2+5x+3)\cdot (3x^2+x+6)$

($x$ bezeichne die Restklasse von $X$).

Lösung

Es ist

$x^3=3x^2+6x+2$

und

$\begin{array}{cc}{x}^4& =x(3x^2+6x+2)\\ & =3x^3+6x^2+2x\\ & =3(3x^2+6x+2)+6x^2+2x\\ & =x^2+6x+6.\end{array}$

Daher ist

$\begin{array}{cc}(2x^2+5x+3)\cdot (3x^2+x+6)& =6x^4+3x^3+5x^2+5x+4\\ & =6(x^2+6x+6)+3(3x^2+6x+2)+5x^2+5x+4\\ & =6x^2+3x+4.\end{array}$

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen $K\subseteq L\subseteq M$.

Lösung

Wir setzen ${\mathrm{grad}}_{K}L=n$ und ${\mathrm{grad}}_{L}M=m$. Es sei  $x_1,\dots ,x_n\in L$  eine $K$-Basis von $L$ und  $y_1,\dots ,y_m\in M$  eine $L$-Basis von $M$. Wir behaupten, dass die Produkte

$x_i{y}_j,1\le i\le n,1\le j\le m,$

eine $K$-Basis von $M$ bilden. Wir zeigen zuerst, dass diese Produkte den Vektorraum $M$ über $K$ erzeugen. Es sei dazu  $z\in M$.  Wir schreiben

$z=b_1{y}_1+\cdots +b_m{y}_m\text{ mit Koeffizienten }{b}_j\in L.$

Wir können jedes $b_j$ als $b_j=a_{1j}{x}_1+\cdots +a_{nj}{x}_n$ mit Koeffizienten $a_{ij}\in K$ ausdrücken. Das ergibt

$\begin{array}{cc}z& =b_1{y}_1+\cdots +b_m{y}_m\\ & =(a_{11}{x}_1+\cdots +a_{n1}{x}_n)y_1+\cdots +(a_{1m}{x}_1+\cdots +a_{nm}{x}_n)y_m\\ & =\sum _{1\le i\le n,1\le j\le m}{a}_{ij}{x}_i{y}_j.\end{array}$

Daher ist $z$ eine $K$-Linearkombination der Produkte $x_i{y}_j$.
Um zu zeigen, dass diese Produkte linear unabhängig sind, sei

$0=\sum _{1\le i\le n,1\le j\le m}{c}_{ij}{x}_i{y}_j$

mit  $c_{ij}\in K$  angenommen. Wir schreiben dies als  $0=\sum _{j=1}^m\left(\sum _{i=1}^n{c}_{ij}{x}_i\right)y_j$.  Da die $y_j$ linear unabhängig über $L$ sind und die Koeffizienten der $y_j$ zu $L$ gehören, folgt, dass  $\sum _{i=1}^n{c}_{ij}{x}_i=0$  ist für jedes $j$. Da die $x_i$ linear unabhängig über $K$ sind und die  $c_{ij}\in K$  sind, folgt  $c_{ij}=0$  für alle $i,j$.

Aufgabe (7 Punkte)

Es seien $k$ und $n$ ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $k$ teilt $n$.
2. Es ist  $\mathbb{Z}n\subseteq \mathbb{Z}k$. 
3. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   $\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k).$

4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

   $\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k).$

Lösung

$(1)\Rightarrow (2)$. Wenn $k$ ein Teiler von $n$ ist, so ist $n=ak$ mit einem $a\in \mathbb{Z}$ und daher ist $n\in \mathbb{Z}k$. Somit gilt die Idealinklusion $\mathbb{Z}n\subseteq \mathbb{Z}k$.
$(2)\Rightarrow (3)$. Wegen der Idealinklusion $\mathbb{Z}n\subseteq \mathbb{Z}k$ wird unter dem Restklassen-Ringhomomorphismus

$\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z}/(k)$

das Ideal $\mathbb{Z}n$ auf $0$ abgebildet. Daher gibt es aufgrund des Satzes über die induzierte Abbildung einen Ringhomomorphismus

$\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k).$

$(3)\Rightarrow (4)$. Es sei

$\phi :\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k)$

der gegebene Ringhomomorphismus. Dieser ist insbesondere ein Gruppenhomomorphismus, und es gilt $\phi (1)=1$. Da die $1\in \mathbb{Z}/(k)$ diese Gruppe erzeugt, ist $\phi$ surjektiv.
$(4)\Rightarrow (1)$. Es sei

$\phi :\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k)$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Bei $n=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also $n\ne 0$, sodass die angegebenen Gruppen die endlichen Ordnungen $n$ bzw. $k$ besitzen. Dabei ist nach dem Isomorphiesatz die Gruppe $\mathbb{Z}/(k)$ isomorph zu einer Restklassengruppe von $\mathbb{Z}/(n)$ und aufgrund der Indexformel ist $k$ (die Anzahl der Nebenklassen) ein Teiler von $n$.

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  und es sei  ${\mu }_n\subseteq ℂ$  die Menge der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei  $F\in ℂ[X]$  ein Polynom. Zeige, dass  $F\in ℂ[X^n]$  (d.h., dass $F$ als Polynom in $X^n$ geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes  $z\in {\mu }_n$  die Gleichheit

$F(zX)=F(X)$

gilt.

Lösung

Es sei zunächst $F\in ℂ[X^n]$. Dann schreiben wir $F=\sum _{i=0}^k{a}_i(X^n{)}^i$. Für $z\in {\mu }_n$ ist somit

$F(zX)=\sum _{i=0}^k{a}_i((zX{)}^n{)}^i=\sum _{i=0}^k{a}_i(z^n{X}^n{)}^i=\sum _{i=0}^k{a}_i(X^n{)}^i=F(X).$

Für die Umkehrung sei

$F=\sum _{i=0}^k{c}_i{X}^i.$

Es sei $z$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, sodass man alle Einheitswurzeln eindeutig als $z^j$, $j=0,\dots ,n-1$, schreiben kann. Es ist

$\begin{array}{cc}nF(X)& =\sum _{j=0}^{n-1}F(z^{j}X)\\ & =\sum _{j=0}^{n-1}(\sum _{i=0}^k{c}_i(z^j{)}^i{X}^i)\\ & =\sum _{i=0}^k(c_i\sum _{j=0}^{n-1}(z^i{)}^j)X^i.\end{array}$

Wir zeigen, dass die Koeffizienten zu $X^i$, wenn $i$ kein Vielfaches von $n$ ist, gleich $0$ sind. Dies gilt dann auch für $F$.

Es sei also $i$ kein Vielfaches von $n$. Da $z$ primitiv ist, ist $w=z^i$ eine $n$-te Einheitswurzel, aber nicht $1$. Wegen der Faktorisierung

$X^n-1=(X-1)(X^{n-1}+\cdots +X+1)$

ist daher $\sum _{j=0}^{n-1}{w}^j=0$.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass $K[X]$ ein Hauptidealbereich ist.

Lösung

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $K[X]$. Betrachte die nichtleere Menge

$\{\mathrm{grad}(P)\mid P\in I,P\ne 0\}.$

Diese Menge hat ein Minimum  $m\in \mathbb{N}$,  das von einem Element $F\in I$, $F\ne 0$, herrührt, sagen wir  $m=\mathrm{grad}(F)$.  Wir behaupten, dass  $I=(F)$  ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei  $P\in I$  gegeben. Aufgrund von Satz 19.4 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gilt

$P=FQ+R\text{ mit }\mathrm{grad}(R)<\mathrm{grad}(F)\text{ oder }R=0.$

Wegen  $R\in I$  und der Minimalität von $\mathrm{grad}(F)$ kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist  $R=0$  und $P$ ist ein Vielfaches von $F$.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Galoisgruppe (einschließlich der Gruppenstruktur) der Körpererweiterung $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[\mathrm{i}]$.

Lösung

Es ist  $\mathbb{Q}[\mathrm{i}]\cong \mathbb{Q}[X]/(X^2+1)$.  Ein $\mathbb{Q}$-Algebrahomomorphismus muss $\mathrm{i}$ auf eine Nullstelle von $X^2+1$ schicken, also auf $\mathrm{i}$ oder auf $-\mathrm{i}$. Die dadurch definierten surjektiven Einsetzungshomomorphismen

$\mathbb{Q}[X]⟶\mathbb{Q}[\mathrm{i}]$

legen nach dem Isomorphiesatz einen $\mathbb{Q}$-Algebraautomorphismus

$\mathbb{Q}[\mathrm{i}]⟶\mathbb{Q}[\mathrm{i}]$

fest. Die Galoisgruppe besteht also aus der Identität und der Konjugation $a+b\mathrm{i}\mapsto a-b\mathrm{i}$. Die Identität ist das neutrale Element dieser Gruppe und die Hintereinanderausführung der Konjugation ist die Identität, was die Gruppenstruktur festlegt.

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es seien $D_1$ und $D_2$ kommutative Gruppen und seien $D_1^{\vee }$ und $D_2^{\vee }$ die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper $K$.

1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

   $\phi :D_1⟶D_2$

   durch die Zuordnung $\chi \mapsto \chi \circ \phi$ ein Gruppenhomomorphismus

   ${\phi }^{\vee }:D_2^{\vee }⟶D_1^{\vee }$

   definiert wird.

2. Es sei $D_3$ eine weitere kommutative Gruppe und sei

   $\psi :D_2⟶D_3$

   ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit

   $(\psi \circ \phi {)}^{\vee }={\phi }^{\vee }\circ {\psi }^{\vee }.$

Lösung

1. Ein Charakter $\chi \in D_2^{\vee }$ ist ein Gruppenhomomorphismus

   $D_2⟶K^{\times },$

   daher ist die Verknüpfung

   $\chi \circ \phi :D_1⟶K^{\times }$

   ein Element aus $D_1^{\vee }$, die Abbildung ist also wohldefiniert. Zu zwei Charakteren ${\chi }_1,{\chi }_2\in D_2^{\vee }$ und einem beliebigen Element $d\in D_1$ ist

   $\begin{array}{cc}(({\chi }_1\cdot {\chi }_2)\circ \phi )(d)& =({\chi }_1\cdot {\chi }_2)(\phi (d))\\ & ={\chi }_1(\phi (d))\cdot {\chi }_2(\phi (d))\\ & =(({\chi }_1\circ \phi )(d))\cdot (({\chi }_2\circ \phi )(d))\\ & =(({\chi }_1\circ \phi )\cdot ({\chi }_2\circ \phi ))(d).\end{array}$

   Also ist

   ${\phi }^{\vee }({\chi }_1\cdot {\chi }_2)=({\chi }_1\cdot {\chi }_2)\circ \phi =({\chi }_1\circ \phi )\cdot ({\chi }_2\circ \phi )={\phi }^{\vee }({\chi }_1)\cdot {\phi }^{\vee }({\chi }_2)$

   und die Zuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus.

2. Dies ergibt sich für $\chi \in D_3^{\vee }$ direkt aus

   $(\psi \circ \phi {)}^{\vee }(\chi )=\chi \circ (\psi \circ \phi )=(\chi \circ \psi )\circ \phi ={\phi }^{\vee }(\chi \circ \psi )={\phi }^{\vee }({\psi }^{\vee }(\chi ))=({\phi }^{\vee }\circ {\psi }^{\vee })(\chi ).$