Lösung
- Eine Verknüpfung
auf einer Menge
ist eine
Abbildung
-
- Zwei
(inhomogene) lineare Gleichungssysteme
heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
- Die Matrix
mit
-

heißt die inverse Matrix von
.
- Die Zahl
-

heißt das Signum der Permutation
.
- Ein
Untervektorraum
heißt
-invariant, wenn
-

gilt.
- Eine quadratische Matrix der Form
-
wobei die
Jordanmatrizen
sind, heißt Matrix in
jordanscher Normalform.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
- Der Satz über die natürliche Abbildung ins Bidual.
- Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.
Lösung
- Es sei
ein Körper und es seien
und
Vektorräume über
der Dimension
bzw.
.
Es sei
-
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix
beschrieben werde. Dann gilt
-

- Es sei
ein
Körper
und
ein
-
Vektorraum. Dann gibt es eine natürliche
injektive
lineare Abbildung
-
Wenn
endlichdimensional
ist, so ist
ein
Isomorphismus.
- Es sei
ein
Körper
und es sei
ein
endlichdimensionaler
-
Vektorraum.
Es sei
-
eine
nilpotente
lineare Abbildung. Dann gibt es eine
Basis
von
, bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt
-
besitzt, wobei die
gleich
oder gleich
sind.
Lösung
Es sei
der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten
-
und mit BC50 hat man die Kosten
-
Die Bedingung
-
führt auf
-
Die Bedingung
-
führt auf
-
Die Bedingung
-
führt auf
-
also
-
Also ist für
keine Bahncard die günstigste Option, für
ist die BC25 die günstigste Option und für
ist die BC50 die günstigste Option.
a) Zeige, dass die drei reellen Matrizen
-
bezüglich der
Matrizenmultiplikation
eine
Gruppe
bilden.
b) Zeige, dass die sechs reellen Matrizen
-
bezüglich der
Matrizenmultiplikation
eine
Gruppe
bilden.
Lösung
a) Zur Abkürzung sei
-

Es ist

und dies ist die dritte der angeführten Matrizen. Ferner ist

Daher sind sämtliche Produkte, die man aus den drei Matrizen bilden kann, wieder eine der Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist assoziativ, da dies ganz allgemein für die Matrizenmultiplikation gilt. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Verknüpfung, und nach obiger Rechnung sind
und
invers zueinander.
b) Wir setzen
-

wobei
-

ist. Ferner ist
-

und
-

es geht also um die sechs Matrizen
-
die wir alle einheitlich als
-
schreiben können. Ein Matrizenprodukt kann man somit als
-
schreiben. Bei
oder
liegt direkt wieder ein Ausdruck der Form
vor, wobei man wegen
und
erreichen kann, dass
und
ist. Bei
und
kommt im Innern der Ausdruck
vor. Dieser ist
-

Daher kann man die
nach rechts bringen und erhält eine Darstellung wie zuvor. Die Matrizenmuliplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist wieder assoziativ und die Einheitsmatrix ist das neutrale Element. Das inverse Element zu
ist aufgrund des bisher Bewiesenen
-
und dieses gehört zur Menge.
Lösung
Die Funktionen sind linear unabhängig. Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit vorliegen würde, so gelte
-

mit
,
nicht alle
. Dies gilt dann auch an jeder Stelle
.
Wir betrachten die Stellen
-

Die Werte der drei Funktionen an diesen Stellen sind
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Die angenommene lineare Abhängigkeit bedeutet somit, dass die Spalten der Matrix
-
linear abhängig sind und ihre Determinante
sein muss. Die Entwicklung nach der ersten Zeile zeigt aber, dass die Determinante den Wert
hat.
Es sei eine
lineare Abbildung
-
mit
-
gegeben. Berechne
-
Lösung
Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem
-

Die Zeilenoperation
führt auf
-

und
führt auf
-

Damit ist
-

und
-

also
-

und
-

Also ist

Lösung
Wir nehmen zunächst an, dass

und

isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung
-
existiert.
Es sei
eine Basis von
. Aufgrund der Surjektivität von
existieren Elemente
in
mit
.
Es sei
eine Darstellung der 0. Dann ist

weil
linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass
linear unabhängig sind und wegen Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (4) ist die Dimension von
damit mindestens so hoch wie die von
. Mithilfe der Umkehrabbildung zu
können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von
mindestens so hoch ist, wie die von
. Also sind die Vektorräume gleichdimensional.
Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen
von
und
von
gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen
bzw.
gemäß Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind
und
isomorph.
Lösung
Es sei
-

angenommen. Dann gibt es einen Vektor
mit
-

Wir ergänzen
zu einer
Basis
-
von
. Es sei
die Matrix bezüglich der Standardbasis, die die durch
und
für
festgelegte
lineare Abbildung beschreibt. Der Rang von
ist
, da ja das Bild gerade
ist, und es ist
-

also ist
-

im Widerspruch zur Voraussetzung.
Beweise den Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.
Lösung
Löse das
lineare Gleichungssystem
-

mit Hilfe der
Cramerschen Regel.
Lösung
Es ist
-

und
-

Es sei
der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad
mit der Basis
-
Erstelle für die Ableitungsabbildung
-
die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.
Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.
Lösung
Die Ableitung schickt die Basiselemente auf
-
Daraus sind direkt die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis abzulesen. In der beschreibenden Matrix stehen in den Spalten die Koeffizienten der Bildvektoren. Daher lautet die Matrix
-
Das Bild dieser Abbildung besteht aus allen Polynomen vom Grad
. Dieser Untervektorraum
besitzt die Basis
und hat demnach die Dimension
.
Der Kern besteht aus den konstanten Polynomen mit der Basis
, dieser Unterraum ist also eindimensional.
Lösung
Wenn
injektiv
ist, so ist
auch
bijektiv
und damit eine
Permutation,
und die Aussage gilt nach
Lemma 18.6
allein mit Transpositionen. Es sei also
nicht injektiv und seien
Elemente die beide auf das gleiche Element abgebildet werden. Es sei
die Abbildung, die
und
auf
abbildet und ansonsten die Identität ist. Dann
kann man
-

schreiben, wobei man
setzt, wobei
ein Element sei, das nicht zum Bild von
gehört, und man ansonsten
setzt - also insbesondere
. Wenn
ebenfalls nicht injektiv ist, so können wir mit entsprechenden Festsetzungen
-

schreiben. So machen wir Schritt für Schritt weiter. Da sich dabei bei jedem Schritt die Anzahl der Elemente im Bild von
erhöht, erreichen wir schließlich die Situation
-

wobei
bijektiv ist. Diese Bijektion können wir als Produkt von Transpositionen darstellen.
Es sei
ein Körper und es seien
verschiedene Elemente
und
Elemente
gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom
vom Grad
derart gibt, dass
für alle
ist.
Lösung
Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo
ist für alle
für ein festes
. Dann ist
-
ein Polynom vom Grad
, das an den Stellen
den Wert
hat. Das Polynom
-
hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei
den Wert
. Nennen wir dieses Polynom
. Dann ist
-

das gesuchte Polynom. An der Stelle
gilt ja
-

für
und
.
Die Eindeutigkeit folgt aus
Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
Berechne das Ergebnis, wenn man im
Polynom
-
die Variable
durch die
-
Matrix
-
ersetzt.
Lösung
Es ist

Daher ist

a) Man gebe ein Beispiel für eine
-
Permutationsmatrix,
bei der in jeder Diagonalen
(Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen)
höchstens eine
steht.
b) Zeige, dass es keine Lösung zu a) gibt, bei der
ist.
Lösung
Bestimme, ob die reelle Matrix
-
trigonalisierbar
ist oder nicht.
Lösung
Das
charakteristische Polynom
der Matrix ist

Der rechte Faktor ist
-

stets positiv und besitzt daher in
keine Nullstelle. Also zerfällt das charakteristische Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren und nach
Satz 25.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025))
ist die Matrix nicht trigonalisierbar.