Kurs:Lineare Algebra/Teil I/12/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 2 9 4 4 4 4 4 2 4 6 6 2 3 3 1 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Verknüpfung auf einer Menge .
  2. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper .
  3. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix über einem Körper .
  4. Das Signum einer Permutation auf .
  5. Ein -invarianter Untervektorraum zu einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .

  6. Eine Matrix in jordanscher Normalform.


Lösung

  1. Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
  2. Zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
  3. Die Matrix mit

    heißt die inverse Matrix von .

  4. Die Zahl

    heißt das Signum der Permutation .

  5. Ein Untervektorraum heißt -invariant, wenn

    gilt.

  6. Eine quadratische Matrix der Form

    wobei die Jordanmatrizen sind, heißt Matrix in jordanscher Normalform.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Rang von einer Matrix und einer linearen Abbildung.
  2. Der Satz über die natürliche Abbildung ins Bidual.
  3. Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei

    eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Dann gilt

  2. Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Dann gibt es eine natürliche injektive lineare Abbildung

    Wenn endlichdimensional ist, so ist ein

    Isomorphismus.
  3. Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

    eine nilpotente lineare Abbildung. Dann gibt es eine Basis von , bezüglich der die beschreibende Matrix die Gestalt

    besitzt, wobei die gleich oder gleich sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro und eine Bahncard , mit der man ein Jahr lang Prozent des Normalpreises einspart, kostet Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard oder die Bahncard die günstigste Option?


Lösung

Es sei der Gesamtnormalpreis. Mit BC25 hat man die Kosten

und mit BC50 hat man die Kosten

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

Die Bedingung

führt auf

also

Also ist für keine Bahncard die günstigste Option, für ist die BC25 die günstigste Option und für ist die BC50 die günstigste Option.


Aufgabe (9 (4+5) Punkte)

a) Zeige, dass die drei reellen Matrizen

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.

b) Zeige, dass die sechs reellen Matrizen

bezüglich der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bilden.


Lösung

a) Zur Abkürzung sei

Es ist

und dies ist die dritte der angeführten Matrizen. Ferner ist

Daher sind sämtliche Produkte, die man aus den drei Matrizen bilden kann, wieder eine der Matrizen. Die Matrizenmultiplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist assoziativ, da dies ganz allgemein für die Matrizenmultiplikation gilt. Die Einheitsmatrix ist das neutrale Element der Verknüpfung, und nach obiger Rechnung sind und invers zueinander.

b) Wir setzen

wobei

ist. Ferner ist

und

es geht also um die sechs Matrizen

die wir alle einheitlich als

schreiben können. Ein Matrizenprodukt kann man somit als

schreiben. Bei oder liegt direkt wieder ein Ausdruck der Form vor, wobei man wegen und erreichen kann, dass und ist. Bei und kommt im Innern der Ausdruck vor. Dieser ist

Daher kann man die nach rechts bringen und erhält eine Darstellung wie zuvor. Die Matrizenmuliplikation ist also eine Verknüpfung auf der gegebenen Menge. Die Verknüpfung ist wieder assoziativ und die Einheitsmatrix ist das neutrale Element. Das inverse Element zu ist aufgrund des bisher Bewiesenen

und dieses gehört zur Menge.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme, ob die drei Funktionen

mit , und linear abhängig sind.


Lösung

Die Funktionen sind linear unabhängig. Wenn nämlich eine lineare Abhängigkeit vorliegen würde, so gelte

mit , nicht alle . Dies gilt dann auch an jeder Stelle . Wir betrachten die Stellen

Die Werte der drei Funktionen an diesen Stellen sind

Die angenommene lineare Abhängigkeit bedeutet somit, dass die Spalten der Matrix

linear abhängig sind und ihre Determinante sein muss. Die Entwicklung nach der ersten Zeile zeigt aber, dass die Determinante den Wert hat.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung

mit

gegeben. Berechne


Lösung

Wir lösen zuerst das lineare Gleichungssystem

Die Zeilenoperation führt auf

und führt auf

Damit ist

und

also

und

Also ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Zeige, dass und genau dann zueinander isomorph sind, wenn ihre Dimension übereinstimmt.


Lösung

Wir nehmen zunächst an, dass und isomorph sind, dass also eine bijektive lineare Abbildung
existiert.

Sei eine Basis von . Aufgrund der Surjektivität von existieren Elemente in mit .

Sei eine Darstellung der 0. Dann ist

weil linear unabhängig sind, sind alle Koeffizienten 0. Daraus schließen wir, dass linear unabhängig sind und wegen Satz 7.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018))  (4) ist die Dimension von damit mindestens so hoch wie die von . Mithilfe der Umkehrabbildung zu können wir ebenso zeigen, dass die Dimension von mindestens so hoch ist, wie die von . Also sind die Vektorräume gleichdimensional.

Nehmen wir umgekehrt an, dass die Dimensionen der Vektorräume übereinstimmen, und seien Basen von und von gegeben. Dann werden durch die Zuordnungen bzw. gemäß Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) lineare Abbildungen definiert. Diese sind zueinander invers (man kann dies auf Basen nachprüfen und auf den gewählten Basen ist dies trivial), also sind und isomorph.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine -Matrix über dem Körper . Es sei

für jede -Matrix vom Rang . Zeige


Lösung

Es sei

angenommen. Dann gibt es einen Vektor mit

Wir ergänzen zu einer Basis

von . Es sei die Matrix bezüglich der Standardbasis, die die durch und für festgelegte lineare Abbildung beschreibt. Der Rang von ist , da ja das Bild gerade ist, und es ist

also ist

im Widerspruch zur Voraussetzung.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.


Lösung

Die Behauptung bedeutet die Gleichheit

in . Dies kann man auf der Basis , , überprüfen. Es ist einerseits

und andererseits ebenso


Aufgabe (2 Punkte)

Löse das lineare Gleichungssystem

mit Hilfe der Cramerschen Regel.


Lösung

Es ist

und


Aufgabe (4 Punkte)

Sei der reelle Vektorraum der Polynome vom Grad mit der Basis

Erstelle für die Ableitungsabbildung

die beschreibende Matrix bezüglich dieser Basis.

Bestimme den Kern und das Bild dieser Abbildung sowie deren Dimensionen.


Lösung

Die Ableitung schickt die Basiselemente auf

Daraus sind direkt die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis abzulesen. In der beschreibenden Matrix stehen in den Spalten die Koeffizienten der Bildvektoren. Daher lautet die Matrix

Das Bild dieser Abbildung besteht aus allen Polynomen vom Grad . Dieser Untervektorraum besitzt die Basis und hat demnach die Dimension .

Der Kern besteht aus den konstanten Polynomen mit der Basis , dieser Unterraum ist also eindimensional.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine endliche Menge und

eine Abbildung. Zeige, dass man als die Hintereinanderschaltung

schreiben kann, wobei die Transpositionen und die Abbildungen derart sind, dass es gibt mit

und


Lösung

Wenn injektiv ist, so ist auch bijektiv und damit eine Permutation, und die Aussage gilt nach Lemma 18.6 allein mit Transpositionen. Sei also nicht injektiv und seien Elemente die beide auf das gleiche Element abgebildet werden. Es sei die Abbildung, die und auf abbildet und ansonsten die Identität ist. Dann kann man

schreiben, wobei man setzt, wobei ein Element sei, das nicht zum Bild von gehört, und man ansonsten setzt - also insbesondere . Wenn ebenfalls nicht injektiv ist, so können wir mit entsprechenden Festsetzungen

schreiben. So machen wir Schritt für Schritt weiter. Da sich dabei bei jedem Schritt die Anzahl der Elemente im Bild von erhöht, erreichen wir schließlich die Situation

wobei bijektiv ist. Diese Bijektion können wir als Produkt von Transpositionen darstellen.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Körper und es seien verschiedene Elemente und Elemente gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom vom Grad gibt derart, dass für alle ist.


Lösung

Wir beweisen die Existenz und betrachten zuerst die Situation, wo ist für alle . Dann ist

ein Polynom vom Grad , das an den Stellen den Wert hat. Das Polynom

hat an diesen Stellen ebenfalls eine Nullstelle, zusätzlich aber noch bei den Wert . Nennen wir dieses Polynom . Dann ist

das gesuchte Polynom. An der Stelle gilt ja

für und .

Die Eindeutigkeit folgt aus Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).


Aufgabe (2 Punkte)

Berechne das Ergebnis, wenn man im Polynom

die Variable durch die -Matrix

ersetzt.


Lösung

Es ist

Daher ist


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

a) Man gebe ein Beispiel für eine -Permutationsmatrix, bei der in jeder Diagonalen (Haupt-, Neben- und Gegendiagonalen) höchstens eine steht.

b) Zeige, dass es keine Lösung zu a) gibt, bei der ist.


Lösung

a)

b) Eine links oben erzwingt die folgende Situation ( bedeutet, dass dort eine stehen könnte)

Wir betrachten die Situation je nachdem, wo in der zweiten Zeile die steht. Im ersten Fall ist

was nicht zu einer Lösung ergänzt werden kann. Im zweiten Fall ist

Da die verbleibenden noch freien Positionen auf einer Diagonalen liegen, kann das ebenfalls nicht zu einer Lösung ergänzt werden.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar ist oder nicht.


Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Der rechte Faktor ist

stets positiv und besitzt daher in keine Nullstelle. Also zerfällt das charakteristische Polynom nicht vollständig in Linearfaktoren und nach Satz 25.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist die Matrix nicht trigonalisierbar.


Aufgabe (1 Punkt)

Es sei ein -Vektorraum, den wir auch als affinen Raum über sich selbst auffassen. Es seien . Zeige, dass die Familie dieser Vektoren genau dann linear unabhängig ist, wenn die Familie affin unabhängig ist.


Lösung

Nach Lemma 30.5 ist eine Familie von Punkten eines affinen Raumes genau dann affin unabhängig, wenn die Vektorfamilie linear unabhängig ist. Die Aussage der Aufgabe ist mit ein Spezialfall davon.