Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Vorlesung 53/kontrolle

In dieser Vorlesung werden wir wesentliche Hilfsmittel für den Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf bereit stellen und ihn anschließend beweisen.

Supremumsnorm und Abbildungsräume

Wir erinnern an die Definition der Supremumsnorm.

Es sei $T$ eine Menge und

$f:T⟶ℝ$

eine Funktion. Dann nennt man

$\Vert f\Vert :=\Vert f{\Vert }_T=\sup (|f(x)||x\in T)$

das Supremum (oder die Supremumsnorm) von $f$. Es ist eine nichtnegative reelle Zahl oder $\mathrm{\infty }$.

Diese Definition kann man direkt verallgemeinern, wenn die Werte der Abbildungen in einem euklidischen Vektorraum liegen. Es sei also $T$ eine Menge und $E$ sei ein euklidischer Vektorraum. In dieser Situation definiert man zu einer Abbildung

$f:T⟶E$

$\Vert f\Vert :=\Vert f{\Vert }_T=\sup (\Vert f(x)\Vert ,x\in T)$

und nennt dies das Supremum (oder die Supremumsnorm) von $f$ (falls das Supremum nicht existiert, ist dies als $\mathrm{\infty }$ zu interpretieren).

Wir setzen  $M=\mathrm{Abb}(T,E)$;  dies ist ein (i.A. unendlichdimensionaler) reeller Vektorraum. Die Supremumsnorm erfüllt die folgenden Eigenschaften (die geeignet zu interpretieren sind, falls $\mathrm{\infty }$ auftritt).

1. Es ist  $\Vert f\Vert \ge 0$  für alle  $f\in M$. 
2. Es ist  $\Vert f\Vert =0$  genau dann, wenn  $f=0$  ist.
3. Für  $\lambda \in ℝ$  und  $f\in M$  gilt

   $\Vert \lambda f\Vert =|\lambda |\cdot \Vert f\Vert .$

4. Für  $g,f\in M$  gilt

   $\Vert g+f\Vert \le \Vert g\Vert +\Vert f\Vert .$

Wenn $T$ ein metrischer Raum ist, so betrachtet man

$C=\{f:T\to E\mid f\text{ stetig}\}.$

Dieser ist ein reeller Untervektorraum von $M$. Wenn  $T\subseteq {ℝ}^k$  nichtleer, abgeschlossen und beschränkt ist, so ist nach Satz 22.7 das Supremum von $\Vert f(x)\Vert$, $x\in T$, gleich dem Maximum, d.h. es gibt ein  $x\in T$  derart, dass  $\Vert f(x^{\prime })\Vert \le \Vert f(x)\Vert$  für alle  $x^{\prime }\in T$  gilt. Daher ist in diesem Fall das Supremum stets eine reelle Zahl, und stimmt mit dem Maximum überein. Man spricht daher auch von der Maximumsnorm.

Satz Satz 53.1 ändern

Es sei  $T\subseteq {ℝ}^k$  eine kompakte Teilmenge, es sei $E$ ein euklidischer Vektorraum und es sei  $C=C(T,E)$  der Vektorraum der stetigen Abbildungen von $T$ nach $E$.

Dann ist $C$, versehen mit der Maximumsnorm, ein vollständiger metrischer Raum.

Beweis

Es sei

$f_n:T⟶E$

eine Cauchy-Folge von stetigen Abbildungen. Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine Grenzabbildung konvergiert, die ebenfalls stetig ist. Zu jedem  $ϵ>0$  gibt es ein  $n_0\in \mathbb{N}$  derart, dass für  $n,m\ge n_0$  die Beziehung

$\Vert f_n(x)-f_m(x)\Vert \le ϵ$

für alle  $x\in T$  gilt. Daher ist für jedes  $x\in T$  die Folge ${(f_n(x))}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge in $E$ und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in $E$. Wir nennen den Grenzwert dieser Folge $f(x)$, sodass sich insgesamt eine Grenzabbildung

$f:T⟶E,x⟼f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{f}_n(x),$

ergibt, gegen die die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Da ${\left(f_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen  $ϵ>0$  stets ein $n_0$ derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle  $x\in T$  gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar gleichmäßig gegen $f$ (und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm). Aufgrund von Lemma 26.4 ist daher $f$ stetig und daher ist  $f\in C$. 

$◻$

Integration von stetigen Wegen

Für eine stetige Kurve

$g:I⟶V$

in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum definieren wir für $a,b\in I$ das Integral ${\int }_a^{b}g(s)ds$ komponentenweise, d.h. man wählt eine Basis $v_1,\dots ,v_n$ von $V$ und drückt die stetige Kurve durch ihre Komponentenfunktionen $g_1,\dots ,g_n$ aus. Dann setzt man

${\int }_a^{b}g(s)ds:=({\int }_a^b{g}_1(s)ds)v_1+\cdots +({\int }_a^b{g}_n(s)ds)v_n.$

Das Ergebnis ist ein Vektor in $V$, der unabhängig von der gewählten Basis ist. Wenn man die untere Intervallgrenze $a$ fixiert und die obere Intervallgrenze $b=t$ variiert, so bekommt man eine Integralkurve

$I⟶V,t⟼{\int }_a^{t}g(s)ds.$

Diese Integralkurve kann man wieder ableiten und erhält die Ausgangskurve zurück, d.h. es gilt wieder der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung.

Es gilt die folgende Integralabschätzung.

Satz Satz 53.2 ändern

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und

$g:[a,b]⟶V$

eine stetige Abbildung.

Dann gilt

$\Vert {\int }_a^{b}g(t)dt\Vert \le {\int }_a^b\Vert g(t)\Vert dt.$

Beweis

Wenn  ${\int }_a^{b}g(t)dt=0$  ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei also

${\int }_a^{b}g(t)dt=v\ne 0.$

Es sei  $u_1:=\frac{v}{\Vert v\Vert }$.  Das ergänzen wir zu einer Orthonormalbasis $u_1,u_2,\dots ,u_n$ von $V$. Es seien $g_1,g_2,\dots ,g_n$ die Koordinatenfunktionen von $g$ bezüglich dieser Basis. Dann besteht aufgrund unserer Basiswahl die Beziehung

$\begin{array}{cc}v& ={\int }_a^{b}g(t)dt\\ & =({\int }_a^b{g}_1(t)dt)u_1+\cdots +({\int }_a^b{g}_n(t)dt)u_n\\ & =({\int }_a^b{g}_1(t)dt)u_1,\end{array}$

da ja $v$ ein Vielfaches von $u_1$ ist und somit die anderen Koeffizienten gleich $0$ sind. Daher ist

$\begin{array}{cc}\Vert {\int }_a^{b}g(t)dt\Vert & =|{\int }_a^b{g}_1(t)dt|\\ & \le {\int }_a^b|g_1(t)|dt\\ & \le {\int }_a^b\sqrt{(g_1(t){)}^2+\cdots +(g_n(t){)}^2}dt\\ & ={\int }_a^b\Vert g_1(t)u_1+\cdots +g_n(t)u_n\Vert dt\\ & ={\int }_a^b\Vert g(t)\Vert dt.\end{array}$

$◻$

Differential- und Integralgleichungen

Mit dem Begriff des Integrals einer Kurve kann man Differentialgleichungen auch als Integralgleichungen schreiben.

Lemma Lemma 53.3 ändern

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  $I\subseteq ℝ$  ein reelles Intervall,  $U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f:I\times U⟶V,(t,v)⟼f(t,v),$

ein stetiges Vektorfeld auf $U$. Es sei  $(t_0,w)\in I\times U$  vorgegeben.

Dann ist eine stetige Abbildung

$v:J⟶U,t⟼v(t),$

auf einem Intervall  $J\subseteq I$  mit  $t_0\in J$  genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems  (insbesondere muss $v$ differenzierbar sein)

$v^{\prime }=f(t,v)\text{ und }v(t_0)=w,$

wenn $v$ die Integralgleichung

$v(t)=w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,v(s))ds$

erfüllt.

Beweis

Es sei die Integralbedingung erfüllt. Dann ist

$v(t_0)=w$

und aufgrund des Hauptsatzes der Infinitesimalrechnung gilt  $v^{\prime }(t)=f(t,v(t))$.  Insbesondere sichert die Integralbedingung, dass $v$ differenzierbar ist.
Wenn umgekehrt $v$ eine Lösung des Anfangswertproblems ist, so ist  $v^{\prime }(s)=f(s,v(s))$  und daher

$w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,v(s))ds=w+{\int }_{t_0}^t{v}^{\prime }(s)ds=w+v(t)-v(t_0)=v(t).$

$◻$

Der Satz von Picard-Lindelöf

Wir kommen nun zum wichtigsten Existenz- und Eindeutigkeitssatz für die Lösungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen.

Satz Satz 53.4 ändern

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum,  $I\subseteq ℝ$  ein reelles Intervall,  $U\subseteq V$  eine offene Menge und

$f:I\times U⟶V,(t,v)⟼f(t,v),$

ein Vektorfeld auf $U$. Es sei vorausgesetzt, dass dieses Vektorfeld stetig sei und lokal einer Lipschitz-Bedingung genüge.

Dann gibt es zu jedem  $(t_0,w)\in I\times U$  ein offenes Intervall $J$ mit $t_0\in J\subseteq I$ derart, dass auf diesem Intervall eine eindeutige Lösung für das Anfangswertproblem

$v^{\prime }=f(t,v)\text{ und }v(t_0)=w$

existiert.

Beweis

Nach Lemma 53.3 ist eine stetige Abbildung

$v:J⟶V$

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems, wenn $v$ die Integralgleichung

$v(t)=w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,v(s))ds$

erfüllt. Wir wollen die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung für diese Integralgleichung unter Verwendung des Banachschen Fixpunktsatzes dadurch erweisen, dass wir für die Abbildung (man spricht von einem Funktional)

$\psi ⟼(t\mapsto w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,\psi (s))ds)$

einen Fixpunkt finden. Hierbei stehen links und rechts Abbildungen in $t$ (aus einem gewissen Teilintervall von $I$ mit Werten in $V$). Die Fixpunkteigenschaft  $H(\psi )=\psi$  bedeutet gerade, dass  $\psi (t)=w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,\psi (s))ds$  ist. Um den Fixpunktsatz anwenden zu können, müssen wir ein Definitionsintervall festlegen, und eine Metrik auf dem Abbildungsraum nach $V$ definieren, diesen metrischen Raum dann als vollständig und das Funktional als stark kontrahierend nachweisen. Aufgrund der Voraussetzung über die lokale Lipschitz-Bedingung gibt es eine offene Umgebung

$(t_0,w)\in J^{\prime }\times U(w,ϵ)\subseteq I\times U$

und ein  $L\in {ℝ}_{\ge 0}$  mit

$\Vert f(t,v)-f(t,\tilde{v})\Vert \le L\Vert v-\tilde{v}\Vert$

für alle $t\in J^{\prime }$ und $v,\tilde{v}\in U(w,ϵ)$. Durch Verkleinern der Radien können wir annehmen, dass der Abschluss von $J^{\prime }\times U(w,ϵ)$, also das Produkt des abgeschlossenen Intervalls mit der abgeschlossenen Kugel, ebenfalls in $I\times U$ liegt. Aufgrund von Satz 22.7 gibt es ein  $M\in {ℝ}_{+}$  mit

$\Vert f(t,v)\Vert \le M\text{ für alle }(t,v)\in J^{\prime }\times U(w,ϵ)$

(da diese Beschränktheit auf dem Abschluss gilt). Wir ersetzen nun $J^{\prime }$ durch ein kleineres Intervall

$J=[t_0-\delta ,t_0+\delta ]\subseteq J^{\prime }$

mit  $\delta >0$,   $\delta \le ϵ/M$  und  $\delta \le 1/(2L)$. 
Wir betrachten nun die Menge der stetigen Abbildungen

$\begin{array}{cc}C& =\{\psi :J\to V\mid \psi \text{ stetig},\Vert \psi (t)-w\Vert \le ϵ\text{ für alle }t\in J\}\\ & =\{\psi :J\to V\mid \psi \text{ stetig},\Vert \psi -w\Vert \le ϵ\}.\end{array}$

Dabei wird also $C$ mit der Maximumsnorm auf $J$ versehen. Dieser Raum ist nach Satz 53.1 und nach Aufgabe 49.12 wieder ein vollständiger metrischer Raum.
Wir betrachten nun auf diesem konstruierten Intervall $J$ bzw. der zugehörigen Menge $C$ die Abbildung

$H:C⟶C,\psi ⟼H(\psi )=(t\mapsto w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,\psi (s))ds).$

Dazu müssen wir zunächst zeigen, dass $H(\psi )$ wieder zu $C$ gehört. Für  $t\in J$  ist aber nach Satz 53.2

$\begin{array}{cc}\Vert H(\psi )(t)-w\Vert & =\Vert {\int }_{t_0}^{t}f(s,\psi (s))ds\Vert \\ & \le |{\int }_{t_0}^t\Vert f(s,\psi (s))\Vert ds|\\ & \le |t-t_0|M\\ & \le \frac{ϵ}{M}M\\ & =ϵ,\end{array}$

und $H(\psi )$ ist stetig, da es durch ein Integral definiert wird.
Zum Nachweis der Kontraktionseigenschaft seien  ${\psi }_1,{\psi }_2\in C$  gegeben. Für ein  $t\in J$  ist

$\begin{array}{cc}\Vert H({\psi }_1)(t)-H({\psi }_2)(t)\Vert & =\Vert {\int }_{t_0}^{t}f(s,{\psi }_1(s))ds-{\int }_{t_0}^{t}f(s,{\psi }_2(s))ds\Vert \\ & =\Vert {\int }_{t_0}^t(f(s,{\psi }_1(s))-f(s,{\psi }_2(s)))ds\Vert \\ & \le |{\int }_{t_0}^t\Vert f(s,{\psi }_1(s))-f(s,{\psi }_2(s))\Vert ds|\\ & \le |{\int }_{t_0}^{t}L\Vert {\psi }_1(s)-{\psi }_2(s)\Vert ds|\\ & =L\cdot |{\int }_{t_0}^t\Vert {\psi }_1(s)-{\psi }_2(s)\Vert ds|\\ & \le L\cdot |{\int }_{t_0}^t\Vert {\psi }_1-{\psi }_2\Vert ds|\\ & \le L|t-t_0|\cdot \Vert {\psi }_1-{\psi }_2\Vert \\ & \le \frac{1}{2}\Vert {\psi }_1-{\psi }_2\Vert .\end{array}$

Da dies für jedes  $t\in J$  gilt, folgt aus dieser Abschätzung direkt

$\Vert H({\psi }_1)-H({\psi }_2)\Vert \le \frac{1}{2}\Vert {\psi }_1-{\psi }_2\Vert ,$

d.h. es liegt eine starke Kontraktion vor. Daher besitzt $H$ ein eindeutiges Fixelement  $\psi \in C$,  und diese Abbildung löst die Differentialgleichung. Dies gilt dann erst recht auf jedem offenen Teilintervall von $J$.
Damit haben wir insbesondere bewiesen, dass es in $C$ nur eine Lösung geben kann, wir wollen aber generell auf dem Intervall $J$ Eindeutigkeit erhalten. Für eine Lösung $v:J\to V$ gilt aber wegen der Integralbeziehung wieder

$v(t)=w+{\int }_{t_0}^{t}f(s,v(s))ds$

und die gleichen Abschätzungen wie weiter oben zeigen, dass die Lösung zu $C$ gehören muss.

$◻$

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