Lösung
- Eine Differentialgleichung der Form
-
mit Funktionen
(dabei sind
und
reelle Intervalle)
-
und
-
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
- Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum
-
- Ein Vektor
mit
-
heißt lichtartig.
- Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von in Richtung existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung existiert und davon die
Richtungsableitung
in Richtung existiert.
- Man sagt, dass in einem Punkt
ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein
derart gibt, dass für alle
mit und
die Abschätzung
-
gilt.
- Der Subgraph ist
-
Formuliere die folgenden Sätze.
- Das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.
- Der Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.
- Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus
.
Lösung
- Es sei
-
eine
inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung
mit
stetigen Funktionen
.
Es sei eine
Stammfunktion
von und es sei
-
eine
Lösung
der zugehörigen
homogenen linearen Differentialgleichung.
Dann sind die Lösungen
(auf )
der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen
-
wobei eine Stammfunktion zu ist.
- Es sei
eine
offene Teilmenge,
-
ein
stetiges Vektorfeld
und
-
eine
stetig differenzierbare Kurve.
Es sei
-
eine
bijektive,
monoton wachsende,
stetig differenzierbare Funktion
und sei
.
Dann gilt
-
- Für eine kompakte Teilmenge
ist
-
Finde die Lösung für das
Anfangswertproblem
-
für
mit der Anfangsbedingung
.
Lösung
Es handelt sich um eine zeitunabhängige eindimensionale Differentialgleichung, die mit dem Ansatz für getrente Variablen gelöst werden kann. Es ist
-
eine Stammfunktion davon ist
-
Dafür müssen wir die Umkehrfunktion bestimmen. Der Ansatz
-
führt auf
-
und auf
-
also
-
Die Lösungsfunktionen haben daher die Form
-
wobei die Anfangsbedingung
-
über
-
die Konstante
festlegt. Die Lösung des Anfangswertproblems ist also
-
Beweise den Satz, dass eine Linearform auf einem euklidischen Vektorraum einen eindeutigen Gradienten besitzt.
Lösung
Die Aussage folgt aus dem Zusatz. Es sei also eine Orthonormalbasis gegeben und sei
.
Dann ist für jedes
-
D.h. die beiden linearen Abbildungen und stimmen auf einer
Basis
überein, sind also nach
Satz 24.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
identisch. Für jeden anderen Vektor
ist der Wert der zugehörigen Linearform an mindestens einem Basisvektor
von
verschieden, daher liegt Eindeutigkeit vor.
Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.
a) Zeige, dass auf durch
-
eine
Metrik
definiert wird.
b) Bestimme zu und den Abstand .
c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.
Lösung
a) Die Anzahl ist stets eine nichtnegative Zahl. Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn jede ihrer Komponenten übereinstimmt. Dies ist genau dann der Fall, wenn ist. Da die (Un-)gleichheit symmetrisch ist, ist . Zum Beweis der Dreiecksungleichung seien vorgegeben. Wenn und in der -ten Komponente nicht übereinstimmen, so ist oder . Es ist also
-
und daher
b) Die beiden Tupel
und
unterscheiden sich an der ersten und der vierten Stelle, also ist der Abstand .
c) Die Werte der Metrik sind ganzzahlig, und in der offenen Ballumgebung mit Radius liegen die Elemente, die vom Mittelpunkt einen Abstand haben. Der Abstand zum Mittelpunkt muss also
oder
sein. Die Elemente darin sind daher
-
Bestimme die Ableitung der Kurve
-
Lösung
Die Ableitung ist
Lösung
Wir machen den Ansatz
-
wobei sich die ersten beiden Koeffizienten aus den Anfangsbedingungen ergeben. Es ist also noch
und
zu bestimmen. Die linke Seite der Gleichung ist
-
Von der rechten Seite müssen wir also die Koeffizienten zu ausrechnen, um drei Gleichungen zu bekommen. Zur Auswertung des Nenners verwenden wir
-
Daher gilt mit
die Beziehung
-
Wenn man darin für die Potenzreihe einsetzt, erhält man
Somit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gleich
Somit ist
(rechts ist der Koeffizient zu gleich )
-
aus
-
folgt
-
aus
-
folgt
-
Der Anfang der Potenzreihe ist also
-
Löse das
lineare Anfangswertproblem
-
Lösung
Aus der zweiten Zeile folgt sofort
-
wobei die Anfangsbedingung
durch
erfüllt wird. Für ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,
-
Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen . Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz
-
ergibt sich die Bedingung
-
Also ist
mit einer Konstanten
.
Aus
-
folgt
.
Die Lösung ist also
-
Eine symmetrische Bilinearform auf dem werde bezüglich der Standardbasis durch die Gramsche Matrix
-
beschrieben. Berechne
.
Lösung
Es ist
Wir betrachten die Abbildung
-
(es ist also ).
a) Berechne die
partiellen Ableitungen
von und stelle den
Gradienten
zu auf.
b) Bestimme die
isolierten
lokalen Extrema
von .
Lösung
a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind
-
-
und
-
Der Gradient zu in einem Punkt ist demnach der Vektor
-
b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls und wegen folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert , sodass es kein isoliertes Extremum gibt.
Man gebe für jedes eine bijektive,
total differenzierbare
Abbildung
-
an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht
regulär
ist.
Lösung
Für ist die Abbildung
-
bijektiv
(mit der Umkehrfunktion ).
Für ein betrachten wir die Abbildung
-
Dies ist eine polynomiale Abbildung, sodass das totale Differential durch die Jacobi-Matrix, also durch
-
gegeben ist. Für ist diese Matrix nicht invertierbar, da ihre Determinante ist, und die Abbildung ist für diese Punkte nicht regulär. Dennoch ist die Abbildung bijektiv, die Umkehrabbildung wird durch
-
gegeben.
Lösung
Die nullte Iteration ist die konstante Funktion
-
Die erste Iteration ist
Die zweite Iteration ist
Die dritte Iteration ist
Lösung
Es sei
-
ein Potential zu , also eine differenzierbare Funktion, deren Gradientenfeld gleich ist. Wir zeigen, dass sogar die zusammengesetzte Abbildung
-
injektiv ist. Aufgrund der Kettenregel ist die Ableitung dieser Abbildung gleich
-
Nach
[[Gradientenfeld/Lösungen der DG/Senkrecht auf Tangentialraum/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Gradientenfeld/Lösungen der DG/Senkrecht auf Tangentialraum/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
steht
senkrecht auf dem Tangentialraum zu im Punkt . Insbesondere gehört nicht zum Tangentialraum
(da das Skalarprodukt positiv definit ist),
also nicht zum Kern von . Daher ist
-
D.h. dass keine Nullstelle besitzt und daher ist nach
Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))
streng wachsend oder streng fallend, also injektiv.
Lösung
Es sei die Breite des Papiers
(alles in Zentimetern).
Das Volumen des aufgewickelten Papiers ist
-
Die unbekannte Dicke sei . Das abgewickelte Klopapier bilden einen Quader mit dem gleichen Volumen, also
-
Somit ist
-
Die Dicke ist also ungefähr ein halber Millimeter.
Beweise die Volumenformel für einen Kegel über einer kompakten Basis
.
Lösung
Der Durchschnitt von
mit der durch
,
zwischen
und ,
gegebenen
Hyperebene
ist
-
Wegen der
Translationsinvarianz
und
[[Kompakte Teilmenge/Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Streckung/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Kompakte Teilmenge/Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Streckung/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
ist dessen Volumen gleich . Nach
dem Cavalieri-Prinzip
ist also
(mit
)