Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/6/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 6 4 6 3 6 4 2 5 4 4 5 3 6 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.
  2. Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum in einem euklidischen Vektorraum .
  3. Ein lichtartiger Vektor in einem Minkowski-Raum.
  4. Eine höhere Richtungsableitung zu einer Abbildung

    wobei endlichdimensionale reelle Vektorräume sind, bezüglich der Richtungen .

  5. Ein isoliertes lokales Maximum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum .

  6. Der Subgraph zu einer Funktion auf einer Menge .


Lösung

  1. Eine Differentialgleichung der Form

    mit Funktionen (dabei sind und reelle Intervalle)

    und

    heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.

  2. Unter dem orthogonalen Komplement versteht man den Untervektorraum
  3. Ein Vektor mit

    heißt lichtartig.

  4. Man sagt, dass die höhere Richtungsableitung von in Richtung existiert, wenn die höhere Richtungsableitung in Richtung existiert und davon die Richtungsableitung in Richtung existiert.
  5. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit  und die Abschätzung

    gilt.

  6. Der Subgraph ist


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lösungsverfahren für inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichungen in einer Variablen.
  2. Der Satz über Wegintegrale bei einer Umparametrisierung.
  3. Die Transformationsformel für Volumina zu einem Diffeomorphismus .


Lösung

  1. Es sei

    eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit stetigen Funktionen . Es sei eine Stammfunktion von und es sei

    eine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung. Dann sind die Lösungen (auf ) der inhomogenen Differentialgleichung genau die Funktionen

    wobei eine Stammfunktion zu ist.
  2. Es sei eine offene Teilmenge,

    ein stetiges Vektorfeld und

    eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

    eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei . Dann gilt

  3. Für eine kompakte Teilmenge ist


Aufgabe (6 Punkte)

Finde die Lösung für das Anfangswertproblem

für mit der Anfangsbedingung .


Lösung

Es handelt sich um eine zeitunabhängige eindimensionale Differentialgleichung, die mit dem Ansatz für getrente Variablen gelöst werden kann. Es ist

eine Stammfunktion davon ist

Dafür müssen wir die Umkehrfunktion bestimmen. Der Ansatz

führt auf

und auf

also

Die Lösungsfunktionen haben daher die Form

wobei die Anfangsbedingung

über

die Konstante festlegt. Die Lösung des Anfangswertproblems ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz, dass eine Linearform auf einem euklidischen Vektorraum einen eindeutigen Gradienten besitzt.


Lösung

Die Aussage folgt aus dem Zusatz. Sei also eine Orthonormalbasis gegeben und sei . Dann ist für jedes

D.h. die beiden linearen Abbildungen und stimmen auf einer Basis überein, sind also nach Satz 24.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) identisch. Für jeden anderen Vektor ist der Wert der zugehörigen Linearform an mindestens einem Basisvektor von verschieden, daher liegt Eindeutigkeit vor.


Aufgabe (6 (3+1+2) Punkte)

Es sei eine nichtleere Menge, und das -fache Produkt der Menge mit sich selbst.

a) Zeige, dass auf durch

eine Metrik definiert wird.

b) Bestimme zu und den Abstand .

c) Liste für und alle Elemente aus der offenen Kugel auf.


Lösung

a) Die Anzahl ist stets eine nichtnegative Zahl. Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn jede ihrer Komponenten übereinstimmt. Dies ist genau dann der Fall, wenn ist. Da die (Un-)gleichheit symmetrisch ist, ist . Zum Beweis der Dreiecksungleichung seien vorgegeben. Wenn und in der -ten Komponente nicht übereinstimmen, so ist oder . Es ist also

und daher

b) Die beiden Tupel und unterscheiden sich an der ersten und der vierten Stelle, also ist der Abstand .

c) Die Werte der Metrik sind ganzzahlig, und in der offenen Ballumgebung mit Radius liegen die Elemente, die vom Mittelpunkt einen Abstand haben. Der Abstand zum Mittelpunkt muss also oder sein. Die Elemente darin sind daher


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kurve


Lösung

Die Ableitung ist


Aufgabe (6 Punkte)

Löse mit einem Potenzreihenansatz das Anfangswertproblem

mit und bis zur Ordnung . Dabei ist eine Konstante.


Lösung

Wir machen den Ansatz

wobei sich die ersten beiden Koeffizienten aus den Anfangsbedingungen ergeben. Es ist also noch und zu bestimmen. Die linke Seite der Gleichung ist

Von der rechten Seite müssen wir also die Koeffizienten zu ausrechnen, um drei Gleichungen zu bekommen. Zur Auswertung des Nenners verwenden wir

Daher gilt mit die Beziehung

Wenn man darin für die Potenzreihe einsetzt, erhält man

Somit ist die rechte Seite der Differentialgleichung gleich

Somit ist (rechts ist der Koeffizient zu gleich )

aus

folgt

aus

folgt

Der Anfang der Potenzreihe ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das lineare Anfangswertproblem


Lösung

Aus der zweiten Zeile folgt sofort

wobei die Anfangsbedingung durch erfüllt wird. Für ergibt sich daraus die inhomogene lineare Differentialgleichung in einer Variablen,

Die zugehörige homogene lineare Gleichung besitzt die Lösungen . Mittels Variation der Konstanten, also dem Ansatz

ergibt sich die Bedingung

Also ist mit einer Konstanten . Aus

folgt . Die Lösung ist also


Aufgabe (2 Punkte)

Eine symmetrische Bilinearform auf dem werde bezüglich der Standardbasis durch die Gramsche Matrix

beschrieben. Berechne .


Lösung

Es ist


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

(es ist also ).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .


Lösung

a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind

und

Der Gradient zu in einem Punkt ist demnach der Vektor

b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls und wegen folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert , so dass es kein isoliertes Extremum gibt.


Aufgabe (4 Punkte)

Man gebe für jedes eine bijektive, total differenzierbare Abbildung

an, für die das totale Differential in mindestens einem Punkt nicht regulär ist.


Lösung

Für ist die Abbildung

bijektiv (mit der Umkehrfunktion ). Für ein betrachten wir die Abbildung

Dies ist eine polynomiale Abbildung, so dass das totale Differential durch die Jacobi-Matrix, also durch

gegeben ist. Für ist diese Matrix nicht invertierbar, da ihre Determinante ist, und die Abbildung ist für diese Punkte nicht regulär. Dennoch ist die Abbildung bijektiv, die Umkehrabbildung wird durch

gegeben.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die ersten drei Iterationen in der Picard-Lindelöf-Iteration für die lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

mit der Anfangsbedingung und .


Lösung

Die nullte Iteration ist die konstante Funktion

Die erste Iteration ist

Die zweite Iteration ist

Die dritte Iteration ist


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

ein Gradientenfeld und sei

( ein offenes Intervall) eine Lösung der zugehörigen Differentialgleichung . Es gelte für alle . Zeige, dass injektiv ist.


Lösung

Es sei

ein Potential zu , also eine differenzierbare Funktion, deren Gradientenfeld gleich ist. Wir zeigen, dass sogar die zusammengesetzte Abbildung

injektiv ist. Aufgrund der Kettenregel ist die Ableitung dieser Abbildung gleich

Nach Lemma 57.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) steht senkrecht auf dem Tangentialraum zu im Punkt . Insbesondere gehört nicht zum Tangentialraum (da das Skalarprodukt positiv definit ist), also nicht zum Kern von . Daher ist

D.h. dass keine Nullstelle besitzt und daher ist nach Satz 15.7 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) streng wachsend oder streng fallend, also injektiv.


Aufgabe (3 Punkte)

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von cm und einen inneren Durchmesser von cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von Metern. Wie dick ist das Klopapier?


Lösung

Es sei die Breite des Papiers (alles in Zentimetern). Das Volumen des aufgewickelten Papiers ist

Die unbekannte Dicke sei . Das abgewickelte Klopapier bilden einen Quader mit dem gleichen Volumen, also

Somit ist

Die Dicke ist also ungefähr ein halber Millimeter.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Volumenformel für einen Kegel über einer kompakten Basis .


Lösung

Der Durchschnitt von mit der durch , zwischen und , gegebenen Hyperebene ist

Wegen der Translationsinvarianz und Korollar 58.10 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) ist dessen Volumen gleich . Nach dem Cavalieri-Prinzip ist also (mit )