Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 26/kontrolle

Wir besprechen zuerst algebraische Automorphismen des affinen Raumes und Äquivalenzkonzepte für polynomiale Funktionen und Varietäten. Diese sind sehr viel starrer als die entsprechenden holomorphen Konzepte.

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Man gebe ein Beispiel für eine bijektive polynomiale Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1},$

deren Umkehrabbildung nicht polynomial ist.

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Zeige, dass ein ${}K$- Algebraautomorphismus

$\varphi \colon K[X]\longrightarrow K[X]$

durch ${}X\mapsto aX+b$ mit ${}a\neq 0$ gegeben ist (also durch eine affin-lineare Variablentransformation).

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Es sei ${}F\in K[X]$ ein Polynom. Zeige, dass die Abbildung

${\mathbb {A} }_{K}^{2}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,(x,y)\longmapsto (x,y+F(x)),$

ein Automorphismus des affinen Raumes ist. Bestimme explizit eine Umkehrabbildung.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Umkehrabbildung zur Abbildung

$\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y^{2},-y^{4}-2xy^{2}-x^{2}+y^{2}+x+y).$

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Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X,Y]$ der Polynomring über ${}K$ in zwei Variablen. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom in der einen Variablen ${}X$. Zeige, dass durch die Einsetzung ${}X\mapsto X$ und ${}Y\mapsto Y+P(X)$ ein ${}K$- Algebraautomorphismus von ${}K[X,Y]$ in sich definiert wird, der im Allgemeinen nicht linear ist.

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Es sei

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{\mathbb {C} }^{n}}$

ein Automorphismus des affinen Raumes. Zeige, dass die Jacobi-Determinante konstant gleich einem ${}c\neq 0$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Betrachte

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},\,(x,y,z)\longmapsto (x-2(xz+y^{2})y-(xz+y^{2})^{2}z,y+(xz+y^{2})z,z).$

Zeige, dass ${}\varphi$ ein Automorphismus ist, der ${}y^{2}+xz$ auf sich selbst abbildet.

Wir notieren zwei Definitionen, die algebraische Versionen der Rechtsäquivalenz sind.

Zwei Polynome

${}F,G\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\,$

heißen algebraisch rechtsäquivalent, wenn es einen polynomialen Automorphismus

$\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$

mit ${}F=G\circ \varphi$ gibt.

Es sei ${}P\in U\subseteq V$ ein Punkt einer Varietät und

$f_{1},f_{2}\colon U\longrightarrow K$

rationale Funktionen auf ${}V$, die in einer offenen Umgebung ${}U$ von ${}P$ definiert seien. Man sagt, dass ${}f_{1}$ zu ${}f_{2}$ rational rechtsäquivalent ist, wenn es offene Mengen ${}P\in V_{1}$ und ${}P\in V_{2}$ und einen Isomorphismus

$\varphi \colon V_{1}\longrightarrow V_{2}$

mit

${}f_{1}=\varphi \circ f_{2}\,$

gibt.

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Es sei ${}P=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}$ ein lineares Polynom ${}\neq 0$. Zeige, dass ${}X_{1}$ und ${}P$ zueinander algebraisch rechtsäquivalent sind.

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Es sei ${}P$ ein Polynom in den Variablen ${}X_{2},\ldots ,X_{n}$. Zeige, dass ${}X_{1}$ und ${}X_{1}-P$ zueinander algebraisch rechtsäquivalent sind.

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Zeige, dass das Polynom ${}X^{n}-Y^{2}$, ${}n\geq 2$, nicht algebraisch rechtsäquivalent zur Variablen ${}X$ ist.

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Zeige, dass die beiden Polynome ${}X$ und ${}X(X+1)$ nicht zueinander rational rechtsäquivalent sind.

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Zeige, dass das Polynom ${}X^{3}+Y^{3}-1$ nicht rational rechtsäquivalent zur Variablen ${}X$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Polynom ${}X^{3}-Y^{2}$ nicht rational rechtsäquivalent zur Variablen ${}X$ ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}F\in K(X_{1},\ldots ,X_{n})$ eine rationale Funktion. Zeige, dass ${}F$ genau dann rational rechtsäquivalent zur Variablen ${}X$ ist, wenn es rationale Funktionen ${}F_{2},\ldots ,F_{n}$ derart gibt, dass die Körpergleichheit

${}K(F,F_{2},\ldots ,F_{n})=K(X_{1},\ldots ,X_{n})\,$

gilt.

Die folgende Definition orientiert sich an den Nullstellenmengen, nicht an den Funktionen selbst.

Zwei affin-algebraische Mengen ${}V,{\tilde {V}}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ heißen affin-algebraisch äquivalent, wenn es einen Automorphismus des affinen Raumes ${}\varphi \colon {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\rightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ mit

${}\varphi ^{-1}(V)={\tilde {V}}\,$

gibt.

Die folgende Aussage ist analog zu Lemma 26.3.

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Es seien

${}V,{\tilde {V}}\subset {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,$

zueinander affin-algebraisch äquivalente affin-algebraische Mengen mit den Verschwindungsidealen ${}\operatorname {Id} \,(V)$ und ${}\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$. Zeige, dass dann die Restklassenringe ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,(V)$ und ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\operatorname {Id} \,({\tilde {V}})$ zueinander isomorph sind.

In den folgenden Aufgaben wird verwendet, dass man eine Gleichung in den Variablen ${}x,y,z$ birational trasformieren kann, indem man ${}x=x'z$ und ${}y=y'z$ setzt und die Gleichung in den neuen Variablen ${}x',y',z$ schreibt. Damit kann man zeigen, dass die ADE-Singularitäten birational zur affinen Ebene sind, dass also ihre Funktionenkörper gleich ${}K(u,v)$.

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Zeige, dass die ${}D_{k}$-Singularitäten ${}Z^{2}+X^{2}Y+Y^{k-1}$ (${}k\geq 4$) birational zu ${}Z^{2}+X^{2}Y+Y^{k-3}$ sind (die bei ${}k\geq 6$ wieder Diedersingularitäten sind). Zeige, dass ${}Z^{2}+X^{2}Y+Y^{1}$ birational zur affinen Ebene ist und dass ${}Z^{2}+X^{2}Y+Y^{2}$ birational zu ${}Z^{2}+XY+Y^{2}$ und damit ebenfalls birational zur affinen Ebene ist.

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Zeige, dass die ${}E_{6}$-Singularität ${}X^{2}+Y^{3}+Z^{4}$ birational zu ${}X^{2}+Y^{3}Z+Z^{2}$, zu ${}X^{2}+YZ+Z^{2}$, zur ${}A1$-Singularität und damit zur affinen Ebene ist.

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Zeige, dass die ${}E_{7}$-Singularität ${}Z^{2}+X^{3}+XY^{3}$ birational zu ${}Z^{2}+X^{3}Y+XY^{2}$, zu ${}Z^{2}+X^{2}Y+XY^{2}$, zu ${}Z^{2}+XY+XY^{2}$ und zu ${}Z^{2}+Y+XY^{2}$ ist, und damit auch birational zur affinen Ebene ist.

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Zeige, dass die ${}E_{8}$-Singularität ${}X^{2}+Y^{3}+Z^{5}$ birational zu ${}X^{2}+Y^{3}Z+Z^{3}$, zu ${}X^{2}+Y^{2}Z+YZ^{3}$, zu ${}X^{2}+Y^{2}Z+YZ^{2}$ und zu ${}X^{2}+YZ+YZ^{2}$ ist, und damit auch birational zur affinen Ebene ist.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass die rationalen Funktionen (in den zwei Variablen ${}U$ und ${}V$)

${}P={\frac {-U^{15}}{(1+V)^{7}V^{3}}}\,,$

${}Q={\frac {-U^{10}}{(1+V)^{5}V^{2}}}\,$

und

${}R={\frac {-U^{6}}{(1+V)^{3}V}}\,$

die Relation

${}P^{2}+Q^{3}+R^{5}=0\,$

erfüllen.

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1. Zeige, dass die Singularität ${}X^{2}+Y^{3}+Z^{6}$ birational zu ${}X^{2}+Y^{3}Z+Z^{4}$ und zu ${}X^{2}+Y^{3}Z^{2}+Z^{2}$ ist.
2. Zeige, dass der Quotientenkörper von ${}K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}Z^{2}+Z^{2}\right)}$ isomorph zu ${}{\left(K[U,Y]/{\left(U^{2}+Y^{3}+1\right)}\right)}(Z)$ ist.

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Zeige, dass die Rechtsäquivalenz zwischen holomorphen Funktionen in der Tat eine Äquivalenzrelation ist.

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Es seien ${}f,g\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ holomorphe Funktionen mit ${}0\in U\subseteq {\mathbb {C} }$ offen und mit ${}f(0)=g(0)=0$. Zeige, dass ${}f$ und ${}g$ genau dann rechtsäquivalent sind, wenn ihre Nullstellenordnung im Nullpunkt übereinstimmt.

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Zeige, dass die zweidimensionalen ADE-Singularitäten nicht untereinander rechtsäquivalent sind.

Bei einem Großteil kann man mit der Milnorzahl argumentieren, ansonsten verwende man die lokale Fundamentalgruppe.

Aufgabe * Aufgabe 26.25 ändern

Es seien ${}g_{1}\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ und ${}g_{2}\colon V'\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}0\in V,V'\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen, holomorphe Funktionen mit ${}g_{1},g_{2}\in {\mathfrak {m}}^{3}$ in den Variablen ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ bzw. ${}w_{1},\ldots ,w_{n}$ Es sei

$\varphi \colon U\times V\longrightarrow W$

eine biholomorphe Abbildung mit ${}U\subseteq {\mathbb {C} }^{k}$ und ${}W\subseteq {\mathbb {C} }^{k+n}$ offen und mit ${}\varphi (0)=0$ und mit

${}x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}+g_{1}={\left(z_{1}^{2}+\cdots +z_{k}^{2}+g_{2}\right)}\circ \varphi \,.$

Zeige, dass dann die ${}k\times k$- Untermatrix ${}{\left(\partial _{x_{i}}\varphi _{j}\right)}_{1\leq i,j\leq k}$ der Jacobi-Matrix zu ${}\varphi$ im Nullpunkt invertierbar ist.