Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 9

Aufgaben

Aufgabe

In einer Wand befinden sich zwei Nägel, an denen eine Halskette aufgehängt werden soll. Wie kann man die Kette aufhängen, dass, sobald man nur einen der Nägel herauszieht, die Kette herrunterfällt?

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x,y\in X$. Zeige, dass die Homotopie von Wegen eine Äquivalenzrelation auf der Menge der stetigen Wege von ${}x$ nach ${}y$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Zeige, dass die Verknüpfung von stetigen Wegen

$\gamma ,\delta \colon [0,1]\longrightarrow X$

durch Hintereinanderlegung zu einer wohldefinierten Verknüpfung auf den Homotopieklassen von Wegen führt.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x\in X$. Zeige, dass die Verknüpfung eines stetigen geschlossenen Weges ${}\gamma$ mit Aufpunkt ${}x$ mit dem konstanten Weg ${}x$ homotop zu ${}\gamma$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x,y\in X$. Es sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger Weg von ${}x$ nach ${}y$ und sei ${}\gamma ^{-1}$ der umgekehrt durchlaufene Weg, also ${}\gamma ^{-1}(t):=\gamma (1-t)$. Zeige, dass die Verknüpfung ${}\gamma \gamma ^{-1}$ homotop zum konstanten Weg ${}x$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}x\in X$. Zeige, dass die Verknüpfung von Homotopieklassen geschlossener Wege mit Aufpunkt ${}x$ assoziativ ist.

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und

$\gamma \colon S^{1}\longrightarrow X$

ein stetiger geschlossener Weg. Zeige, dass ${}\gamma$ genau dann nullhomotop ist, wenn es eine stetige Fortsetzung von ${}\gamma$ auf die abgeschlossene Kreisscheibe gibt.

Aufgabe

Zeige, dass der ${}\mathbb {R} ^{n}$ kontrahierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$. Zeige, dass die Zuordnung

$\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma$

eine wohldefinierte Abbildung auf der Menge der Homotopieklassen geschlossener Wege (mit Aufpunkt ${}x$ bzw. ${}y$) induziert.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und ${}x\in X$ mit ${}\varphi (x)=y$. Zeige, dass die Zuordnung

$\gamma \mapsto \varphi \circ \gamma$

zu einem Gruppenhomomorphismus

$\pi _{1}(X,x)\longrightarrow \pi _{1}(Y,y)$

führt.

Aufgabe

Zeige, dass bei ${}n\geq 3$ der ${}\mathbb {R} ^{n}\setminus \{P\}$ einfach zusammenhängend ist.

Aufgabe

Zeige explizit, dass der stetige Weg

$[0,2\pi ]\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}\setminus \{(0,0)\},\,s\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }s},\,1\right),$

nullhomotop ist.

Aufgabe

Bestimme die Fundamentalgruppe des reell-projektiven Raumes ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {R} }^{n}$.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

$\mathbb {R} \longrightarrow S^{1},\,t\longmapsto {\left(\cos t,\sin t\right)},$

eine Überlagerung ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Abbildung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }={\mathbb {C} }\setminus \{0\},\,z\longmapsto \exp z,$

eine Überlagerung ist.

Aufgabe

Sei ${}n\geq 2$ und ${}\xi$ eine ${}n$-te primitive komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Operation der Matrizen ${}\varphi _{j}={\begin{pmatrix}\xi ^{j}&0\\0&\xi ^{-j}\end{pmatrix}}$ auf dem ${}{\mathbb {C} }^{2}$. Es sei ${}P=(u,v)\neq (0,0)$. Bestimme einen Radius ${}r>0$ derart, dass die Bälle ${}U{\left(\varphi _{j}(P),r\right)}$ zu ${}j\neq 0$ zueinander disjunkt sind.

Aufgabe

Es sei

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z}$

ein Gruppenhomomorphismus und

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{\times }\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[T,T^{-1}]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }\cong {\left(\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[T,T^{-1}]\right)}\right)}_{\mathbb {C} }$

die zugehörige Spektrumsabbildung zwischen den Spektra der Monoidringe. Wie sieht die zugehörige Abbildung der Fundamentalgruppen aus?

Aufgabe

Bestimme die lokale Fundamentalgruppe der Kurven

${}V{\left(X^{a}-Y^{b}\right)}\subset {\mathbb {C} }^{2}\,$

zu ${}a,b$ teilerfremd.

Aufgabe

Es sei ${}R={\mathbb {C} }[T_{1},\ldots ,T_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine endlich erzeugte positiv-graduierte ${}{\mathbb {C} }$- Algebra und ${}X={\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ das ${}{\mathbb {C} }$- Spektrum von ${}R$. Es sei ${}S={\left\{z\in X\mid \Vert {z}\Vert =1\right\}}$ die „Sphäre“ von ${}X$ (bezüglich der gegebenen Einbettung). Zeige, dass es eine Homotopieäquivalenz zwischen ${}X\setminus \{0\}$ und ${}S$ gibt. Man folgere, dass die punktierte Fundamentalgruppe von ${}R$ gleich der Fundamentalgruppe von ${}S$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Kontraktion des ${}{\mathbb {C} }^{n}$, die von der Standardgraduierung auf dem Polynomring im Sinne von Lemma 9.5 herrührt.

Aufgabe

Bestimme die Kontraktion des ${}{\mathbb {C} }^{n}$, die von einer positiven Graduierung auf dem Polynomring im Sinne von Lemma 9.5 herrührt.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine endliche Gruppe, die auf dem ${}{\mathbb {C} }^{n}$ linear operiere. Es sei ${}S={\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$ der zugehörige Invariantenring. Zeige, dass der Bahnenraum ${}{\mathbb {C} }^{n}\backslash G$, versehen mit der Bildtopologie des (euklidischen) ${}{\mathbb {C} }^{n}$, mit dem ${}{\mathbb {C} }$-Spektrum ${}{\mathbb {C} }\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(S\right)}$, versehen mit der natürlichen Topologie, übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}k$ ein Teiler von ${}\ell$. Definiere eine Abbildung

$\varphi \colon V{\left(XY-Z^{k}\right)}\longrightarrow V{\left(XY-Z^{\ell }\right)}$

die mit den Quotientenabbildungen des ${}{\mathbb {C} }^{2}$ verträglich ist. Beschreibe die Abbildung der lokalen Fundamentalgruppen unter dieser Abbildung.

Aufgabe

Zeige, dass es zwischen verschiedenen ${}ADE$- Singularitäten keine Homöomorphien geben kann.

Folgere daraus, dass es auch keinen ${}{\mathbb {C} }$- Algebraisomorphismus zwischen den entsprechenden ${}{\mathbb {C} }$- Algebren geben kann.

Zur folgenden Aufgabe siehe auch Aufgabe 7.28.

Aufgabe

Es sei ${}G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!$ eine endliche Untergruppe mit der zugehörigen Operation auf einem offenen Ball ${}U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }^{2}$ und dem Quotienten

${}W=U/G\subseteq V={\mathbb {C} }^{2}/G\,.$

Zeige dass die Fundamentalgruppe von ${}W\setminus \{P\}$ (wobei ${}P$ den singulären Punkt des Quotienten bezeichnet) gleich ${}G$ ist.