Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 8

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Aufgabe

Zeige, dass der Quotient

für und gegen konvergiert.


Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und

eine

-graduierte -Algebra. Ein Ideal heißt homogen, wenn zu auch die homogenen Komponenten sind.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Es sei ein homogenes Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ebenfalls -graduiert ist.


Aufgabe

Es sei ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad . Zeige die Beziehung


In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte -Algebra. Ein -Automorphismus

heißt homogen, wenn für jedes homogene Element gilt .


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Zeige, dass der in Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) zu einem Charakter eingeführte Automorphismus

homogen ist.


Aufgabe

Es sei die Menge der stetigen geraden Funktionen und die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von nach . Zeige, dass

eine -graduierte -Algebra ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring mit , auf dem die Gruppe als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass man mit einer -Graduierung versehen kann derart, dass die neutrale Stufe der Invariantenring ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und eine -graduierte kommutative -Algebra. Es sei

ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter mit gibt, wobei der gemäß Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) zu gehörige Automorphismus ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper, eine kommutative Gruppe und ein Gruppenhomomorphismus mit der zugehörigen -Graduierung auf dem Polynomring . Zeige, dass der Unterring der neutralen Stufe ein Monoidring über ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und

ein Gruppenhomomorphismus. Bestimme die neutrale Stufe von zur Graduierung, die durch und gegeben ist.


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich mit und ein Element, das keine Quadratwurzel in besitze. Zeige, dass das Polynom irreduzibel ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und . Zeige, dass das Polynom

irreduzibel ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Ringe (mit ) genau in singulär sind.


Aufgabe

Zeige, dass die Ringe (mit ) genau in singulär sind.


Aufgabe

Zeige, dass der Ring genau in singulär ist.


Aufgabe

Bestimme den singulären Ort von .


Aufgabe

Zeige explizit, dass der Ring (also die Diedersingularität zu ) isomorph zu ist.


Aufgabe

Zeige direkt, dass die Polynome

invariant zur Operation der binären Diedergruppe auf sind, und bestimme eine Relation zwischen diesen Polynomen.


Aufgabe

Zeige, dass der Ring genau in singulär ist.


Aufgabe

Zeige, dass der Ring genau in singulär ist.


Aufgabe

Zeige, dass es auf den - und den -Singularitäten und auf der und der -Singularität glatte Kurven gibt, die durch den singulären Punkt laufen.


Aufgabe

Zeige, dass es einen injektiven Ringhomomorphismus

gibt.


Wir erinnern an einige weitere Graduierungsbegriffe.

Ein -graduierter Ring heißt positiv graduiert, wenn für alle ist.


Ein kommutativer -graduierter Ring heißt standard-graduiert, wenn er als -Algebra von der ersten Stufe endlich erzeugt wird.


In einem -graduierten Ring nennt man das irrelevante Ideal.


Aufgabe

Zeige, dass die Ringe der ADE-Singularitäten eine positive Graduierung besitzen. Man gebe diese jeweils an.


Wir erinnern an folgende Definition.


Zu einer Gruppe heißt die von allen Kommutatoren , , erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von . Sie wird mit bezeichnet.


Die Kommutatorgruppe ist nach Lemma 21.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein Normalteiler, die Restklassengruppe nennt man auch die Abelianisierung von .

Aufgabe

Bestimme zu den endlichen Untergruppen jeweils die Kommutatoruntergruppe und die Abelianisierung.


Aufgabe

Es sei eine Untergruppe, die zur Operation von auf dem Polynomring führt. Zeige, dass dies auch eine Operation von auf der Lokalisierung induziert, und dass isomorph zu ist, wobei bezeichnet.


Aufgabe

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen lokalen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass der Fixring ebenfalls lokal ist.


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