Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 8

Aufgabe

Zeige, dass der Quotient

$\frac{1-x_3}{x_1+x_2\mathrm{i}}$

für $x_1,x_2\to 0$ und

$x_3=\pm \sqrt{1-x_1^2-x_2^2}$

gegen $0$ konvergiert.

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $D$ eine kommutative Gruppe und

$A=\underset{d\in D}{⨁}{A}_d$

eine

$D$-graduierte $R$-Algebra. Ein Ideal  $𝔞\subseteq A$  heißt homogen, wenn zu  $f\in 𝔞$  auch die homogenen Komponenten  $f_d\in 𝔞$  sind.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $R$-Algebra. Es sei  $𝔞\subseteq A$  ein homogenes Ideal. Zeige, dass der Restklassenring $A/𝔞$ ebenfalls $D$-graduiert ist.

Aufgabe *

Es sei  $H\in K[X_1,\dots ,X_n]$  ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad $e$. Zeige die Beziehung

$eH=X_1\frac{\partial H}{\partial X_1}+\cdots +X_n\frac{\partial H}{\partial X_n}.$

In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte $K$-Algebra. Ein $K$-Automorphismus

$\phi :A⟶A$

heißt homogen, wenn für jedes homogene Element  $a\in A_d$  gilt  $\phi (a)\in A_d$. 

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra. Zeige, dass der in Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) zu einem Charakter  $\chi \in D^{\vee }$  eingeführte Automorphismus

${\phi }_{\chi }:A⟶A$

homogen ist.

Aufgabe

Es sei $G$ die Menge der stetigen geraden Funktionen und $U$ die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von $ℝ$ nach $ℝ$. Zeige, dass

${\mathrm{C}}^0(ℝ,ℝ)=G\oplus U$

eine $\mathbb{Z}/(2)$-graduierte $ℝ$-Algebra ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein kommutativer Ring mit  $2\in R^{\times }$,  auf dem die Gruppe $\mathbb{Z}/(2)$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass man $R$ mit einer $\mathbb{Z}/(2)$-Graduierung versehen kann derart, dass die neutrale Stufe der Invariantenring ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $A$ eine $D$-graduierte kommutative $K$-Algebra. Es sei

$\phi :A⟶A$

ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter  $\chi \in D^{\vee }$  mit  $\phi ={\phi }_{\chi }$  gibt, wobei ${\phi }_{\chi }$ der gemäß Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) zu $\chi$ gehörige Automorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $D$ eine kommutative Gruppe und $\delta :{\mathbb{Z}}^r\to D$ ein Gruppenhomomorphismus mit der zugehörigen $D$-Graduierung auf dem Polynomring $K[X_1,\dots ,X_r]$. Zeige, dass der Unterring der neutralen Stufe ein Monoidring über $K$ ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und

$\delta :{\mathbb{Z}}^2⟶\mathbb{Z}$

ein Gruppenhomomorphismus. Bestimme die neutrale Stufe von $K[X,Y]$ zur Graduierung, die durch  $\mathrm{grad}(X)=\delta \left(e_1\right)$  und  $\mathrm{grad}(Y)=\delta \left(e_2\right)$  gegeben ist.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und  $r\in R$  ein Element, das keine Quadratwurzel in $R$ besitze. Zeige, dass das Polynom  $X^2-r\in R[X]$  irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass das Polynom

$XY-Z^n$

irreduzibel ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Nullstellenmengen  $V(XY-Z^n)\subseteq {𝔸}_K^3$  (mit $n\ge 2$) genau in  $P=(0,0,0)$  singulär sind.

Aufgabe *

Zeige, dass die Nullstellenmengen  $V(X^2+Y{Z}^2+Y^{m+1})\subseteq {𝔸}_K^3$  (mit $m\ge 1$) über einem Körper $K$ der Charakteristik $0$ genau in  $P=(0,0,0)$  singulär sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Nullstellenmenge  $V(X^2+Y^3+Z^4)\subseteq {𝔸}_K^3$  über einem Körper $K$ der Charakteristik $\ne 2,3$ genau in  $P=(0,0,0)$  singulär ist.

Aufgabe

Bestimme den singulären Ort der Nullstellenmenge  $V(X^2+Y{Z}^2+Z^n)\subseteq {𝔸}_K^3$. 

Aufgabe

Zeige explizit, dass der Ring $ℂ[X,Y,Z]/(X^2+Y{Z}^2+Y^2)$ (also die Diedersingularität zu $m=1$) isomorph zu $ℂ[S,T,U]/(ST-U^4)$ ist.

Aufgabe

Zeige direkt, dass die Polynome

$U^{2m}+V^{2m},U^2{V}^2\text{ und }UV(U^{2m}-V^{2m})$

invariant zur Operation der binären Diedergruppe $B{D}_m$ auf $ℂ[U,V]$ sind, und bestimme eine Relation zwischen diesen Polynomen.

Aufgabe *

Zeige, dass der Ring $K[X,Y,Z]/(X^2+Y^3+Y{Z}^3)$ über einem Körper $K$ der Charakteristik $\ne 2,3$ genau in  $P=(0,0,0)$  singulär ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Nullstellenmenge  $V(X^2+Y^3+Z^5)\subseteq {𝔸}_K^3$  über einem Körper $K$ der Charakteristik $\ne 2,3,5$ genau in  $P=(0,0,0)$  singulär ist.

Aufgabe

Zeige, dass es auf den $A$- und den $D$-Singularitäten und auf der $E_6$- und der $E_7$-Singularität glatte Kurven gibt, die durch den singulären Punkt laufen.

Aufgabe

Zeige, dass es einen injektiven Ringhomomorphismus

$ℂ[X,Y,Z]/(X^2+Y^3+Z^5)⟶ℂ[R,S,T]/(RS-T^2)$

gibt.

Wir erinnern an einige weitere Graduierungsbegriffe.

Ein $\mathbb{Z}$-graduierter Ring $A$ heißt positiv graduiert, wenn  $A_d=0$  für alle  $d\in {\mathbb{Z}}_{-}$  ist.

Ein kommutativer $\mathbb{N}$-graduierter Ring $R$ heißt standard-graduiert, wenn er als $R_0$-Algebra von der ersten Stufe $R_1$ endlich erzeugt wird.

In einem $\mathbb{N}$-graduierten Ring  $R=\underset{d\ge 0}{⨁}{R}_d$  nennt man  $R_{+}=\underset{d\ge 1}{⨁}{R}_d$  das irrelevante Ideal.

Aufgabe

Zeige, dass die Ringe der ADE-Singularitäten eine positive Graduierung besitzen. Man gebe diese jeweils an.

Wir erinnern an folgende Definition.

Zu einer Gruppe $G$ heißt die von allen Kommutatoren $ab{a}^{-1}{b}^{-1}$, $a,b\in G$, erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von $G$. Sie wird mit $K(G)$ bezeichnet.

Die Kommutatorgruppe ist nach Lemma 21.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein Normalteiler, die Restklassengruppe $G/K(G)$ nennt man auch die Abelianisierung von $G$.

Aufgabe

Bestimme zu den endlichen Untergruppen  $G\subseteq {\mathrm{SU}}_2\left(ℂ\right)$  jeweils die Kommutatoruntergruppe und die Abelianisierung.

Aufgabe

Es sei  $G\subseteq {\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$  eine Untergruppe, die zur Operation von $G$ auf dem Polynomring $K[X_1,\dots ,X_n]$ führt. Zeige, dass dies auch eine Operation von $G$ auf der Lokalisierung $K[X_1,\dots ,X_n{]}_{(X_1,\dots ,X_n)}$ induziert, und dass ${(K[X_1,\dots ,X_n{]}_{(X_1,\dots ,X_n)})}^G$ isomorph zu ${(K[X_1,\dots ,X_n{]}^G)}_{𝔫}$ ist, wobei  $𝔫=(X_1,\dots ,X_n)\cap K[X_1,\dots ,X_n{]}^G$  bezeichnet.

Aufgabe

Es sei $G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen lokalen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass der Fixring $R^G$ ebenfalls lokal ist.