Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 8

Aufgabe

Zeige, dass der Quotient

${\frac {1-x_{3}}{x_{1}+x_{2}{\mathrm {i} }}}$

für ${}x_{1},x_{2}\to 0$ und

${}x_{3}=\pm {\sqrt {1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}}\,$

gegen ${}0$ konvergiert.

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und

${}A=\bigoplus _{d\in D}A_{d}\,$

eine

${}D$- graduierte ${}R$- Algebra. Ein Ideal  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A$  heißt homogen, wenn zu  ${}f\in {\mathfrak {a}}$  auch die homogenen Komponenten  ${}f_{d}\in {\mathfrak {a}}$  sind.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}R$- Algebra. Es sei  ${}{\mathfrak {a}}\subseteq A$  ein homogenes Ideal. Zeige, dass der Restklassenring ${}A/{\mathfrak {a}}$ ebenfalls ${}D$-graduiert ist.

Aufgabe *

Es sei  ${}H\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$  ein (in der Standardgraduierung) homogenes Polynom vom Grad ${}e$. Zeige die Beziehung

${}eH=X_{1}{\frac {\partial H}{\partial X_{1}}}+\cdots +X_{n}{\frac {\partial H}{\partial X_{n}}}\,.$

In den meisten der folgenden Aufgaben kann man statt mit einem Grundkörper mit einem beliebigen kommutativen Grundring arbeiten. Vor der nächsten Aufgabe erwähnen wir die folgende Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte ${}K$- Algebra. Ein ${}K$- Automorphismus

$\varphi \colon A\longrightarrow A$

heißt homogen, wenn für jedes homogene Element  ${}a\in A_{d}$  gilt  ${}\varphi (a)\in A_{d}$. 

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra. Zeige, dass der in Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) zu einem Charakter  ${}\chi \in D^{\vee }$  eingeführte Automorphismus

$\varphi _{\chi }\colon A\longrightarrow A$

homogen ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ die Menge der stetigen geraden Funktionen und ${}U$ die Menge der stetigen ungeraden Funktionen von ${}\mathbb {R}$ nach ${}\mathbb {R}$. Zeige, dass

${}\operatorname {C} ^{0}\,(\mathbb {R} ,\mathbb {R} )=G\oplus U\,$

eine ${}\mathbb {Z} /(2)$- graduierte ${}\mathbb {R}$- Algebra ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit  ${}2\in R^{\times }$,  auf dem die Gruppe ${}\mathbb {Z} /(2)$ als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass man ${}R$ mit einer ${}\mathbb {Z} /(2)$- Graduierung versehen kann derart, dass die neutrale Stufe der Invariantenring ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}A$ eine ${}D$- graduierte kommutative ${}K$- Algebra. Es sei

$\varphi \colon A\longrightarrow A$

ein homogener Automorphismus. Zeige, dass es einen Charakter  ${}\chi \in D^{\vee }$  mit  ${}\varphi =\varphi _{\chi }$  gibt, wobei ${}\varphi _{\chi }$ der gemäß Lemma 12.15 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) zu ${}\chi$ gehörige Automorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}D$ eine kommutative Gruppe und ${}\delta \colon \mathbb {Z} ^{r}\rightarrow D$ ein Gruppenhomomorphismus mit der zugehörigen ${}D$- Graduierung auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{r}]$. Zeige, dass der Unterring der neutralen Stufe ein Monoidring über ${}K$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z}$

ein Gruppenhomomorphismus. Bestimme die neutrale Stufe von ${}K[X,Y]$ zur Graduierung, die durch  ${}\operatorname {grad} \,(X_{1})=\delta (e_{1})$  und  ${}\operatorname {grad} \,(X_{2})=\delta (e_{2})$  gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und  ${}r\in R$  ein Element, das keine Quadratwurzel in ${}R$ besitze. Zeige, dass das Polynom  ${}X^{2}-r\in R[X]$  irreduzibel ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Zeige, dass das Polynom

$XY-Z^{n}$

irreduzibel ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Nullstellenmenge  ${}V{\left(XY-Z^{n}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$  (mit ${}n\geq 2$) genau in  ${}P=(0,0,0)$  singulär sind.

Aufgabe *

Zeige, dass die Nullstellenmengen  ${}V{\left(X^{2}+YZ^{2}+Y^{m+1}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$  (mit ${}m\geq 1$) über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}0$ genau in  ${}P=(0,0,0)$  singulär sind.

Aufgabe

Zeige, dass die Nullstellenmenge  ${}V{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{4}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$  über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2,3$ genau in  ${}P=(0,0,0)$  singulär ist.

Aufgabe

Bestimme den singulären Ort der Nullstellenmenge  ${}V{\left(X^{2}+YZ^{2}+Z^{n}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$. 

Aufgabe

Zeige explizit, dass der Ring ${}{\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+YZ^{2}+Y^{2}\right)}$ (also die Diedersingularität zu $m=1$) isomorph zu ${}{\mathbb {C} }[S,T,U]/{\left(ST-U^{4}\right)}$ ist.

Aufgabe

Zeige direkt, dass die Polynome

$U^{2m}+V^{2m},\,U^{2}V^{2}{\text{ und }}UV(U^{2m}-V^{2m})$

invariant zur Operation der binären Diedergruppe ${}BD_{m}$ auf ${}{\mathbb {C} }[U,V]$ sind, und bestimme eine Relation zwischen diesen Polynomen.

Aufgabe *

Zeige, dass der Ring ${}K[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+YZ^{3}\right)}$ über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2,3$ genau in  ${}P=(0,0,0)$  singulär ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Nullstellenmenge  ${}V{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{3}}$  über einem Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2,3,5$ genau in  ${}P=(0,0,0)$  singulär ist.

Aufgabe

Zeige, dass es auf den ${}A$- und den ${}D$-Singularitäten und auf der ${}E_{6}$ und der ${}E_{7}$-Singularität glatte Kurven gibt, die durch den singulären Punkt laufen.

Aufgabe

Zeige, dass es einen injektiven Ringhomomorphismus

${\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(X^{2}+Y^{3}+Z^{5}\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }[R,S,T]/{\left(RS-T^{2}\right)}$

gibt.

Wir erinnern an einige weitere Graduierungsbegriffe.

Ein ${}\mathbb {Z}$- graduierter Ring ${}A$ heißt positiv graduiert, wenn  ${}A_{d}=0$  für alle  ${}d\in \mathbb {Z} _{-}$  ist.

Ein kommutativer ${}\mathbb {N}$- graduierter Ring ${}R$ heißt standard-graduiert, wenn er als ${}R_{0}$- Algebra von der ersten Stufe ${}R_{1}$ endlich erzeugt wird.

In einem ${}\mathbb {N}$- graduierten Ring  ${}R=\bigoplus _{d\geq 0}R_{d}$  nennt man  ${}R_{+}=\bigoplus _{d\geq 1}R_{d}$  das irrelevante Ideal.

Aufgabe

Zeige, dass die Ringe der ADE-Singularitäten eine positive Graduierung besitzen. Man gebe diese jeweils an.

Wir erinnern an folgende Definition.

Zu einer Gruppe ${}G$ heißt die von allen Kommutatoren ${}aba^{-1}b^{-1}$, ${}a,b\in G$, erzeugte Untergruppe die Kommutatorgruppe von ${}G$. Sie wird mit ${}K(G)$ bezeichnet.

Die Kommutatorgruppe ist nach Lemma 21.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ein Normalteiler, die Restklassengruppe ${}G/K(G)$ nennt man auch die Abelianisierung von ${}G$.

Aufgabe

Bestimme zu den endlichen Untergruppen  ${}G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$  jeweils die Kommutatoruntergruppe und die Abelianisierung.

Aufgabe

Es sei  ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$  eine Untergruppe, die zur Operation von ${}G$ auf dem Polynomring ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ führt. Zeige, dass dies auch eine Operation von ${}G$ auf der Lokalisierung ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ induziert, und dass ${}{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]_{(X_{1},\ldots ,X_{n})}\right)}^{G}$ isomorph zu ${}{\left(K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}\right)}_{\mathfrak {n}}$ ist, wobei  ${}{\mathfrak {n}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})\cap K[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{G}$  bezeichnet.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine Gruppe, die auf einem kommutativen lokalen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Zeige, dass der Fixring ${}R^{G}$ ebenfalls lokal ist.