Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 10

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Aufgabe

Zeige, dass sich die folgenden Objekte in natürlicher Weise entsprechen.

  1. Gruppenhomomorphismen von nach .
  2. -Algebrahomomorphismen

    der Form

    mit .

  3. Multiplikative Abbildungen von nach der Form

    mit .

  4. Monoidhomomorphismen von nach .
  5. Multiplikative Abbildungen von nach der Form

    mit .

  6. Stetige Abbildungen

    der Form

    .


Aufgabe

Es sei eine -Matrix mit ganzzahligen Koeffizienten. Es sei der zugehörige Gruppenhomomorphismus,

der zugehörige -Algebrahomomorphismus, wobei die -te Spalte von ist und

die zugehörige multiplikative Abbildung. Zeige, dass die transponierte Matrix die natürliche Abbildung zwischen den Fundamentalgruppen beschreibt, dass also

durch gegeben ist.


Es seien Gruppen. Man nennt ein Diagramm der Form

eine kurze exakte Sequenz von Gruppen, wenn ein Normalteiler von ist und wenn isomorph zur Restklassengruppe ist.


Aufgabe

Es sei , . Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

führt.


Aufgabe

Es sei

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.


Die nächste Aufgabe beruht auf dem Elementarteilersatz.

Aufgabe

Es sei

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

die zugehörige kurze exakte Sequenz, wobei endlich ist. Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

führt, wobei isomorph zu ist.


Aufgabe

Es sei eine Untergruppe einer kommutativen Gruppe und sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass es einen Gruppenhomomorphismus gibt, der (als Abbildung nach ) fortsetzt.


Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Der -Modul

heißt der duale Modul zu .


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und sei

eine kurze exakte Sequenz von -Moduln . Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

der dualen Moduln führt.


Ein -Modul über einem Integritätsbereich heißt Torsionsmodul, wenn es zu jedem ein , , mit gibt.


Aufgabe

Sei ein Integritätsbereich und sei ein -Torsionsmodul. Zeige, dass der duale Modul ist.


Aufgabe

Es sei ein endlich erzeugtes Monoid und

ein Monoidhomomorphismus mit der zugehörigen Spektrumsabbildung

und dem induzierten stetigen geschlossenen Weg

Zeige, dass dieser Weg nullhomotop ist, wenn der Monoidhomomorphismus durch faktorisiert.


Aufgabe

Es sei das punktierte Spektrum zu . Man gebe einen expliziten Erzeuger der Fundamentalgruppe von an.


Aufgabe

Es sei

eine Diagonalmatrix, deren Einträge allesamt Einheitswurzeln in einem Körper seien. Zeige, dass die zugehörige lineare Operation der von erzeugten zyklischen Gruppe auf dem genau dann fixpunktfrei ist, wenn die Ordnungen der übereinstimmen.


Aufgabe

Zeige, dass der Veronese-Ring als -Algebra durch Elemente erzeugt wird derart, dass sämtliche -Minoren der Matrix

Relationen zwischen diesen Erzeugern sind.


Aufgabe

Bestimme die minimale Anzahl eines Erzeugendensystems für den Veronese-Ring .


Aufgabe *

Es sei eine -graduierte -Algebra und . Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthalte. Zeige, dass der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe ist.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und der Polynomring über in Variablen und . Zeige, dass der Veronese-Ring der Monoidring zum Monoid

ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und eine -graduierte -Algebra, auf der eine Gruppe als Gruppe von homogenen -Algebrahomomorphismen operiere. Zeige


Aufgabe

Wir betrachten die lineare Operation der zyklischen Gruppe auf durch Potenzen der Matrix

wobei eine fünfte primitive Einheitswurzel sei. Bestimme den Invariantenring zu dieser Operation. Man gebe einen expliziten Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Spektrums dieses Invariantenringes an.


Aufgabe

Wir betrachten die lineare Operation der symmetrischen Gruppe auf dem und es sei

die zugehörige Quotientenabbildung, wobei der Fixraum der Operation sei. Beschreibe die induzierte Abbildung der Fundamentalgruppen.


Aufgabe

Es sei eine nichttriviale Reflektionsgruppe. Zeige, dass zu einer fixpunktfreien, offenen -invarianten Teilmenge das Komplement eine Dimension besitzt.


Eine endliche Untergruppe über einem Körper heißt klein, wenn sie keine Pseudoreflektion enthält.


Aufgabe

Es sei eine kleine Gruppe. Zeige, dass es eine offene Menge gibt, deren Fundamentalgruppe gleich ist.


Aufgabe

Wir betrachten die lineare Operation der zyklischen Gruppe auf durch Potenzen der Matrix

wobei eine dritte primitive Einheitswurzel sei. Bestimme den Invariantenring zu dieser Operation. Man gebe einen expliziten Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Spektrums dieses Invariantenringes an.


Aufgabe

Zeige, dass der singuläre Ort der affinen Varietät

(über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ) aus drei Geraden besteht, und dass diese die Bilder der Koordinatenachsen des unter der in Beispiel 10.6 besprochenen Quotientenabbildung sind.



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