Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Arbeitsblatt 10

Aufgabe

Zeige, dass sich die folgenden Objekte in natürlicher Weise entsprechen.

1. Gruppenhomomorphismen von ${\mathbb{Z}}^r$ nach $\mathbb{Z}$.
2. $ℂ$-Algebrahomomorphismen

   $ℂ[X_1,X_1^{-1},\dots ,X_r,X_r^{-1}]⟶ℂ[T,T^{-1}]$

   der Form

   $X_i⟼T^{a_i}$

   mit  $a_j\in \mathbb{Z}$. 

3. Multiplikative Abbildungen von ${ℂ}^{\times }$ nach ${\left({ℂ}^{\times }\right)}^r$ der Form

   $z⟼(z^{a_1},\dots ,z^{a_r})$

   mit  $a_j\in \mathbb{Z}$. 

4. Monoidhomomorphismen von ${\mathbb{N}}^r$ nach $\mathbb{Z}$.
5. Multiplikative Abbildungen von ${ℂ}^{\times }$ nach ${ℂ}^r$ der Form

   $z⟼(z^{a_1},\dots ,z^{a_r})$

   mit  $a_j\in \mathbb{Z}$. 

6. Stetige Abbildungen

   $[0,2\pi ]⟶{\left({ℂ}^{\times }\right)}^r$

   der Form

   $s⟼(e^{a_1\mathrm{i}s},\dots ,e^{a_r\mathrm{i}s})$

   mit  $a_j\in \mathbb{Z}$. 

Aufgabe

Es sei  $M\in {\mathrm{Mat}}_{s\times r}(\mathbb{Z})$  eine $s\times r$-Matrix mit ganzzahligen Koeffizienten. Es sei ${\mathbb{Z}}^r\to {\mathbb{Z}}^s$ der zugehörige Gruppenhomomorphismus,

$ℂ[X_1,X_1^{-1},\dots ,X_r,X_r^{-1}]⟶ℂ[Y_1,Y_1^{-1},\dots ,Y_s,Y_s^{-1}],X_j⟼Y^{m_j},$

der zugehörige $ℂ$-Algebrahomomorphismus, wobei $m_j$ die $j$-te Spalte von $M$ ist und

${\left({ℂ}^{\times }\right)}^s⟶{\left({ℂ}^{\times }\right)}^r,(y_1,\dots ,y_s)⟼(y^{m_1},\dots ,y^{m_r}),$

die zugehörige multiplikative Abbildung. Zeige, dass die transponierte Matrix die natürliche Abbildung zwischen den Fundamentalgruppen beschreibt, dass also

${\mathbb{Z}}^s\cong \pi ({\left({ℂ}^{\times }\right)}^s,(1,\dots ,1))⟶{\mathbb{Z}}^r\cong \pi ({\left({ℂ}^{\times }\right)}^r,(1,\dots ,1))$

durch $M^{\text{tr}}$ gegeben ist.

Es seien $G_1,G_2,G_3$ Gruppen. Man nennt ein Diagramm der Form

$0\stackrel{}{⟶}{G}_1\stackrel{}{⟶}{G}_2\stackrel{}{⟶}{G}_3\stackrel{}{⟶}0$

eine kurze exakte Sequenz von Gruppen, wenn $G_1$ ein Normalteiler von $G_2$ ist und wenn $G_3$ isomorph zur Restklassengruppe $G_2/G_1$ ist.

Aufgabe

Es sei $a\in \mathbb{Z}$, $a\ne 0$. Wir betrachten die kurze exakte Sequenz

$0\stackrel{}{⟶}\mathbb{Z}\stackrel{a}{⟶}\mathbb{Z}\stackrel{}{⟶}\mathbb{Z}/(a)\stackrel{}{⟶}0.$

Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/(a),\mathbb{Z})⟶\mathbb{Z}\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})⟶\mathbb{Z}\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z},\mathbb{Z})⟶E\cong \mathbb{Z}/(a)⟶0$

führt.

Aufgabe

Es sei

$\phi :{\mathbb{Z}}^n⟶{\mathbb{Z}}^m$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

$0\stackrel{}{⟶}{\mathbb{Z}}^n\stackrel{\phi }{⟶}{\mathbb{Z}}^m\stackrel{}{⟶}D\stackrel{}{⟶}0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

$0⟶{\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(D,\mathbb{Z})⟶{\mathbb{Z}}^m\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}({\mathbb{Z}}^m,\mathbb{Z})⟶{\mathbb{Z}}^n\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}({\mathbb{Z}}^n,\mathbb{Z})$

führt, wobei die Abbildung rechts nicht surjektiv sein muss.

Die nächste Aufgabe beruht auf dem Elementarteilersatz.

Aufgabe

Es sei

$\phi :{\mathbb{Z}}^n⟶{\mathbb{Z}}^m$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus und

$0\stackrel{}{⟶}{\mathbb{Z}}^n\stackrel{\phi }{⟶}{\mathbb{Z}}^m\stackrel{}{⟶}D\stackrel{}{⟶}0$

die zugehörige kurze exakte Sequenz, wobei $D$ endlich ist (somit ist $m=n$). Zeige, dass dies zu einer kurzen exakten Sequenz

$0\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}(D,\mathbb{Z})⟶{\mathbb{Z}}^n\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}({\mathbb{Z}}^n,\mathbb{Z})⟶{\mathbb{Z}}^n\cong {\mathrm{Hom}}_{\mathbb{Z}}({\mathbb{Z}}^n,\mathbb{Z})⟶E⟶0$

führt, wobei $E$ isomorph zu $D$ ist.

Aufgabe

Es sei  $H\subseteq G$  eine Untergruppe einer kommutativen Gruppe $G$ und sei $\phi :H\to \mathbb{Z}$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass es einen Gruppenhomomorphismus $G\to \mathbb{Q}$ gibt, der $\phi$ (als Abbildung nach $\mathbb{Q}$) fortsetzt.

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und $M$ ein $R$-Modul. Der $R$-Modul

$M^{\ast }={\mathrm{Hom}}_R(M,R)$

heißt der duale Modul zu $M$.

Aufgabe *

Es sei $R$ ein kommutativer Ring und sei

$0\stackrel{}{⟶}L\stackrel{}{⟶}M\stackrel{}{⟶}N\stackrel{}{⟶}0$

eine kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln $L,M,N$. Zeige, dass dies zu einer exakten Sequenz

$0⟶N^{\ast }⟶M^{\ast }⟶L^{\ast }$

der dualen Moduln führt.

Ein $R$-Modul $M$ über einem Integritätsbereich heißt Torsionsmodul, wenn es zu jedem  $v\in M$  ein $r\in R$, $r\ne 0$, mit  $rv=0$  gibt.

Aufgabe

Es sei $R$ ein Integritätsbereich und sei $M$ ein $R$-Torsionsmodul. Zeige, dass der duale Modul  $M^{\ast }=0$  ist.

Aufgabe

Es sei $M$ ein endlich erzeugtes Monoid und

$\gamma :M⟶\mathbb{Z}$

ein Monoidhomomorphismus mit der zugehörigen Spektrumsabbildung

${ℂ}^{\times }\cong {(\mathrm{Spek}(ℂ[T,T^{-1}]))}_{ℂ}⟶{(\mathrm{Spek}(ℂ[M]))}_{ℂ}$

und dem induzierten stetigen geschlossenen Weg

$S^1⟶{(\mathrm{Spek}(ℂ[M]))}_{ℂ}.$

Zeige, dass dieser Weg nullhomotop ist, wenn der Monoidhomomorphismus $\gamma$ durch $\mathbb{N}$ faktorisiert.

Aufgabe

Es sei $M$ ein endlich erzeugtes spitzes Monoid und sei  $𝔪\subseteq ℂ[M]$  das zu  $M_{+}=M\setminus \{0\}$  gehörige maximale Ideal. Es sei

$\gamma :M⟶\mathbb{Z}$

ein Monoidhomomorphismus mit der zugehörigen Spektrumsabbildung

${ℂ}^{\times }\cong {(\mathrm{Spek}(ℂ[T,T^{-1}]))}_{ℂ}⟶{(\mathrm{Spek}(ℂ[M]))}_{ℂ}\setminus \{𝔪\}$

und dem induzierten stetigen geschlossenen Weg

$S^1⟶{(\mathrm{Spek}(ℂ[M]))}_{ℂ}\setminus \{𝔪\}.$

Zeige, dass dieser Weg in ${(\mathrm{Spek}(ℂ[M]))}_{ℂ}\setminus \{𝔪\}$ nullhomotop ist, wenn der Monoidhomomorphismus $\gamma$ durch $\mathbb{N}$ faktorisiert.

Die vorstehende Aussage lässt sich nicht umkehren.

Aufgabe

Wir betrachten das spitze kommutative Monoid

$M=⟨\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)⟩\subseteq {\mathbb{Z}}^3$

mit dem zugehörigen Monoidring

$ℂ[M]\cong ℂ[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)$

und dem maximalen Ideal $𝔪$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Der Gruppenhomomorphismus

   $(1,1,-1):{\mathbb{Z}}^3⟶\mathbb{Z}$

   induziert auf $M$ einen Monoidhomomorphismus, der nicht durch $\mathbb{N}$ faktorisiert.

2. Die Einschränkung auf $S^1$ der zugehörigen Spektrumsabbildung

   $\gamma :{ℂ}^{\times }⟶{(\mathrm{Spec}(ℂ[M]))}_{ℂ}\setminus \{𝔪\}$

   ist nullhomotop.

Aufgabe

Es sei $M$ das punktierte Spektrum zu

$R=ℂ[U,V,Z]/(U^2+V^2-Z^2).$

Man gebe einen expliziten Erzeuger der Fundamentalgruppe von $M$ an.

Aufgabe

Es sei

$A=\left(\begin{array}{cccc}{\xi }_1& 0& \cdots & 0\\ 0& {\xi }_2& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& {\xi }_n\end{array}\right)$

eine Diagonalmatrix, deren Einträge allesamt Einheitswurzeln ${\xi }_j$ in einem Körper $K$ seien. Zeige, dass die zugehörige lineare Operation der von $A$ erzeugten zyklischen Gruppe auf dem $K^n\setminus \{0\}$ genau dann fixpunktfrei ist, wenn die Ordnungen der ${\xi }_j$ übereinstimmen.

Aufgabe

Zeige, dass der Veronese-Ring $K[U,V{]}^{(s)}$ als $K$-Algebra durch $s+1$ Elemente $Z_0,Z_1,\dots ,Z_s$ erzeugt wird derart, dass sämtliche $2\times 2$-Minoren der Matrix

$\left(\begin{array}{ccccc}{Z}_0& Z_1& \dots & Z_{s-2}& Z_{s-1}\\ Z_1& Z_2& \dots & Z_{s-1}& Z_s\end{array}\right)$

Relationen zwischen diesen Erzeugern sind.

Aufgabe

Bestimme die minimale Anzahl eines Erzeugendensystems für den Veronese-Ring $K[X_1,\dots ,X_n{]}^{(s)}$.

Aufgabe *

Es sei $A$ eine $\mathbb{Z}$-graduierte $R$-Algebra und  $s\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Es sei vorausgesetzt, dass $R$ eine $s$-te primitive Einheitswurzel enthalte. Zeige, dass $A^{(s)}$ der Invariantenring unter der natürlichen Operation der Charaktergruppe ${(\mathbb{Z}/(s))}^{\vee }$ ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und  $R=K[X_1,\dots ,X_n]$  der Polynomring über $K$ in $n$ Variablen und  $s\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Zeige, dass der Veronese-Ring $R^{(s)}$ der Monoidring zum Monoid

$M=\{m=(m_1,\dots ,m_n)\in {\mathbb{N}}^n\mid \sum _{i=1}^n{m}_i\in \mathbb{N}s\}\subseteq {\mathbb{N}}^n$

ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $A$ eine $\mathbb{Z}$-graduierte $K$-Algebra, auf der eine Gruppe $G$ als Gruppe von homogenen $K$-Algebrahomomorphismen operiere. Zeige

${\left(A^{(s)}\right)}^G={\left(A^G\right)}^{(s)}.$

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Operation der zyklischen Gruppe $\mathbb{Z}/(5)$ auf ${ℂ}^3$ durch Potenzen der Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}\xi & 0& 0\\ 0& \xi & 0\\ 0& 0& {\xi }^3\end{array}\right),$

wobei $\xi$ eine fünfte primitive Einheitswurzel sei. Bestimme den Invariantenring zu dieser Operation. Man gebe einen expliziten Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Spektrums dieses Invariantenringes an.

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Operation der symmetrischen Gruppe $S_2$ auf dem ${ℂ}^2$ und es sei

${ℂ}^2\setminus T⟶\left({ℂ}^2\mathrm{\setminus }{S}_2\right)\setminus q(T)$

die zugehörige Quotientenabbildung, wobei $T$ der Fixraum der Operation sei. Beschreibe die induzierte Abbildung der Fundamentalgruppen.

Aufgabe

Es sei  $G\subseteq {\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$  eine nichttriviale Reflektionsgruppe. Zeige, dass zu einer fixpunktfreien, offenen $G$-invarianten Teilmenge  $U\subseteq K^n$  das Komplement $K^n\setminus U$ eine Dimension $\ge n-1$ besitzt.

Eine endliche Untergruppe  $G\subseteq {\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$  über einem Körper $K$ heißt klein, wenn sie keine Pseudoreflektion enthält.

Aufgabe

Es sei  $G\subseteq {\mathrm{GL}}_n\left(ℂ\right)$  eine kleine Gruppe. Zeige, dass es eine offene Menge  $U\subseteq {(\mathrm{Spek}(ℂ[X_1,\dots ,X_n{]}^G))}_{ℂ}$  gibt, deren Fundamentalgruppe gleich $G$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten die lineare Operation der zyklischen Gruppe $\mathbb{Z}/(3)$ auf ${ℂ}^4$ durch Potenzen der Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}\xi & 0& 0& 0\\ 0& \xi & 0& 0\\ 0& 0& {\xi }^2& 0\\ 0& 0& 0& {\xi }^2\end{array}\right),$

wobei $\xi$ eine dritte primitive Einheitswurzel sei. Bestimme den Invariantenring zu dieser Operation. Man gebe einen expliziten Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Spektrums dieses Invariantenringes an.

Aufgabe

Zeige, dass der singuläre Ort der affinen Varietät

$V(A^2-BCD)\subseteq {𝔸}_K^4$

(über einem algebraisch abgeschlossenen Körper $K$) aus drei Geraden besteht, und dass diese die Bilder der Koordinatenachsen des ${𝔸}_K^3$ unter der in Beispiel 10.7 besprochenen Quotientenabbildung sind.