Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2016-2017)/Arbeitsblatt 17/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Finde eine irreduzible Ganzheitsgleichung (über ${}\mathbb {Z}$ ) für die Eisensteinzahl ${}\omega ={\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}$ .

Aufgabe Aufgabe 17.2 ändern

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine ${}R$ - Algebra. Zeige, dass wenn ${}R$ ein Körper ist, die Begriffe algebraisch und ganz für ein Element ${}x\in A$ übereinstimmen. Zeige ferner, dass für einen Integritätsbereich, der kein Körper ist, diese beiden Begriffe auseinander fallen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es seien ${}R$ und ${}S$ Integritätsbereiche und sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Es sei ${}f\in R$ ein Element, das in ${}S$ eine Einheit ist. Zeige, dass ${}f$ dann schon in ${}R$ eine Einheit ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung und sei ${}f\in R$ . Zeige: Wenn ${}f$ , aufgefasst in ${}S$ , eine Einheit ist, dann ist ${}f$ eine Einheit in ${}R$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer ganzen Ringerweiterung ${}R\subseteq S$ , wo es einen Nichtnullteiler ${}f\in R$ gibt, der ein Nullteiler in ${}S$ wird.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne in

\mathbb {Z} /(7)[X]/(X^{3}+4X^{2}+X+5)

das Produkt

(2x^{2}+5x+3)\cdot (3x^{2}+x+6)

( ${}x$ bezeichne die Restklasse von ${}X$ ).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}A$ eine endlichdimensionale ${}K$ - Algebra. Zeige direkt (ohne Lemma 17.7), dass ${}A$ ganz über ${}K$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R\subseteq S$ eine Ringerweiterung zwischen endlichen kommutativen Ringen ${}R$ und ${}S$ . Zeige, dass eine ganze Ringerweiterung vorliegt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass ${}R$ ganz-abgeschlossen im Polynomring ${}R[X]$ ist.
Man gebe ein Beispiel für einen kommutativen Ring ${}R$ , der im Polynomring nicht ganz-abgeschossen ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Zeige, dass ${}R$ genau dann normal ist, wenn er mit seiner Normalisierung übereinstimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Es sei angenommen, dass die Normalisierung von ${}R$ gleich dem Quotientenkörper ${}Q(R)$ ist. Zeige, dass dann ${}R$ selbst schon ein Körper ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei $R_{i}\subseteq K,\,i\in I$ , eine Familie von normalen Unterringen. Zeige, dass auch der Durchschnitt ${}\bigcap _{i\in I}R_{i}$ normal ist.

Aufgabe Aufgabe 17.13 ändern

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}a\in R$ . Es sei vorausgesetzt, dass ${}a$ keine Quadratwurzel in ${}R$ besitzt. Zeige, dass das Polynom ${}X^{2}-a$ prim in ${}R[X]$ ist. Tipp: Verwende den Quotientenkörper ${}Q(R)$ . Warnung: Prim muss hier nicht zu irreduzibel äquivalent sein.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich mit Normalisierung ${}R^{\operatorname {norm} }$ . Zeige, dass durch

{}{\mathfrak {f}}={\left\{g\in R\mid gR^{\operatorname {norm} }\subseteq R\right\}}\,

ein Ideal in ${}R$ gegeben ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}k$ eine fixierte positive ganze Zahl und betrachte den Unterring

{}R=\mathbb {Z} [k{\mathrm {i} }]={\left\{a+ck{\mathrm {i} }\mid a,c\in \mathbb {Z} \right\}}\subseteq \mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]\,.

Zeige die Isomorphie ${}R\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}+k^{2})$ und dass ${}\mathbb {Z} [{\mathrm {i} }]$ ganz über ${}R$ ist.

In den folgenden Aufgaben wird der Polynomring ${}K[X,Y]$ in zwei Variablen über einem Körper ${}K$ verwendet. Diesen kann man definieren als ${}(K[X])[Y]$ . Die Elemente in ihm, also die Polynome in zwei Variablen, haben die Gestalt

{}P=\sum _{i,j}a_{ij}X^{i}Y^{j}\,.

Wir interessieren uns für Restklassenringe vom Typ ${}R=K[X,Y]/(F)$ . Die Nullstellenmenge von ${}F$ besteht aus der Menge derjenigen Punkte ${}(x,y)$ in der Ebene, für die ${}F(x,y)=0$ ist (dieses Nullstellengebilde ist eine geometrische Version des Ringes ${}R$ ).

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und betrachte den Restklassenring

{}R=K[X,Y]/(X^{2}-Y^{3})\,.

Dies ist ein Integritätsbereich nach Aufgabe 17.13. Zeige, dass die Normalisierung von ${}R$ gleich dem Polynomring ${}K[T]$ ist. Skizziere die Nullstellenmenge von ${}F=X^{2}-Y^{3}$ in der reellen Ebene und finde eine Parametrisierung dieses Gebildes.

Polynomringe kann man entsprechend über jedem Grundring und mit beliebig vielen Variablen definieren.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

{}P=X^{2}-3X+7\,

und

{}Q=Y^{3}-Y^{2}+4Y-5\,.

Begründe, dass die Ringerweiterung

{}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Z} [X,Y]/(P,Q)\,

ganz ist und finde eine Ganzheitsgleichung für ${}x+y$ und für ${}xy$ (kleine Buchstaben bezeichnen die Restklassen der Variablen).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 17.18 ändern

Es sei ${}R$ ein normaler Integritätsbereich und ${}R\subseteq S$ eine ganze Ringerweiterung. Sei ${}f\in R$ . Zeige, dass für das von ${}f$ erzeugte Hauptideal gilt:

{}R\cap (f)S=(f)R\,.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass für natürliche Zahlen ${}a,b\geq 1$ und ${}n\geq 2$ die Zahl ${}a^{n}-b^{n}$ nicht ein Teiler von ${}a^{n}+b^{n}$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 17.20 ändern

Es seien ${}R,S,T$ kommutative Ringe und seien ${}\varphi :R\rightarrow S$ und ${}\psi :S\rightarrow T$ Ringhomomorphismen derart, dass ${}S$ ganz über ${}R$ und ${}T$ ganz über ${}S$ ist. Zeige, dass dann auch ${}T$ ganz über ${}R$ ist.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und betrachte den Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon R=K[X,Y]\rightarrow K[T]$ , der durch die Einsetzung

X\longmapsto (T-1)(T+1){\text{ und }}Y\longmapsto T(T-1)(T+1)

gegeben ist. Finde ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}F\in K[X,Y]$ derart, dass ${}F$ unter ${}\varphi$ auf ${}0$ abgebildet wird. Skizziere die Nullstellenmenge von ${}F$ in der reellen Ebene.