Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 4/kontrolle
- Aufgaben
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass ein multiplikatives System in ist.
Es sei ein kommutativer Ring, ein multiplikatives System und ein Ideal. Zeige, dass
ein Ideal in ist, dass umfasst.
Es sei eine fixierte Teilmenge. Zeige, dass die Menge
ein multiplikatives System im Ring der stetigen Funktionen auf ist.
Ein multiplikatives System in einem kommutativen Ring heißt saturiert, wenn folgendes gilt: Ist und gibt es ein , das von geteilt wird, so ist auch .
Es sei ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System nennt man einen Ultrafilter, wenn ist und wenn maximal mit dieser Eigenschaft ist.
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige, dass die Menge der Nichtnullteiler in ein saturiertes multiplikatives System bilden.
Es seien kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus . Zeige, dass das Urbild der Einheitengruppe ein saturiertes multiplikatives System in ist.
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein multiplikatives System mit . Zeige, dass genau dann ein Ultrafilter ist, wenn es zu jedem , , ein und eine natürliche Zahl mit gibt.
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von ein minimales Primideal in ist.
Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und ein multiplikatives System mit . Zeige mit dem Lemma von Zorn, dass es dann auch ein Primideal mit und mit gibt.
Es sei ein kommutativer Ring und ein multiplikatives System. Zeige, dass die Überkreuzrelation auf der Produktmenge eine Äquivalenzrelation ist, und dass für die Äquivalenzklassen durch
eine wohldefinierte Addition und durch
eine wohldefinierte Multiplikation gegeben ist, derart, dass die Quotientenmenge ein kommutativer Ring wird.
Es sei ein Integritätsbereich und sei ein multiplikatives System, .
- Zeige, dass die
Nenneraufnahme
zu , also mit
ein Unterring von ist.
- Zeige, dass nicht jeder Unterring von eine Nenneraufnahme ist.
Es sei eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge
ein Unterring von ist. Was ergibt sich bei , , , ?
Es sei der von und erzeugte Unterring von . Zeige, dass alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von im Nenner schreiben lassen.
Es sei ein kommutativer Ring und sei mit zugehöriger Nenneraufnahme . Beweise die - Algebraisomorphie
Es sei ein kommutativer Ring und Elemente. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
- Es ist (im Spektrum von ).
- Es ist .
- Es ist .
- Es gibt mit
- Das Element teilt eine Potenz von .
- Es ist eine Einheit in .
- Es gibt einen - Algebrahomomorphismus .
Es sei ein kommutativer Ring, ein Element und die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn der Nullring ist.
Es sei ein Hauptidealbereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jeder Zwischenring , , eine Nenneraufnahme ist.
Zeige, dass keine Algebra von endlichem Typ über ist.
Es sei ein Integritätsbereich und ein multiplikatives System. Zeige, dass die Primideale in genau denjenigen Primidealen in entsprechen, die mit einen leeren Durchschnitt haben.
Es sei ein kommutativer Ring, sei und sei ein Ideal. Zeige, dass genau dann gilt, wenn für alle Lokalisierungen gilt, dass ist.
Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und ein multiplikatives System. Zeige, dass es eine natürliche Ringisomorphie
gibt, wobei links die Nenneraufnahme am Bild des multiplikativen Systems in bezeichnet.
Es sei ein kommutativer Ring, ein Ideal und ein multiplikatives System. In der Nenneraufnahme gelte
Zeige, dass es ein und Elemente mit
gibt.
Man gebe ein Beispiel einer integren, endlich erzeugten -Algebra und eines multiplikativen Systems , , an derart, dass die Nenneraufnahme kein Körper ist, aber jedes maximale Ideal aus zum Einheitsideal in wird.
Bestimme die Unterringe der rationalen Zahlen , die lokal sind.
Es sei ein kommutativer Ring. Zeige die Äquivalenz folgender Aussagen.
- hat genau ein maximales Ideal
- Die Menge der Nichteinheiten bildet ein Ideal in .
Es sei ein lokaler Ring mit Restekörper . Zeige, dass und genau dann die gleiche Charakteristik haben, wenn einen Körper enthält.
Es sei ein kommutativer Ring und
ein Ringhomomorphismus in einen Körper . Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte Faktorisierung
mit einem Restekörper zu einem Primideal gibt.
Es sei
ein Ringhomomorphismus zwischen den kommutativen Ringen und und es sei ein Primideal. Zeige, dass es natürliche Ringhomomorphismen
(zwischen den Lokalisierungen) und
(zwischen den Restekörpern) gibt.
Es sei ein kommutativer Ring, ein multiplikatives System und ein - Modul. Definiere die „Nenneraufnahme“
und zeige, dass sie ein -Modul ist.