Lösung
- Zwei
metrische Räume
und
heißen homöomorph, wenn es eine
bijektive
stetige Abbildung
-
gibt, deren
Umkehrabbildung
ebenfalls stetig ist.
- Die Abbildung heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative
reelle Zahl
gibt mit
-
für alle .
- Unter der Kurvenlänge von versteht man
-
- Die Abbildung heißt total differenzierbar in , wenn es eine
-
lineare Abbildung
mit der Eigenschaft
-
gibt, wobei
eine in
stetige Abbildung
mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.
- Es sei ein
Körper
und sei ein -Vektorraum.
Eine
lineare Abbildung
-
heißt auch eine Linearform auf .
- Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes
die
Folge
-
konvergiert.
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die
Folgencharakterisierung
von kompakten Teilmengen .
- Der Satz über differenzierbare Kurven und Komponentenfunktionen.
- Der
Satz von Schwarz.
Lösung
- Es sei eine Teilmenge. Dann ist genau dann
kompakt,
wenn jede Folge in eine in
konvergente
Teilfolge
besitzt.
- Es sei ein
reelles
Intervall,
ein
euklidischer Vektorraum
und
-
eine
Abbildung.
Es sei eine
Basis
von und es seien
-
die zugehörigen
Komponentenfunktionen
von . Es sei
.
Dann ist genau dann
differenzierbar
in , wenn sämtliche Funktionen in
differenzierbar
sind.
- Es sei
offen und
eine Abbildung derart, dass für
die zweiten Richtungsableitungen und existieren und stetig sind. Dann gilt
-
Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis.
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Grad |
Bogenmaß |
Prozent
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Lösung
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Grad |
Bogenmaß |
Prozent
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Beweise den Satz über zusammenhängende Teilmengen unter einer stetigen Abbildung.
Lösung
Bestimme die Ableitung der Kurve
-
Lösung
Die Ableitung ist
Beweise die Mittelwertabschätzung für differenzierbare Kurven.
Lösung
Wenn
ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also
.
Dann ist
nach dem
Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren
Teil einer
Orthonormalbasis
von . Es seien die
Komponentenfunktionen
von bezüglich dieser Basis. Wir wenden den
Mittelwertsatz für eine Variable
auf die erste Komponentenfunktion an. Es gibt also ein
mit der Eigenschaft
-
und damit auch
-
Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt
Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem
-
Zeige, dass die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems mit der Anfangsbedingung
-
durch
-
gegeben ist.
Lösung
Die Anfangsbedingung ist offenbar erfüllt. Ferner ist einerseits
-
und andererseits
-
sodass eine Lösung der Differentialgleichung vorliegt.
Löse das
Anfangswertproblem
-
durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .
Lösung
Wir machen den Potenzreihenansatz
und .
Aufgrund der Anfangsbedingung ist
-
Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenreihengleichungen
-
und
-
die wir gradweise auswerten. Für den Grad
(der Potenzreihengleichungen)
ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
-
Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
-
also ist
und .
Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
-
also ist
und .
Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen
-
also ist
und .
Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ist demnach
-
Skizziere den Graphen der Funktion
-
Lösung Betrag der Summe/Skizze/Aufgabe/Lösung
Zeige für Polynomfunktionen
-
direkt, dass
-
gilt.
Lösung
Da partielle Ableitungen mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, und da ein Polynom eine Summe aus Monomen, multipiziert mit Konstanten ist, genügt es, die Aussage für Monome
-
zu zeigen. Bei
ist die Aussage richtig, sodass wir
annehmen. Es ist
-
Wenn
ist, so ist dies , und in diesem Fall sind auch
und
die Nullfunktion, also gleich. Dies ist auch bei
der Fall. Es seien also
.
Dann ist
Dies ist auch das Ergebnis in der umgekehrten Reihenfolge.
Beweise die Taylor-Formel für eine beliebig oft differenzierbare Funktion
-
in einem Punkt
.
Lösung
Nach
Satz 49.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))
gibt es zu jedem
ein
(von abhängiges)
mit
Die rechte Summe ist also die Abweichungsfunktion , die wir abschätzen müssen. Wegen
ist
-
Da nach Voraussetzung die -ten
Richtungsableitungen
stetig
sind, existiert für jede einzelne Funktion der Limes für und ist gleich . Daher gilt dies auch für die Summe rechts und damit auch für den Ausdruck links.
Finde ein reelles Polynom in zwei Variablen vom Grad , das die folgenden Eigenschaften besitzt. Ist die Lösung eindeutig?
- Es ist
.
- Es ist
.
- Es ist
-
- Es ist
-
- Es ist
-
- Es ist
-
Lösung
Wegen der ersten Bedingung können wir direkt als
-
ansetzen. Wegen der zweiten Bedingung ist
.
Die partielle Ableitung von nach ist
-
und die partielle Ableitung von nach ist
-
Die dritte Bedingung ergibt
und die fünfte Bedingung ergibt
.
Die vierte Bedingung ergibt
und die sechste Bedingung ergibt
-
Für die verbleibenden Unbekannten haben wir also insgesamt das lineare Gleichungssystem
-
-
-
Aus den beiden ersten Gleichungen ergibt sich
-
die letzte Gleichung ist also nicht nötig. Eine Lösung ist
,
,
,
und man kann das Polynom
-
nehmen. Man kann aber auch
,
,
nehmen, also das Polynom
-
Die Lösung ist also nicht eindeutig.
Wir betrachten die Abbildung
-
- Bestimme die
Jacobi-Matrix
zu in einem Punkt .
- Berechne die
Jacobi-Determinante
von in einem Punkt .
- Begründe, dass in einer offenen Umgebung des Punktes
einen
Diffeomorphismus
beschreibt.
- Bestimme die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung im Punkt .
Lösung
Wir betrachten die Abbildung
-
- Die
Jacobi-Matrix
zu in ist
-
- Die
Jacobi-Determinante
von in ist
- Die Jacobi-Determinante von in
ist . Daher ist das totale Differential in diesem Punkt
invertierbar
und nach
dem Satz über die Umkehrabbildung
gibt es eine offene Umgebung von , worauf ein Diffeomorphismus vorliegt.
- Die Jacobi-Matrix von in ist
-
Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung in ist die inverse Matrix dazu. Das Invertierungsverfahren ergibt
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Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung ist somit
-
Lösung
Es ist
.
Nach
dem Satz über implizite Abbildungen
gibt es eine offene Menge
, ,
eine offene Menge
und eine stetig differenzierbare Abbildung
-
derart, dass
ist und eine
Bijektion
-
induziert. Es sei
der Punkt mit
.
Die Abbildung ist in jedem Punkt
regulär
und für das
totale Differential
von gilt
-
also
-
Wegen der Regularität von in ist
-
injektiv und
-
bijektiv. Es sei
das Urbild von und sei
-
wobei hinreichend klein gewählt sei, dass das Bild ganz in liegt. Dann besitzt
-
die Eigenschaft
-
und
-
Lösung
Sie sind Lehrer/in an einem Gymnasium und wurden soeben zur/m Beauftragten zur Förderung besonders begabter Schüler und Schülerinnen eingesetzt. Die Förderung soll sich auf Analysis beziehen. Welches Konzept
(Thema, Idee, Begriffsbildung, ...) der Analysis 2 halten Sie dafür für geeignet? Inwiefern denken Sie, dass dieses Konzept zwar für den normalen Unterricht nicht geeignet ist, für das angesprochene Zielpublikum aber doch?
Lösung Analysis 2/Schule/Förderklasse/Aufgabe/Lösung