Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)/Vorlesung 24

In dieser Vorlesung besprechen wir Konvergenzeigenschaften von Folgen von holomorphen Funktionen, die für den Beweis des riemannschen Abbildungssatzes in der nächsten Vorlesung benötigt werden.

Kompakte Konvergenz

Definition

Es sei ${}T$ ein topologischer Raum und sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge kompakt konvergiert, wenn sie auf jeder kompakten Teilmenge ${}K\subseteq T$ gleichmäßig konvergiert.

Definition

Es sei ${}T$ ein topologischer Raum und sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen. Man sagt, dass die Funktionenfolge lokal gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Funktion

$f\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} }$

derart gibt, dass es zu jedem Punkt ${}P\in T$ eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq T$ derart gibt, dass ${}f_{n}{|}_{U}$ gleichmäßig gegen ${}f{|}_{U}$ konvergiert.

Lemma

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{d}$ eine offene Teilmenge und sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow {\mathbb {K} },$

(${}n\in \mathbb {N}$) eine Folge von Funktionen.

Dann ist die Funktionenfolge genau dann kompakt konvergent, wenn sie lokal gleichmäßig konvergent ist.

Beweis

Es sei ${}f_{n}$ kompakt konvergent und sei ${}P\in T$. Zu einer offenen Ballumgebung ${}P\in U{\left(P,r\right)}\subset U{\left(P,s\right)}\subseteq T$ ist der abgeschlossene Ball ${}B\left(P,r\right)$ kompakt. Die gleichmäßige Konvergenz darauf überträgt sich auf die offene Teilmenge. Sei umgekehrt angenommen, dass lokal gleichmäßige Konvergenz vorliegt, und sei ${}K\subseteq T$ eine kompakte Teilmenge. Es gibt dann eine endliche Überdeckung ${}K\subseteq \bigcup _{i=1}^{m}U_{i}$ mit in ${}T$ offenen Teilmengen ${}U_{i}$ derart, dass die Funktionenfolge auf jedem ${}U_{i}$ gleichmäßig konvergiert. Dies überträgt sich auf die endliche Vereinigung und damit auch auf ${}K$.

$\Box$

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Eine kompakte Ausschöpfung ${}A_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, von ${}X$ ist eine Folge von kompakten Teilmengen ${}A_{n}\subseteq X$ mit

$A_{n}\subseteq A_{n+1}^{o}{\text{ und }}\bigcup _{n=0}^{\infty }A_{n}=X.$

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung ${}A_{n}\subseteq X$. Dann versteht man unter der Topologie der kompakten Konvergenz auf ${}C(X,{\mathbb {K} })$ die induzierte Topologie unter der natürlichen Abbildung

$C(X,{\mathbb {K} })\longrightarrow \prod _{n\in \mathbb {N} }C(A_{n},{\mathbb {K} }),\,f\longmapsto {\left(f{|}_{A_{n}}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

wobei die ${}C(A_{n},{\mathbb {K} })$ mit der Maximumsnorm versehen sind und der Produktraum mit der Produkttopologie versehen ist.

Nach Aufgabe 24.4 liegt ein metrischer Raum vor.

Lemma

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum mit einer kompakten Ausschöpfung und sei

$f_{n}\colon X\longrightarrow {\mathbb {K} }$

eine Folge von stetigen Funktionen.

Dann konvergiert die Folge genau dann in der Topologie der kompakten Konvergenz, wenn sie kompakt konvergiert.

Beweis

Siehe Aufgabe 24.6.

$\Box$

Der Satz von Montel

Zu einer offenen Menge ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ bezeichnen wir mit ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})={\mathcal {O}}(U)$ die Menge der auf ${}U$ definierten holomorphen Funktionen. Dies ist eine Unteralgebra von ${}C(U,{\mathbb {C} })$, der Algebra aller stetigen ${}{\mathbb {C} }$-wertigen Funktionen. Die für die stetigen Funktionen entwickelten Konzepte wie Supremumsnorm, gleichmäßige Konvergenz, kompakte Konvergenz kann man auf die Unteralgebra der holomorphen Funktionen anwenden. Dabei hilft die folgende wichtige Aussage, dass die Grenzfunktion einer lokal gleichmäßig konvergenten Folge holomorpher Funktionen wieder holomorph ist.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}f_{k}\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine Folge von holomorphen Funktionen, die gegen die Grenzfunktion ${}f$ kompakt konvergiert.

Dann ist ${}f$ holomorph.

Die Folge der Ableitungsfunktionen ${}f_{k}^{(n)}$ konvergiert kompakt gegen ${}f^{(n)}$.

Beweis

Da die Aussagen lokal sind, können wir nach Lemma 24.3 und nach einer Verschiebung direkt davon ausgehen, dass die Folge auf ${}U{\left(0,s\right)}$ gleichmäßig gegen ${}f$ konvergiert. Es sei ${}0<r<s$ und sei ${}\gamma$ die Standardumrundung von ${}0$ mit Radius ${}r$. Nach Korollar 13.5 und Satz 14.1 ist für ${}P\in U{\left(0,r\right)}$

${}f_{k}^{(n)}(P)={\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz\,.$

Es sei ${}C_{k}$ das Maximum von ${}\vert {f-f_{k}}\vert$. Dann gilt unter Verwendung von Lemma 12.10

${}{\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz-f_{k}^{(n)}(P)}\vert &=\vert {{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz-{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz}\vert \\&={\frac {n!}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)-f_{k}(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz}\vert \\&\leq n!{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}.\end{aligned}}$

Es sei ${}n$ fixiert, wir behaupten, dass ${}f_{k}^{(n)}(P)$ auf ${}U{\left(0,r\right)}$ lokal gleichmäßig gegen ${}{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)^{n+1}}}dz$ konvergiert. Sei ${}P\in U{\left(0,r\right)}$ fixiert und ${}\epsilon >0$ vorgegeben. Wir zeigen die gleichmäßige Konvergenz auf ${}U{\left(P,t\right)}$ mit ${}t={\frac {r-\vert {P}\vert }{2}}$. Für ${}Q\in U{\left(P,t\right)}$ ist insbesondere

${}{\frac {r-\vert {P}\vert }{r-\vert {Q}\vert }}\leq 2\,.$

Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz der ${}f_{k}$ gegen ${}f$ gibt es ein ${}k_{0}$ derart, dass für alle ${}k\geq k_{0}$ die Abschätzung ${}C_{k}\leq {\frac {\epsilon (r-\vert {P}\vert )^{n+1}}{2^{n+1}r\cdot (n!)}}$ gilt. Daher ist

${}{\begin{aligned}\vert {\int _{\gamma }{\frac {n!}{2\pi {\mathrm {i} }}}\cdot {\frac {f(z)}{(z-Q)^{n+1}}}dz-f_{k}^{(n)}(Q)}\vert &\leq n!{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {Q}\vert )^{n+1}}}\\&=n!{\left({\frac {r-\vert {P}\vert }{r-\vert {Q}\vert }}\right)}^{n+1}{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}\\&\leq n!2^{n+1}{\frac {C_{k}r}{(r-\vert {P}\vert )^{n+1}}}\\&\leq \epsilon .\end{aligned}}$

Insbesondere ist

${}f(P)={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)}}dz\,$

und daher gilt für den Differenzenquotienten

${}{\begin{aligned}{\frac {f(P)-f(Q)}{P-Q}}&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)}}-{\frac {f(z)}{(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)(z-Q)-f(z)(z-P)}{(z-P)(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }(P-Q)}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)(P-Q)}{(z-P)(z-Q)}}dz\\&={\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-P)(z-Q)}}dz.\end{aligned}}$

Für ${}Q\rightarrow P$ konvergiert auf dem Kreisrand ${}{\frac {f(z)}{(z-P)(z-Q)}}$ gleichmäßig gegen ${}{\frac {f(z)}{(z-P)(z-P)}}$ und daher existiert der Limes des Integrals nach Lemma 23.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und somit ist ${}f$ komplex differenzierbar. Somit ist die oben bestimmte Grenzfunktion von ${}f_{k}^{(n)}$ nach Satz 14.1 gleich der ${}n$-ten Ableitung von ${}f$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet.

Dann ist

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}})\subseteq C(U,{\mathbb {C} })\,$

eine (in der Topologie der kompakten Konvergenz) abgeschlossene Teilmenge.

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 24.7 in Verbindung mit Satz 33.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

$\Box$

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet.

Dann ist die Ableitung

$\Gamma (U,{\mathcal {O}})\longrightarrow \Gamma (U,{\mathcal {O}}),\,f\longmapsto f',$

eine stetige Abbildung in der Topologie der kompakten Konvergenz.

Beweis

Dies folgt Satz 24.7 aus Lemma 34.3 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

$\Box$

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$ eine Teilmenge von stetigen ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen auf ${}X$. Man sagt, dass ${}T$ beschränkt ist, wenn es ein Konstante ${}C\in \mathbb {R}$ derart gibt, dass

${}\vert {f(P)}\vert \leq C\,$

für alle ${}f\in T$ und alle ${}P\in X$ gilt.

Definition

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum und ${}T\subseteq C(X,{\mathbb {K} })$ eine Teilmenge von stetigen ${}{\mathbb {K} }$-wertigen Funktionen auf ${}X$. Man sagt, dass ${}T$ lokal beschränkt ist, wenn es zu jedem Punkt ${}P\in X$ eine offene Umgebung ${}P\in U\subseteq X$ derart gibt, dass die auf ${}U$ eingeschränkte Funktionenmenge ${}f{|}_{U}$, ${}f\in T$, beschränkt ist.

Der folgende Satz (insbesondere die Richtung von (1) nach (2)) heißt Satz von Montel.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ ein Gebiet und sei ${}T\subseteq \Gamma (U,{\mathcal {O}})$ eine Teilmenge von holomorphen Funktionen auf ${}U$.

Dann ist ${}T$ genau dann lokal beschränkt, wenn jede Folge in ${}T$ eine kompakt konvergente Teilfolge besitzt.

Beweis

Es sei die Funktionenmenge ${}T$ lokal beschränkt. Dann sind insbesondere die Bilder ${}f(P)$, ${}f\in T$, beschränkt in ${}{\mathbb {C} }$. Wir möchten Aufgabe 18.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) anwenden, dazu ist lediglich noch zu zeigen, dass die Funktionenmenge gleichgradig stetig ist. Es sei ${}P\in U$ und sei ${}P\in U{\left(P,r\right)}\subset U{\left(P,s\right)}\subseteq U$ derart, dass die Funktionenfamilie auf ${}U{\left(P,s\right)}$ durch die Konstante ${}C$ beschränkt sei. Es sei ${}\gamma$ eine Standardumrundung um ${}P$ mit dem Radius ${}r$. Dann gelten für ${}Q\in U{\left(P,r\right)}$ nach Satz 13.7, Korollar 13.5 und Lemma 12.10 die von ${}f$ unabhängigen Abschätzungen

${}{\begin{aligned}\vert {f(Q)-f(P)}\vert &=\vert {{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}dz-{\frac {1}{2\pi {\mathrm {i} }}}\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-Q}}-{\frac {f(z)}{z-P}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)(Q-P)}{(z-Q)(z-P)}}dz}\vert \\&={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\vert {\int _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-Q)}}dz}\vert \\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\cdot {\frac {\vert {Q-P}\vert }{r}}\cdot 2\pi r\cdot C{\frac {1}{r-\vert {P-Q}\vert }}\\&={\frac {C}{r-\vert {P-Q}\vert }}\vert {Q-P}\vert .\end{aligned}}$

Zu gegebenem ${}r>\epsilon >0$ kann man dann mit

${}\delta :=\operatorname {min} \left({\frac {r}{2C}}\epsilon ,\,{\frac {r}{2}}\right)\,$

die gleichgradige Stetigkeit nachweisen.

Für die Rückrichtung siehe Aufgabe 24.9.

$\Box$

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