Kurs:Körper- und Galoistheorie/17/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 0 1 0 3 0 0 0 0 0 0 12 0 0 22




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein irreduzibles Element in einen kommutativen Ring .
  2. Ein Ideal in einem kommutativen Ring .
  3. Ein separables Polynom über einem Körper .
  4. Eine (endliche) Galoiserweiterung .
  5. Eine auflösbare Körpererweiterung .
  6. Ein aus einer Teilmenge einer Ebene konstruierbarer Punkt .


Lösung

  1. Eine Nichteinheit in einem kommutativen Ring heißt irreduzibel, wenn eine Faktorisierung nur dann möglich ist, wenn einer der Faktoren eine Einheit ist.
  2. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge , für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
    1. Für alle ist auch .
    2. Für alle und ist auch .
  3. Ein Polynom heißt separabel, wenn es über keinem Erweiterungskörper mehrfache Nullstellen besitzt.
  4. Eine endliche Körpererweiterung heißt eine Galoiserweiterung, wenn

    gilt.

  5. Eine Körpererweiterung heißt auflösbar, wenn es eine Radikalerweiterung mit gibt.
  6. Ein Punkt heißt aus konstruierbar, wenn es eine Folge von Punkten

    derart gibt, dass jeweils aus in einem Schritt konstruierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz von Lagrange für die Ordnung eines Elementes.
  2. Der Satz über die Konstruktion von Zerfällungskörpern.
  3. Der Satz über die Beschreibung der Galoisgruppe von Kreisteilungskörpern über .


Lösung

  1. Sei eine endliche Gruppe und sei ein Element. Dann teilt die Ordnung von die Gruppenordnung.
  2. Sei ein Körper und ein Polynom aus . Dann gibt es einen Erweiterungskörper derart, dass über in Linearfaktoren zerfällt.
  3. Es sei der -te Kreisteilungskörper. Dann ist eine Galoiserweiterung mit der Galoisgruppe
    Dabei entspricht der Einheit derjenige Automorphismus , der eine -te Einheitswurzel auf abbildet.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass das Bild eines Ideals unter einem Ringhomomorphismus nicht unbedingt wieder ein Ideal ist.


Lösung

Beispielsweise ist in ein Ideal (das Einheitsideal), aber ist als Teilmenge von kein Ideal.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für Gruppen.


Lösung

Wir wenden Satz 5.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) auf und die kanonische Projektion an. Dies induziert einen Gruppenhomomorphismus

mit , der surjektiv ist. Sei und . Dann ist

also . Damit ist , d.h. der Kern von ist trivial und nach Lemma 4.9 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist auch injektiv.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (12 Punkte)

Beweise den Satz über die galoistheoretische Charakterisierung von auflösbaren Körpererweiterungen in Charakteristik .


Lösung

Es sei zuerst die Körpererweiterung auflösbar, und zwar sei eine Körpererweiterung derart, dass eine Radikalerweiterung ist. Es sei dabei ein gemeinsamer „Radikalexponent“ der beteiligten einfachen Radikalerweiterungen. Da wir in Charakteristik sind, können wir zu eine -te primitive Einheitswurzel adjungieren und erhalten eine -Radikalerweiterung . Wir ersetzen durch seine normale Hülle , die nach Lemma 22.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ebenfalls eine -Radikalerweiterung von ist. Da wir in Charakteristik sind, ist eine Galoiserweiterung. Wir können also davon ausgehen, dass eine Kette

vorliegt, wobei galoissch ist und wo die sukzessiven Körpererweiterungen einfache Radikalerweiterungen sind. Es sei und wir setzen

Dabei gelten nach Lemma 16.3 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))  (2) die natürlichen Inklusionen

Da die Zwischenerweiterungen für einfache Radikalerweiterungen und in die benötigten Einheitswurzeln vorhanden sind, folgt aus Satz 18.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), dass es sich um Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe handelt. Aufgrund von Satz 17.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))  (2) sind daher die Normalteiler in und die Restklassengruppen sind kommutativ. Die Erweiterung besitzt nach Aufgabe 20.21 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ebenfalls eine abelsche Galoisgruppe. Daher liegt insgesamt eine Filtrierung vor, die als auflösbar erweist. Da eine Galoiserweiterung ist, gilt wieder nach Satz 17.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) die Beziehung

so dass auch wegen Lemma 21.3 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine auflösbare Gruppe ist.

Sei nun vorausgesetzt, dass die Galoisgruppe auflösbar ist, und sei

eine Filtrierung mit Untergruppen derart, dass jeweils ein Normalteiler ist mit abelscher Restklassengruppe . Wir setzen , so dass nach Lemma 16.3 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))  (1) und Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) die Körperkette

vorliegt. Dabei sind nach Korollar 16.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) die Körpererweiterungen galoissch, und ihre Galoisgruppen sind gemäß Satz 17.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)). Da die Normalteiler in sind, sind aufgrund von Satz 17.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) die Körpererweiterungen galoissch mit Galoisgruppe . Diese sukzessiven Erweiterungen sind also Galoiserweiterungen mit abelscher Galoisgruppe. Es sei der Exponent von . Es sei ein -ter Kreisteilungskörper, also ein Zerfällungskörper von über , und sei eine -te primitive Einheitswurzel. Es ist somit . Wir setzen (innerhalb von ) und haben dann die Körperkette

Hierbei gilt . Nach Satz 20.7 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) ist ebenfalls galoissch, und es gilt die Untergruppenbeziehung

so dass diese Galoisgruppen auch abelsch sind. Da die -te primitive Einheitswurzel zu gehört, sind die Erweiterungen allesamt Kummererweiterungen und damit nach Korollar 18.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) auch Radikalerweiterungen. Da auch eine (einfache) Radikalerweiterung ist, ist insgesamt eine Radikalerweiterung, die umfasst. Somit ist auflösbar.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung