Kurs:Lineare Algebra/Teil I/9/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 5 4 3 4 4 8 8 2 2 2 9 3 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Urbild zu einer Teilmenge unter einer Abbildung .
  2. Ein inverses Element zu einem Element bezüglich einer Verknüpfung

    mit einem neutralen Element .

  3. Die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von einer Basis zu einer anderen Basis .
  4. Ein Zykel der Ordnung auf .
  5. Der Eigenraum zu und einem Endomorphismus

    auf einem -Vektorraum .

  6. Die baryzentrischen Koordinaten zu einem Punkt in einem affinen Raum über dem -Vektorraum bezüglich einer affinen Basis , .


Lösung

  1. Zu einer Teilmenge heißt

    das Urbild von unter .

  2. Zu heißt inverses Element, wenn die Gleichheit

    gilt.

  3. Es sei

    mit den Koeffizienten . Dann nennt man die -Matrix

    die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von nach .

  4. Eine Permutation auf heißt Zykel der Ordnung , wenn es eine -elementige Teilmenge derart gibt, dass auf die Identität ist und die Elemente aus zyklisch vertauscht
  5. Man nennt

    den Eigenraum von zum Wert .

  6. Man nennt die zu eindeutig bestimmten Zahlen

    mit

    die baryzentrischen Koordinaten von .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Elimination auf Dreiecksgestalt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über einem Körper .
  2. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
  3. Der Satz über die jordansche Normalform.


Lösung

  1. Jedes (inhomogene) lineare Gleichungssystem über einem Körper lässt sich durch elementare Umformungen und durch das Weglassen von überflüssigen Gleichungen in ein äquivalentes lineares Gleichungssystem der Stufenform
    überführen, bei dem alle Startkoeffizienten von verschieden sind.
  2. Unter der Bedingung, dass endlichdimensional ist, gilt
  3. Zu jedem trigonalisierbaren Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum gibt es eine Basis, bezüglich der die beschreibende Matrix jordansche Normalform

    besitzt.


Aufgabe (1 Punkt)

Ist die Abbildung

injektiv oder nicht?


Lösung

Die Abbildung ist nicht injektiv, da wegen

die beiden Paare und unter auf das gleiche Element abgebildet werden.


Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es seien

Funktionen.

a) Zeige die Gleichheit

b) Zeige durch ein Beispiel, dass die Gleichheit

nicht gelten muss.


Lösung

a) Die Gleichheit von Funktionen bedeutet die Gleichheit für jedes Argument. Für ist

was die Aussage beweist.

b) Wir nehmen für jeweils die Identität, also die Abbildung . Die Verknüpfung der Identität mit sich selbst ist wieder die Identität. Das Produkt der Identität mit sich selbst ist das Quadrieren . Daher ist in diesem Beispiel die Funktion

gleich der Quadrierungsfunktion. Die Funktion

hingegen ist die Hintereinanderschaltung des Quadrierens mit dem Quadrieren, und das ist die Abbildung .


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper :


Lösung

Wir schreiben das Gleichungssystem als

Wir multiplizieren die zweite Zeile mit und erhalten

Wir nehmen die Differenz der ersten und der dritten Zeile und erhalten

Das inverse Element von ist , somit ist also

Aus der Gleichung folgt daraus


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Dimension des von den Vektoren

erzeugten Untervektorraumes des .


Lösung

Wir betrachten den ersten, zweiten, dritten und fünften Vektor der Familie, also

als Matrix. Die Determinante dieser Matrix ist nach der Entwicklung nach der ersten Spalte gleich

der Rang der Matrix ist also und die sechs Vektoren erzeugen den Gesamtraum. Die Dimension ist also .


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Kern der linearen Abbildung


Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der ersten Gleichung die Variable . Das resultierende System ist ()

Wir eliminieren nun aus mittels die Variable , das ergibt

()

Wir können jetzt dieses System lösen, wobei die anderen Variablen eindeutig festlegt. Sei . Dann ist . Damit ist

Schließlich ist

Die Lösungsmenge, also der Kern, ist somit


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung


Lösung

Sei . Es sei der Kern der Abbildung und seine Dimension ().

Es sei
eine

Basis von . Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren

derart, dass

eine Basis von ist. Wir behaupten, dass

eine Basis des Bildes ist. Es sei ein Element des Bildes . Dann gibt es ein mit . Dieses lässt sich mit der Basis als

schreiben. Dann ist

so dass sich als Linearkombination der schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der , , sei eine Darstellung der Null gegeben,

Dann ist

Also gehört zum Kern der Abbildung und daher kann man

schreiben. Da insgesamt eine Basis von vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten sein müssen, also sind insbesondere .


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.


Lösung

Sei fixiert. Zuerst ist zu zeigen, dass eine Linearform auf dem Dualraum ist. Offenbar ist eine Abbildung von nach . Die Additivität ergibt sich aus

wobei wir die Definition der Addition auf dem Dualraum verwendet haben. Die Verträglichkeit mit der Skalarmultiplikation ergibt sich entsprechend mittels

Zum Beweis der Additivität der Gesamtabbildung seien . Es ist die Gleichheit

zu zeigen. Da dies eine Gleichheit in ist, also insbesondere eine Gleichheit von Abbildungen, sei beliebig. Dann folgt die Additivität aus

Entsprechend ergibt sich die skalare Verträglichkeit aus

Zum Nachweis der Injektivität sei mit gegeben. D.h. für alle Linearformen ist . Dann ist aber nach Lemma 14.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) schon

und nach dem Injektivitätskriterium ist injektiv.

Im endlichdimensionalen Fall folgt die Bijektivität aus der Injektivität und aus Korollar 13.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)).


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Zeige, dass die Abbildung

surjektiv ist.


Lösung

Sei vorgegeben. Da nicht konstant ist, ist auch nicht konstant und besitzt nach dem Fundamentalsatz der Algebra eine Nullstelle. Also gibt es ein mit

also


Aufgabe (2 Punkte)

Zu einer -Matrix sei

Zeige, dass ist.


Lösung

Es ist


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

mit . Zeige durch Induktion, dass

ist.


Lösung

Für

ist die Aussage klar. Sei die Aussage für bewiesen. Dann ist


Aufgabe (9 (1+4+4) Punkte)

Es sei

ein Endomorphismus auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum und sei ein Eigenvektor zu zum Eigenwert . Es sei

die duale Abbildung zu . Wir betrachten Basen von der Form mit der Dualbasis . Man gebe Beispiele für das folgende Verhalten.

a) ist Eigenvektor von zum Eigenwert unabhängig von .

b) ist Eigenvektor von zum Eigenwert bezüglich einer Basis , aber nicht bezüglich einer Basis .

c) ist bezüglich keiner Basis ein Eigenvektor von .


Lösung

a) Wir betrachten die Identität auf . Jeder Vektor

ist Eigenvektor zum Eigenwert . Die duale Abbildung ist ebenfalls die Identität, und daher ist unabhängig von der gewählten Basis ein Eigenvektor zum Eigenwert der dualen Abbildung.

b) Wir betrachten die durch die Matrix gegebene lineare Abbildung

Der Standardvektor ist ein Eigenvektor zum Eigenwert . Bezüglich der Dualbasis zur Standardbasis wird die duale Abbildung durch die gleiche (transponierte) Matrix beschrieben und somit ist auch ein Eigenvektor zum Eigenwert . Wenn wir dagegen die Basis betrachten, so ist einerseits

und andererseits

also sind und linear unabhängig (wegen ist nicht die Nullabbildung) und daher ist kein Eigenvektor der dualen Abbildung.

c) Wir betrachten die durch gegebene lineare Abbildung

mit dem Eigenvektor zum Eigenwert und eine Basis der Form mit . Es ist einerseits

und andererseits

Wegen und sind und linear unabhängig, ist also kein Eigenvektor der dualen Abbildung.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine Matrix in jordanscher Normalform, wobei nur ein Eigenwert auftrete. Zeige, dass die Anzahl der Jordanblöcke in gleich der Dimension des Eigenraumes ist.


Lösung

Die zu gehörende lineare Abbildung ist die direkte Summe der zu den Jordan-Blöcken gehörenden linearen Abbildungen auf den zugehörigen Teilräumen. Ein Eigenvektor der Gesamtabbildung muss die Eigenschaft haben, dass jede Komponente davon (bezüglich der Zerlegung) ein Eigenvektor für diese Komponentenabbildung oder gleich ist. Der Gesamteigenraum ist also die direkte Summe der einzelnen Eigenräume. Daher muss man sich nur eine einzige Jordanmatrix anschauen. Für eine solche Matrix ist aber der Eigenraum in der Tat eindimensional.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei der Körper mit zwei Elementen und sei

der zweidimensionale Standardraum über . Zeige, dass jede zweielementige Teilmenge eine affine Gerade ist.


Lösung

Die zwei Punkte seien . Es genügt nach Lemma 29.14 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) zu zeigen, dass unter baryzentrischen Kombinationen abgeschlossen ist. Wegen und sind die einzigen baryzentrischen Kombinationen der beiden Punkte

und

die beide zu der Menge gehören.