Kurs:Lineare Algebra/Teil II/10/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 3 4 0 5 2 5 0 2 4 4 0 4 5 47




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine Orthonormalbasis in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Die Höhe in einem Dreieck.
  3. Die Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe .
  4. Die Gramsche Matrix zu einer Sesquilinearform auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum bezüglich einer Basis .
  5. Eine kompakte Teilmenge .
  6. Die Äquivalenz von zwei Normen und auf einem -Vektorraum .


Lösung

  1. Eine Basis , von heißt Orthonormalbasis, wenn

    gilt.

  2. Zu einem Dreieck in einer euklidischen Ebene heißt die Gerade durch , die senkrecht auf der Geraden durch und steht, die Höhengerade durch . Die Verbindungsstrecke von zur Geraden durch und heißt Höhe durch .
  3. Für Elemente setzt man , wenn gilt.
  4. Die -Matrix

    heißt die Gramsche Matrix von bezüglich dieser Basis.

  5. Eine Teilmenge heißt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.
  6. Die zwei Normen heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Topologie, also die gleichen offenen Mengen definieren.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz des Pythagoras in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Das Eigenwertkriterium für eine reell-symmetrische Bilinearform.
  3. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.


Lösung

  1. Es seien Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen. Dann ist
  2. Sei eine symmetrische Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum und sei eine Basis von . Es sei die Gramsche Matrix zu bezüglich dieser Basis. Dann besitzt der Typ der Form folgende Interpretation: ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu zu positiven Eigenwerten und ist die Summe der Dimensionen der Eigenräume zu zu negativen Eigenwerten.
  3. Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und

    ein Endomorphismus. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

    1. ist stabil.
    2. Zu jedem ist die Folge , , beschränkt.
    3. Es gibt ein Erzeugendensystem derart, dass , , beschränkt ist.
    4. Der Betrag eines jeden komplexen Eigenwerts von ist kleiner oder gleich und die Eigenwerte mit Betrag sind diagonalisierbar, d.h. ihre algebraische Vielfachheit ist gleich ihrer geometrischen Vielfachheit.
    5. Für eine beschreibende Matrix von , aufgefasst über , sind die Jordan-Blöcke der jordanschen Normalform gleich

      mit oder gleich mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein normierter -Vektorraum und ein affiner Raum über . Zeige, dass durch

zu einem metrischen Raum wird.


Lösung

  1. Es ist genau dann, wenn , also ist.
  2. Es ist
  3. Für einen beliebigen Punkt ist nach der Definition einer Norm


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine lineare Abbildung

an, deren Ordnung ist und die keine Isometrie ist.


Lösung

Wir betrachten

Es ist

die Ordnung ist also . Es liegt keine Isometrie vor, da der erste Standardvektor auf , also auf einen Vektor der Länge abgebildet wird.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei der Winkel zwischen dem ersten Standardvektor und dem Vektor im . Bestimme den Grenzwert


Lösung

Es ist

und

Somit ist

Für konvergiert dies gegen . Da der Arkuskosinus stetig ist, konvergiert

gegen


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Lösung

Die Kreisgleichungen der beiden Kreise sind

und

Die Differenz der beiden Gleichungen ergibt

Also ist

Dies setzen wir in die erste Kreisgleichung ein und erhalten

Nach der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung ist

Somit ist

und

Die Schnittpunkte sind also

und


Aufgabe (2 Punkte)

Linie.png

Diskutiere, ob es sinnvoll ist, die Ecken eines Dreiecks in der Ebene immer gleichermaßen gegen den Uhrzeigersinn mit zu bezeichnen, insbesondere unter Berücksichtigung des Bildes rechts.


Lösung Dreieck/Orientierte Notation/Bild/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Kathetensatz vektoriell.


Lösung

Wir setzen und . Der Verbindungsvektor von nach ist dann gleich . Wir setzen den Höhenfußpunkt als

mit einem und den Richtungsvektor der Höhe als

an. Die Orthogonalitätsbedingung für die Höhe führt auf

und somit ist

Daher ist


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die Züge des Springers im Schach auf einem -Brett. Ist es möglich, durch eine Zugfolge mit dem Springer alle Felder genau einmal zu treffen?


Lösung

Dies ist nicht möglich. Von jedem Eckpunkt aus gelangt man mit einem Pferdsprung nur in eines der inneren vier Felder. Nehmen wir an, es gibt eine solche Durchlaufungskette. Es können maximal zwei Ecken am Anfang oder am Ende dieser Durchlaufungskette stehen. Es gibt also mindestens zwei Ecken, die sowohl einen Vorgänger als auch einen Nachfolger haben. Wenn diese benachbart sind, so sind dadurch schon alle inneren Felder abgedeckt und für die beiden anderen Ecken gibt es keine Anschlussmöglichkeit. Wenn sie gegenüber liegen, so liegt ein Viererzyklus vor, und eben keine vollständige Kette.


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus


Lösung

Wenn injektiv ist, so darf auf jedes Element höchstens ein Element aus gehen. Da auf geschickt wird, darf kein weiteres Element auf gehen, d.h. . Sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass beide auf geschickt werden. Dann ist

und damit ist , also nach Voraussetzung und damit .


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Gruppe und ein Element mit endlicher Ordnung. Zeige, dass die Ordnung von mit dem minimalen übereinstimmt, zu dem es einen Gruppenhomomorphismus

gibt, in dessen Bild das Element liegt.


Lösung

Wenn im Bild eines Gruppenhomomorphismus

liegt, so liegt insbesondere in einer Untergruppe einer Ordnung und nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung von ebenfalls . Die Ordnung ist also höchstens gleich dem Minimum der natürlichen Zahlen , für die es einen solchen Gruppenhomomorphismus gibt.

Sei umgekehrt die Ordnung von . Der kanonische Gruppenhomomorphismus

besitzt den Kern . Aufgrund des Satzes vom induzierten Homomorphismus induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Gruppenhomomorphismus

und gehört dabei zum Bild.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein reeller Vektorraum. Zeige, dass die Äquivalenz von Normen auf eine Äquivalenzrelation ist. Auf welcher Menge „lebt“ diese Äquivalenzrelation? Wie viele Äquivalenzklassen gibt es, wenn endlichdimensional ist?


Lösung Norm/Äquivalent/Äquivalenzrelation/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

eine reelle quadratische Matrix mit nichtnegativen Einträgen. Zeige, dass genau dann spaltenstochastisch ist, wenn für Vektoren mit nichtnegativen Einträgen isometrisch bezüglich der Summennorm ist, wenn also

für alle gilt.


Lösung

Es sei eine spaltenstochastische Matrix und

ein Vektor mit nichtnegativen Einträgen. Dann ist

Wenn umgekehrt die angegebene isometrische Eigenschaft gilt, so gilt insbesondere für die Bilder der Standardvektoren, dass ihre Summennorm gleich sein muss. Diese Bilder stehen in der entsprechenden Spalte der Matrix, alle Spaltensummen haben also den Wert .