Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Arbeitsblatt 41

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme den Kern der Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&3\\4&6\end{pmatrix}}$ und den Kern der transponierten Matrix ${}{\begin{pmatrix}2&4\\3&6\end{pmatrix}}$.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine bijektive winkeltreue Abbildung auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$. Zeige, dass die adjungierte Abbildung ebenfalls winkeltreu ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und einer Basis ${}v_{i}$, ${}i\in I$. Es seien

$\varphi ,\psi \colon V\longrightarrow V$

lineare Abbildungen. Zeige, dass ${}\psi$ genau dann die adjungierte Abbildung zu ${}\varphi$ ist, wenn

${}\left\langle \varphi (v_{i}),v_{j}\right\rangle =\left\langle v_{i},\psi (v_{j})\right\rangle \,$

für alle ${}i,j\in I$ ist.

Aufgabe

Die lineare Abbildung ${}\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\rightarrow {\mathbb {C} }^{3}$ werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}5-2{\mathrm {i} }&3-7{\mathrm {i} }&4-7{\mathrm {i} }\\1-8{\mathrm {i} }&9-2{\mathrm {i} }&17{\mathrm {i} }\\6&8-9{\mathrm {i} }&2-2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

beschrieben. Bestimme die Matrix des adjungierten Endomorphismus.

Aufgabe

Die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}-3&7\\4&5\end{pmatrix}}$ beschrieben. Auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei ein Skalarprodukt ${}\Psi$ durch ${}\Psi (e_{1},e_{1})=4$, ${}\Psi (e_{2},e_{2})=5$ und ${}\Psi (e_{1},e_{2})=3$ gegeben. Bestimme die Matrix des adjungierten Endomorphismus zu ${}\varphi$ bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}3\\-5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}{\left(\varphi +\psi \right)}^{\hat {}}={\hat {\varphi }}+{\hat {\psi }}\,.$

2. ${}{\left(s\varphi \right)}^{\hat {}}={\overline {s}}{\hat {\varphi }}\,.$

3. ${}{\left({\hat {\varphi }}\right)}^{\hat {}}=\varphi \,.$

4. ${}{\left(\varphi \circ \psi \right)}^{\hat {}}={\hat {\psi }}\circ {\hat {\varphi }}\,.$

Aufgabe *

Es seien ${}V$ und ${}W$ euklidische Vektorräume und ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ ein Endomorphismus mit adjungiertem Endomorphismus ${}{\hat {\varphi }}$. Es sei ${}\psi \colon V\rightarrow W$ eine Isometrie. Zeige, dass der adjungierte Endomorphismus zu

$\psi \circ \varphi \circ \psi ^{-1}\colon W\longrightarrow W$

gleich ${}\psi \circ {\hat {\varphi }}\circ \psi ^{-1}$ ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler komplexer Vektorraum mit einem Skalarprodukt und einer ${}{\mathbb {C} }$- linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$. Es sei ${}{\hat {\varphi }}$ der adjungierte Endomorphismus zu ${}\varphi$. Zeige, dass ${}{\hat {\varphi }}$ mit dem adjungierten Endomorphismus zu ${}\varphi$, aufgefasst als reell-lineare Abbildung, bezüglich des zugehörigen reellen Skalarproduktes übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass die Zuordnung

$\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}\longrightarrow \operatorname {End} _{}{\left(V\right)},\,\varphi \longmapsto {\hat {\varphi }},$

antilinear ist.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei

${}V=V_{1}\oplus V_{2}\,$

die direkte Summe der Untervektorräume ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$. Es seien

$\varphi _{1}\colon V_{1}\longrightarrow V_{1}$

und

$\varphi _{2}\colon V_{2}\longrightarrow V_{2}$

lineare Abbildungen und

${}\varphi =\varphi _{1}\oplus \varphi _{2}\,$

die Summe davon.

1. Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h. ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ stehen senkrecht aufeinander. Zeige

   ${}{\hat {\varphi }}={\hat {\varphi _{1}}}\oplus {\hat {\varphi _{2}}}\,.$

2. Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum mit dem Dualraum ${}{V}^{*}$.

1. Zeige, dass durch

   ${}\left\langle f,g\right\rangle :=\left\langle \operatorname {Grad} \,f,\operatorname {Grad} \,g\right\rangle \,$

   ein Skalarprodukt auf dem Dualraum erklärt wird.

2. Zeige, dass die natürliche Abbildung

   $V\longrightarrow {V}^{*},\,v\longmapsto \left\langle v,-\right\rangle ,$

   eine Isometrie zwischen ${}V$ und ${}{V}^{*}$ stiftet.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Identität ist selbstadjungiert.
2. Die Hintereinanderschaltung von zwei selbstadjungierten Abbildungen ist wieder selbstadjungiert.
3. Zu einer bijektiven selbstadjungierten Abbildung ist auch die Umkehrabbildung selbstadjungiert.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

ein selbstadjungierter Endomorphismus und ${}U\subseteq V$ ein ${}\varphi$- invarianter Untervektorraum. Zeige, dass auch die Einschränkung

$\varphi {|}_{U}\colon U\longrightarrow U$

selbstadjungiert ist.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass es zu jeder Linearform ${}f\in {V}^{*}$ einen eindeutig bestimmten Vektor ${}y\in V$ mit

${}f(v)=\left\langle y,v\right\rangle \,$

für alle ${}v\in V$ und einen eindeutig bestimmten Vektor ${}z\in V$ mit

${}f(v)=\left\langle v,z\right\rangle \,$

für alle ${}v\in V$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zeige, dass die Menge der selbstadjungierten Endomorphismen von ${}V$ einen Untervektorraum in ${}\operatorname {End} _{}{\left(V\right)}$ bilden.

Aufgabe

Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine Isometrie auf einem euklidischen Vektorraum ${}V$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann selbstadjungiert ist, wenn die Ordnung von ${}\varphi$ gleich ${}1$ oder gleich ${}2$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ eine reell-symmetrische ${}2\times 2$- Matrix. Zeige, dass ${}M$ einen Eigenwert besitzt.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {K} }$- Vektorraum und ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Es sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ das durch

${}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle ={\begin{cases}1,{\text{ falls }}i=j,\\0\,{\text{ sonst}},\end{cases}}\,$

definierte Skalarprodukt auf ${}V$. Zu einer linearen Abbildung bezeichne ${}\Psi _{\varphi }$ die (über $\left\langle -,-\right\rangle$) zugehörige Sesquilinearform. Zeige, dass die Gramsche Matrix von ${}\Psi _{\varphi }$ bezüglich der Basis mit der beschreibenden Matrix von ${}\varphi$ bezüglich der Basis übereinstimmt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},V_{n+1}$ Vektorräume über ${}{\mathbb {C} }$, es seien

$\varphi _{i}\colon V_{i}\longrightarrow V_{i+1}$

lineare oder antilineare Abbildungen und es sei

${}\varphi =\varphi _{n}\circ \varphi _{n-1}\circ \cdots \circ \varphi _{2}\circ \varphi _{1}\,$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen. Zeige durch Induktion über ${}n$ die beiden folgenden Aussagen.

1. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen gerade ist, so ist ${}\varphi$ linear.
2. Wenn die Anzahl der antilinearen Abbildungen ungerade ist, so ist ${}\varphi$ antilinear.

Gilt von diesen Aussagen auch die Umkehrung?

Aufgabe (4 Punkte)

Die lineare Abbildung ${}\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}-6&-3\\4&5\end{pmatrix}}$ beschrieben. Auf dem ${}\mathbb {R} ^{2}$ sei ein Skalarprodukt ${}\Psi$ durch ${}\Psi (e_{1},e_{1})=3$, ${}\Psi (e_{2},e_{2})=7$ und ${}\Psi (e_{1},e_{2})=2$ gegeben. Bestimme die Matrix des adjungierten Endomorphismus zu ${}\varphi$ bezüglich des gegebenen Skalarproduktes und bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}4\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-2\\-7\end{pmatrix}}$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

die lineare Abbildung, die bezüglich der Basis ${}{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\6\end{pmatrix}}$ durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}3&-2\\-4&7\end{pmatrix}}$ gegeben sei. Bestimme die Matrix zum adjungierten Endomorphismus von ${}\varphi$ bezüglich dieser Basis.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{2}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{2}$

die lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix ${}{\begin{pmatrix}4&-2+9{\mathrm {i} }\\-2-9{\mathrm {i} }&5\end{pmatrix}}$ gegeben sei. Bestimme die Eigenwerte und die Eigenvektoren von ${}\varphi$.

Aufgabe (4 (1+1+1+1) Punkte)

Zeige, dass die Matrix

${\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}},$

aufgefasst als lineare Abbildung von ${}\mathbb {R} ^{2}$ nach ${}\mathbb {R} ^{2}$, nicht selbstadjungiert ist, und zwar mit den folgenden Methoden.

1. Bestimme die adjungierte Abbildung zu ${}M$.
2. Lemma 41.10  (1) ist nicht erfüllt.
3. Lemma 41.10  (3) ist nicht erfüllt.
4. Es gibt keine Orthonormalbasis von ${}\mathbb {R} ^{2}$ aus Eigenvektoren zu ${}M$ (d.h. die Konklusion aus Satz 41.11 ist nicht erfüllt.)