Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/16/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 3 4 6 1 4 4 6 4 6 3 9 5 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung

    wobei

    eine Funktion auf einer offenen Teilmenge ist.

  2. Ein euklidischer Vektorraum.
  3. Die Kurvenlänge einer Kurve
  4. Ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten (über ).
  5. Die -fache stetige Differenzierbarkeit einer Abbildung zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen und .
  6. Eine harmonische Funktion

    auf einer offenen Teilmenge .


Lösung

  1. Unter einer Lösung der Differentialgleichung versteht man eine Funktion

    auf einem mehrpunktigen Intervall , die folgende Eigenschaften erfüllt.

    1. Es ist für alle .
    2. Die Funktion ist differenzierbar.
    3. Es ist für alle .
  2. Unter einem euklidischen Vektorraum versteht man einen reellen endlichdimensionalen Vektorraum mit Skalarprodukt.
  3. Unter der Kurvenlänge von versteht man
  4. Eine Differentialgleichung der Form

    wobei

    eine Matrix mit Einträgen ist, heißt homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

  5. Die -fache stetige Differenzierbarkeit liegt vor, wenn für jede Auswahl von Vektoren aus die höhere Richtungsableitung

    in Richtung existiert und stetig ist.

  6. Eine zweimal differenzierbare Funktion

    auf einer offenen Teilmenge heißt harmonisch, wenn

    ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld
    gegebenes Anfangswertproblem.
  2. Der Satz über implizite Abbildungen.
  3. Das Ableitungskriterium für die Lipschitz-Eigenschaft eines Vektorfeldes


Lösung

  1. Zu und einer Lösung

    der eindimensionalen Differentialgleichung

    ist

    eine Lösung des Anfangswertproblems

  2. Sei offen und sei

    eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei und es sei die Faser durch . Das totale Differential sei surjektiv. Dann gibt es eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung

    derart, dass ist und eine Bijektion

    induziert.
  3. Es sei ein reelles offenes Intervall, eine offene Menge und

    ein Vektorfeld auf derart, dass die partiellen Ableitungen nach existieren und stetig sind. Dann genügt

    lokal einer Lipschitz-Bedingung.


Aufgabe (3 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Lösung

Eine Stammfunktion zu ist

Nach Satz 32.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich

mit einer Konstanten . Die Anfangsbedingung führt auf

also ist

Die Lösung des Anfangswertproblems ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten im die offenen Bälle und . Man gebe für jeden Punkt

einen expliziten offenen Ball mit Mittelpunkt an, der ganz innerhalb von liegt.


Lösung

Sei . Dies bedeutet einerseits

und andererseits

also

Sei

Wir behaupten

sei dazu . Die erste Inklusion ergibt sich aus

und die zweite Inklusion ergibt sich aus


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Aussage, dass eine Folge im (versehen mit der euklidischen Metrik) genau dann konvergiert, wenn sämtliche Komponentenfolgen konvergieren.


Lösung

Es sei die Gesamtfolge konvergent gegen . Wir behaupten, dass die -te Komponentenfolge gegen konvergiert. Sei (ohne Einschränkung) und vorgegeben. Wegen der Konvergenz der Gesamtfolge gibt es ein mit für alle . Daher ist


Seien nun alle Komponentenfolgen konvergent, wobei die -te Folge den Grenzwert besitzen möge, und sei ein vorgegeben. Wir setzen und behaupten, dass die Folge gegen konvergiert. Zu gibt es für jede Komponentenfolge ein derart, dass für alle gilt. Dann gilt für alle

die Beziehung



Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere die Funktion


Lösung Skizziere/x^2+y/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine zweimal differenzierbare Kurve in einem euklidischen Vektorraum . Zeige, dass bei die Gleichheit

gilt.


Lösung

Es sei , das wir zu einer Orthogonalbasis von ergänzen. Es seien die Koordinatenfunktionen von zu dieser Basis. Dann ist


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere den Lösungsansatz für Zentralfelder und beweise dessen Korrektheit.


Lösung

Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum . Es sei

ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion

Es sei und es sei

eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung

Dann ist

eine Lösung des Anfangswertproblems

Es ist

und

so dass eine Lösung des Anfangswertproblems vorliegt.


Aufgabe (6 Punkte)

Löse die Differentialgleichung


Lösung

Wegen

ist keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Differentialgleichung. Somit kann man nach Lemma Anhang 2.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) den Ansatz

machen. Die linke Seite wird dann zu

Der Vergleich

liefert

also

und

also

Somit ist

eine Lösung der Differentialgleichung.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein Intervall, ein reeller Vektorraum und

eine differenzierbare Kurve. Zeige, dass zwischen dem totalen Differential und der Kurven-Ableitung die Beziehung

besteht.


Lösung

Die Kurvendifferenzierbarkeit im Punkt bedeutet nach Definition ***** die Existenz des Limes

Diese Existenz ist (entsprechend Satz 14.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))) dazu äquivalent, dass man

mit einem Vektor und einer in stetigen Abbildung mir schreiben kann (wobei sein muss). Dabei kann man hinten durch ersetzen (wobei man auch abwandeln muss). Diese lineare Approximierbarkeit ist aber die Definition der totalen Differenzierbarkeit, und zwar ist die lineare Abbildung durch

gegeben. Somit ist


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ein Polynom in zwei Variablen der Bauart

Zeige ohne Differentialrechnung, dass im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten ein derart, dass die Einschränkung von auf außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.


Lösung

Für jedes mit und ist

wobei die letzte Abschätzung für Punkte mit gilt. Es seien Koeffizienten und es sei das Maximum der Beträge der . Wir setzen

Dann ist für mit

Insbesondere liegt im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert vor.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die kritischen Punkte der Funktion


Lösung

Der Gradient der Funktion ist

Zur Bestimmung der kritischen Punkte setzen wir und . Die erste Bedingung führt auf und die zweite Bedingung auf . Die kritischen Punkte sind also und .


Aufgabe (9 (1+4+1+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Zeige, dass nicht injektiv ist.
  2. Zeige, dass die Einschränkung von auf injektiv ist.
  3. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  4. Bestimme die kritischen Punkte von . Welches geometrische Gebilde bilden diese?
  5. Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechteckes


Lösung

  1. Die beiden Punkte und werden beide auf abgebildet, die Abbildung ist also nicht injektiv.
  2. Wir machen den Ansatz

    Aus der zweiten Gleichung folgt (wegen )

    und daraus mit der ersten Gleichung

    Die Ableitung dieser Funktion nach ist

    Dies ist stets positiv, da alle drei Summanden positiv sind. D.h. ist streng wachsend und so kann es zu gegebenem höchstens eine Lösung für geben, was wegen der ersten Bedingung auch eindeutig festlegt.

  3. Die Jacobi-Matrix ist
  4. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

    Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn diese Determinante ist, was also bei

    der Fall ist. Daher bilden die kritischen Punkten den Einheitskreis.

  5. Die Abbildung ist auf dem Rechteck injektiv und darauf überall regulär, daher ist nach Korollar 60.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))


Aufgabe (5 Punkte)

Ein Eimer steht im Garten, gestern abend war er leer. Der Eimer ist cm hoch, er hat am Boden einen Durchmesser von cm und oben am Rand einen Durchmesser von cm. Über Nacht hat es cm geregnet. Wie hoch ist der Wasserstand im Eimer am Morgen?


Lösung

Wir denken uns den Eimer als Ausschnitt aus einem Kegel mit runder Grundseite. Wenn der Eimer bis zur Höhe gefüllt ist, so ist das Wasservolumen darin nach Satz 58.17 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) gleich

Die Wasserzufuhr in den Eimer hängt vom oberen Querschritt ab. Bei einer Regenmenge von cm ist dies

Dies führt zur Bedingung

bzw.

bzw.

Also ist


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Lösung

Aufgrund des Satzes von Fubini ist