Algebraische Derivationen und Differentiale/Einführung/Textabschnitt/kontrolle
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative -Algebra und ein -Modul. Dann heißt eine -lineare Abbildung
mit
für alle eine Derivation (mit Werten in ).
Die dabei verwendete Regel nennt man Leibniz-Regel. Oft ist . Für den Polynomring sind beispielsweise die -ten (formalen) partiellen Ableitungen
-Derivationen von nach . Die Menge der Derivationen von nach ist in natürlicher Weise ein -Modul. Er wird mit bezeichnet.
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra. Der von allen Symbolen , , erzeugte -Modul, modulo den Identifizierungen
und
heißt Modul der Kähler-Differentiale von über . Er wird mit
bezeichnet.
Bei dieser Konstruktion startet man also mit dem freien -Modul mit , als Basis und bildet den -Restklassenmodul zu demjenigen Untermodul, der von den Elementen
und
erzeugt wird. Die Abbildung
heißt die universelle Derivation. Man prüft sofort nach, dass es sich um eine -Derivation handelt.
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra. Dann besitzt der -Modul der Kähler-Differentiale die folgende universelle Eigenschaft.
Zu jedem -Modul und jeder -Derivation
gibt es eine eindeutig bestimmte -lineare Abbildung
mit .
Für jedes
, ,
muss sein. Da die ein
-Modul-Erzeugendensystem
von bilden, kann es maximal nur einen solchen Homomorphismus geben.
Es sei der
freie Modul
zur
Basis
, .
Die Zuordnung
legt
nach dem Festlegungssatz
einen
-Modulhomomorphismus
fest. Es ist , wobei der von den Elementen erzeugte Untermodul ist, die die Leibnizregel und die Linearität ausdrücken. Da eine Derivation ist, wird unter auf abgebildet. Daher gibt es nach dem Homomorphiesatz eine eindeutige -lineare Abbildung
mit
Diese Aussage kann man auch so ausdrücken, dass eine natürliche
-Modulisomorphie
vorliegt. Insbesondere ist
wobei rechts der Dualmodul genommen wird.
Es sei ein kommutativer Ring, eine kommutative -Algebra und der Modul der Kähler-Differentiale. Dann gelten folgende Eigenschaften.
- Es ist für alle .
- Man kann
als den Restklassenmodul des freien -Moduls zur Basis , , modulo dem Untermodul, der von den Leibnizrelationen und von , , erzeugt wird, beschreiben.
- Bei ist , , ein -Modulerzeugendensystem von .
- Sei
.
Für ein Polynom
und das zugehörige Element
gilt in die Beziehung
wobei die -te partielle Derivation bezeichnet.
- Zu einem kommutativen Diagramm
wobei die Pfeile Ringhomomorphismen repräsentieren, gibt es eine eindeutig bestimmte -lineare Abbildung
- Es sei . Wegen der -Linearität ist
.
Wegen der Produktregel ist
sodass durch Subtraktion folgt.
- Wir zeigen, dass der in Frage stehende Untermodul mit dem Untermodul übereinstimmt, der von allen Leibnizrelationen und von den Linearitätsrelationen erzeugt wird. Nach Teil (1) ist die Inklusion
klar. Für und gilt modulo die Gleichheit
sodass also auch die Linearitätsrelationen zu gehören.
- Dies folgt aus der Linearität und der Leibnizregel.
- Beide Seiten sind -linear, sodass es genügt, die Aussage für Monome zu zeigen. Für Monome beweist man die Aussage durch Induktion über den Gesamtgrad des Monoms.
- Da über
eine -Algebra ist, ist auch ein -Modul. Die Verknüpfung
ist eine -Derivation, wie man unmittelbar nachrechnet. Aufgrund der universellen Eigenschaft von gibt es eine eindeutig bestimmte -lineare Abbildung
Es sei ein kommutativer Ring und der Polynomring in Variablen über .
Dann ist der Modul der Kähler-Differentiale der freie -Modul zur Basis
Die universelle Derivation ist bezüglich dieser Basis durch
gegeben.
Es sei der von den Symbolen erzeugte freie -Modul. Die Abbildung
die das Basiselement auf das Differential schickt, ist nach Fakt (3) surjektiv. Die -te partielle Ableitung
ist eine -Derivation, sodass es aufgrund der universellen Eigenschaft des Moduls der Differentialformen eine -lineare Abbildung
mit gibt. Dabei ist und für . Diese Abbildungen ergeben zusammen eine -lineare Abbildung
für die gilt. Daher ist auch injektiv.
Im Allgemeinen ist der Modul der Kähler-Differentiale nicht frei. Wenn ein Körper und der lokale Ring zu einem Punkt auf einer Varietät ist, so charakterisiert die Freiheit des Moduls sogar, dass der Punkt glatt ist, siehe
Fakt
und
Fakt.
Es sei ein kommutativer Ring und es seien und kommutative -Algebren und
ein -Algebrahomomorphismus.
Dann ist die Sequenz
von -Moduln exakt.
Dabei geht auf und (in ) auf (in ).
Die Surjektivität rechts ist klar. Zur Exaktheit an der zweiten Stelle verwenden wir die Beschreibung aus Fakt (2). Die beiden Moduln und besitzen das gleiche Erzeugendensystem und auch die Leibnizrelationen sind für beide gleich. Der Modul ergibt sich aus gerade dadurch, dass man den von den , , erzeugten -Untermodul zu macht. Dieser Untermodul ist genau das Bild der Abbildung links.
Es sei ein kommutativer Ring, es sei eine kommutative -Algebra und ein Ideal mit dem Restklassenring .
Dann ist die Sequenz
von -Moduln exakt.
Dabei geht auf und auf .
Die -lineare Abbildung
kann man auf das Ideal einschränken. Durch Tensorieren mit erhält man unter Verwendung von Fakt (2) die -lineare Abbildung
Die Surjektivität der Abbildung rechts ist klar, da der -Modul von den , , erzeugt wird und diese von , herrühren. Ein Element geht auf und damit auf in , da das Element in selbst wird.
Es sei nun
ein Element, das in auf abbildet. Wir können
mit schreiben. Da es auf in abbildet, gilt in dem von den Symbolden , , erzeugten freien -Modul die Beziehung
wobei und die Erzeuger der Relationen für den Modul der Kähler-Differentiale ist, also gleich mit oder gleich mit und ist. Der angesprochene freie -Modul entsteht aus dem durch die , , erzeugten freien -Modul einfach dadurch, dass man die Koeffizienten aus und die zu macht. Somit gilt in diesem freien -Modul
mit , und . In wird wegen der Tensorierung zu und daher gilt dort in der Tat
Es sei ein kommutativer Ring und es sei eine kommutative endlich erzeugte -Algebra, die als
gegeben sei.
Dann ist
Es sei ein kommutativer Ring und es sei eine kommutative endlich erzeugte -Algebra, die als gegeben sei. Dann ist nach Fakt (4)
und nach Fakt gibt es eine exakte Sequenz
wobei
die transponierte Jacobi-Matrix (ohne Auswertung an einem Punkt) ist. Die Standardvektoren werden auf abgebildet und die Spaltenvektoren , die die Nullelemente repräsentieren, sind die Bilder der durch die Matrix gegebenen Abbildung.
Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative endliche erzeugte -Algebra. Es sei ein Ringhomomorphismus und sei .
Dann ist
Es sei . Nach Bemerkung liegt eine exakte Sequenz
vor, wobei die transponierte Jacobi-Matrix zu den ist. Tensorierung mit über ergibt
Wegen mit den aufgefasst über ist auch
sodass die in Frage stehenden -Moduln übereinstimmen.