Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)/Arbeitsblatt 4/kontrolle
- Übungsaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Finde ein Ideal, dessen Nullstellenmenge das folgende Gebilde ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Teilmenge, die aus endlich vielen Punkten bestehe. Zeige: ist genau dann irreduzibel, wenn einpunktig ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Skizziere ein Beispiel einer zusammenhängenden, aber nicht irreduziblen affin-algebraischen Teilmenge.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die irreduziblen Komponenten der reellen Hyperbel.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und ein Primideal. Zeige, dass die Verschwindungsmenge leer (und damit nicht irreduzibel) oder aber einpunktig (und damit irreduzibel) ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper und ein Primideal. Zeige, dass die Verschwindungsmenge nur dann irreduzibel ist, wenn sie einpunktig ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass das reelle Polynom
ein Primpolynom ist, und dass die Nullstellenmenge
nicht leer, aber reduzibel ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne in den Schnitt des Zylinders mit der Kugel mit Mittelpunkt und Radius in Abhängigkeit von . Wann ist der Durchschnitt leer, wann irreduzibel?
Man darf verwenden, dass der reelle Kreis irreduzibel ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Betrachte die Menge der reellen Zahlen mit der metrischen Topologie. Ist irreduzibel?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und der zugehörige Restklassenkörper. Zeige: Jede Quadrik der Form
mit hat mindestens eine Lösung in .
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Ideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Kern eines Ringhomomorphismus in einen Körper ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass ein maximales Ideal in einem kommutativen Ring ein Primideal ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei ein kommutativer Ring und ein Ideal. Zeige, dass genau dann ein Primideal ist, wenn der Restklassenring ein Integritätsbereich ist.
Aufgabe Aufgabe 4.15 ändern
Es sei ein Primideal in einem kommutativen Ring . Zeige, dass aus einer Inklusionsbeziehung
die Inklusion oder folgt.
Aufgabe Aufgabe 4.16 ändern
Es seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Es sei ein Primideal in . Zeige, dass das Urbild ein Primideal in ist.
Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und der Quotientenkörper des Polynomrings . Zeige, dass es unendlich viele Zwischenkörper zwischen und gibt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Erkläre, wo der Beweis zu Satz 4.8 zusammenbricht, wenn man ihn auf mehr als zwei Variablen ausdehnen will.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien und nichtkonstante Polynome in der einen angegebenen Variablen. Man gebe eine Abschätzung (unter welcher Bedingung?) für die Anzahl der Schnittpunkte der beiden Kurven und .
In den folgenden Aufgabe werden die Begriffe abgeschlossene Abbildung und offene Abbildung verwendet.
Eine stetige Abbildung
zwischen topologischen Räumen und heißt abgeschlossen, wenn Bilder von abgeschlossenen Mengen wieder abgeschlossen sind.
Sie heißt offen, wenn Bilder von offenen Mengen wieder offen sind.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Zeige, dass eine ebene algebraische Kurve über den komplexen Zahlen nicht kompakt in der metrischen Topologie ist.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Primzahl und der zugehörige Restklassenkörper. Es sei ein Polynom der Form
gegeben. Zeige, dass für das zugehörige Nullstellengebilde (wenn nicht alle sind, so ist das eine Quadrik) die folgenden drei Alternativen bestehen.
- besitzt mindestens einen Punkt.
- mit einer Konstanten .
- Es gibt eine Variablentransformation derart, dass das Polynom in den neuen Koordinaten die Gestalt mit einem Nichtquadrat besitzt.
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Sei eine irreduzible, affin-algebraische Menge mit mindestens zwei Punkten und seien endlich viele Punkte darin. Zeige, dass dann auch (in der induzierten Topologie) irreduzibel ist.
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 4.24 ändern
Es sei ein faktorieller Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Zeige: Wenn keinen gemeinsamen Teiler besitzen, so besitzen sie aufgefasst in ebenfalls keinen gemeinsamen Teiler.
(Man darf sich auf Hauptidealbereiche beschränken.)
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Tipp: Man verwende Aufgabe 1.25 und Korollar 4.9.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass die affine Ebene mit der Zariski-Topologie kompakt ist.
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