Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 5

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Aufgaben

Aufgabe

Seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Sei ein Primideal in . Zeige, dass das Urbild ein Primideal in ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.


Aufgabe

Zeige, dass die Spektrumsabbildung zur Reduktion

eines kommutativen Ringes eine Homöomorphie ist.


Aufgabe

Beschreibe das Spektrum einer Lokalisierung eines kommutativen Ringes an einem Primideal .


Aufgabe *

Bestimme für die Ringerweiterung

die Faserringe zu den Primzahlen . Bestimme insbesondere, ob sie reduziert sind, ob ein Körper vorliegt, wie viele Primideale sie enthalten und wie die Restekörper aussehen.


Zur vorstehenden Aufgabe vergleiche auch Aufgabe 18.9.

Aufgabe

Sei . Bestimme die Primideale in , die über den Primzahlen liegen.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring. Bestimme die Fasern zur Spektrumsabbildung zur Ringerweiterung .


Aufgabe *

Sei ein Körper und seien und integre, endlich erzeugte -Algebren. Es sei

ein -Algebrahomomorphismus und ein maximales Ideal in mit . Die Abbildung induziere einen Isomorphismus . Zeige, dass es dann auch ein , , gibt derart, dass ein Isomorphismus ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein maximales Ideal mit Lokalisierung . Es sei ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann auch eine Lokalisierung von ist.


Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu .


Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu . Welche sind endlich?


Aufgabe

Seien und kommutative Ringe. Zeige, dass genau dann eine -Algebra ist, wenn ein -Modul ist, für den zusätzlich

gilt.


Aufgabe

Sei eine kommutative Gruppe. Zeige, dass auf genau eine Weise die Struktur eines -Moduls trägt. Kommutative Gruppen und -Moduln sind also äquivalente Objekte.


Aufgabe *

Es sei ein Modul über dem kommutativen Ring . Es seien und . Zeige


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, und zwei -Moduln und sei

ein Modulhomomorphismus. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Für einen -Untermodul ist auch das Bild ein Untermodul von .
  2. Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untermodul von .
  3. Für einen Untermodul ist das Urbild ein Untermodul von .
  4. Insbesondere ist der Kern ein Untermodul von .


Aufgabe *

Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein -Vektorraum ist.


Aufgabe *

Bestimme den Grad der Körpererweiterung .


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei

ein Automorphismus. Zeige, dass die Einschränkung von auf den Primkörper von die Identität ist.


Aufgabe

Bestimme in das Inverse von .


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung und seien Elemente, die eine -Basis von bilden. Sei , . Zeige, dass auch eine -Basis von bilden.


Aufgabe *

Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein , , mit gibt.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige .


Aufgabe *

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .


Aufgabe

Es sei eine Körpererweiterung vom Grad , wobei eine Primzahl sei. Es sei , . Zeige, dass ist.


Aufgabe

Bestimme den Grad von


Aufgabe *

Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl eine Körpererweiterung vom Grad gibt.


Aufgabe

Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei eine -Basis von . Zeige, dass die Multiplikation auf durch die Produkte

eindeutig festgelegt ist.


Aufgabe

Es seien und zwei endliche Körpererweiterungen von vom Grad bzw. . Es seien und teilerfremd. Zeige, dass dann

ist.


Aufgabe

Zeige, dass man nicht als -Linearkombination von und schreiben kann.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei eine Primzahl. Es sei ein Element, das in keine -te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom irreduzibel ist.


Aufgabe *

Das Polynom ist irreduzibel und definiert daher eine Körpererweiterung

vom Grad . Die Restklasse von in sei mit bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus

und

Nullstellen von sind.


Aufgabe *

Es sei ein Körper und eine Ringerweiterung vom Grad zwei. Zeige, dass es dann die folgenden drei Möglichkeiten gibt.

  1. ist ein Körper.
  2. ist von der Form .
  3. ist der Produktring .


Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung nicht endlich ist.


Aufgabe *

Es sei die Menge aller Zwischenkörper zwischen und . Für Körper setzen wir , falls es einen Körper mit und endlich gibt.

  1. Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Ist ?
  3. Ist ?


Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung , wobei den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ein Körper ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Zeige, dass die -te Hintereinanderschaltung des Frobeniushomomorphismus

durch mit gegeben ist.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik . Zeige, dass die Spektrumsabbildung zum Frobeniushomomorphismus

eine Homöomorphie ist.


Aufgabe

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von für und bzw. .


Aufgabe

Es sei eine Primzahl mit und sei

die quadratische Körpererweiterung von . Zeige, dass die Konjugation mit dem Frobeniushomomorphismus übereinstimmt.



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