Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 5
- Aufgaben
Aufgabe
Es seien und kommutative Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Es sei ein Primideal in . Zeige, dass das Urbild ein Primideal in ist.
Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.
Aufgabe
Aufgabe
Beschreibe das Spektrum einer Lokalisierung eines kommutativen Ringes an einem Primideal .
Aufgabe *
Bestimme für die Ringerweiterung
die Faserringe zu den Primzahlen . Bestimme insbesondere, ob sie reduziert sind, ob ein Körper vorliegt, wie viele Primideale sie enthalten und wie die Restekörper aussehen.
Zur vorstehenden Aufgabe vergleiche auch
Aufgabe 18.9.
Aufgabe
Es sei . Bestimme die Primideale in , die über den Primzahlen liegen.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring. Bestimme die Fasern zur Spektrumsabbildung zur Ringerweiterung .
Aufgabe *
Es sei ein Körper und seien und integre, endlich erzeugte - Algebren. Es sei
ein - Algebrahomomorphismus und ein maximales Ideal in mit . Die Abbildung induziere einen Isomorphismus . Zeige, dass es dann auch ein , , gibt derart, dass ein Isomorphismus ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring und sei ein maximales Ideal mit Lokalisierung . Es sei ein Ideal, dass unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann auch eine Lokalisierung von ist.
Aufgabe
Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu .
Aufgabe
Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu . Welche sind endlich?
Aufgabe
Es seien und kommutative Ringe. Zeige, dass genau dann eine - Algebra ist, wenn ein - Modul ist, für den zusätzlich
gilt.
Aufgabe
Es sei eine kommutative Gruppe. Zeige, dass auf genau eine Weise die Struktur eines - Moduls trägt. Kommutative Gruppen und -Moduln sind also äquivalente Objekte.
Aufgabe *
Es sei ein Modul über dem kommutativen Ring . Es seien und . Zeige
Aufgabe
Sei ein kommutativer Ring, und zwei - Moduln und sei
ein Modulhomomorphismus. Zeige die folgenden Aussagen.
- Für einen - Untermodul ist auch das Bild ein Untermodul von .
- Insbesondere ist das Bild der Abbildung ein Untermodul von .
- Für einen Untermodul ist das Urbild ein Untermodul von .
- Insbesondere ist der Kern ein Untermodul von .
Aufgabe *
Es sei eine Körpererweiterung. Zeige, dass ein - Vektorraum ist.
Aufgabe *
Bestimme den Grad der Körpererweiterung .
Aufgabe
Es sei eine endliche Körpererweiterung vom Grad . Zeige, dass ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei
ein Automorphismus. Zeige, dass die Einschränkung von auf den Primkörper von die Identität ist.
Aufgabe
Bestimme in das Inverse von .
Aufgabe
Es sei eine endliche Körpererweiterung und seien Elemente, die eine - Basis von bilden. Sei , . Zeige, dass auch eine -Basis von bilden.
Aufgabe *
Es sei ein Körper mit einer Charakteristik und es sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein , , mit gibt.
Aufgabe
Es sei eine endliche Körpererweiterung. Zeige .
Aufgabe *
Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .
Aufgabe
Es sei eine Körpererweiterung vom Grad , wobei eine Primzahl sei. Es sei , . Zeige, dass ist.
Aufgabe
Bestimme den Grad von
Aufgabe *
Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl eine Körpererweiterung vom Grad gibt.
Aufgabe
Es sei eine endliche Körpererweiterung und sei eine - Basis von . Zeige, dass die Multiplikation auf durch die Produkte
eindeutig festgelegt ist.
Aufgabe
Es seien und zwei endliche Körpererweiterungen von vom Grad bzw. . Es seien und teilerfremd. Zeige, dass dann
ist.
Aufgabe
Zeige, dass man nicht als - Linearkombination von und schreiben kann.
Aufgabe
Es sei ein Körper und sei eine Primzahl. Es sei ein Element, das in keine -te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom irreduzibel ist.
Aufgabe *
Das Polynom ist irreduzibel und definiert daher eine Körpererweiterung
vom Grad . Die Restklasse von in sei mit bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus
und
Nullstellen von sind.
Aufgabe *
Es sei ein Körper und eine Ringerweiterung vom Grad zwei. Zeige, dass es dann die folgenden drei Möglichkeiten gibt.
- ist ein Körper.
- ist von der Form .
- ist der Produktring .
Aufgabe
Zeige, dass die Körpererweiterung nicht endlich ist.
Aufgabe *
Es sei die Menge aller Zwischenkörper zwischen und . Für Körper setzen wir , falls es einen Körper mit und endlich gibt.
- Zeige, dass eine Äquivalenzrelation ist.
- Ist ?
- Ist ?
Aufgabe
Zeige, dass die Körpererweiterung , wobei den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ein Körper ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte (dabei ist eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung
ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik enthalte. Zeige, dass die -te Hintereinanderschaltung des Frobeniushomomorphismus
durch mit gegeben ist.
Aufgabe
Es sei ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik . Zeige, dass die Spektrumsabbildung zum Frobeniushomomorphismus
eine Homöomorphie ist.
Aufgabe
Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus
bezüglich einer geeigneten - Basis von für und bzw. .
Aufgabe
Es sei eine Primzahl mit und sei
die quadratische Körpererweiterung von . Zeige, dass die Konjugation mit dem Frobeniushomomorphismus übereinstimmt.
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