Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 5

Aufgaben

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus. Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}S$. Zeige, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {p}})$ ein Primideal in ${}R$ ist.

Zeige durch ein Beispiel, dass das Urbild eines maximalen Ideales kein maximales Ideal sein muss.

Aufgabe

Zeige, dass die Spektrumsabbildung zur Reduktion

$R\longrightarrow R/{\mathfrak {n}}_{R}$

eines kommutativen Ringes ${}R$ eine Homöomorphie ist.

Aufgabe

Beschreibe das Spektrum ${}\operatorname {Spek} {\left(R_{\mathfrak {p}}\right)}$ einer Lokalisierung eines kommutativen Ringes ${}R$ an einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$.

Aufgabe *

Bestimme für die Ringerweiterung

${}\mathbb {Z} \subseteq R=\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+2X-1\right)}\,$

die Faserringe zu den Primzahlen  ${}p=2,3,5,11$.  Bestimme insbesondere, ob sie reduziert sind, ob ein Körper vorliegt, wie viele Primideale sie enthalten und wie die Restekörper aussehen.

Zur vorstehenden Aufgabe vergleiche auch Aufgabe 18.9.

Aufgabe

Es sei  ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1)$.  Bestimme die Primideale in ${}R$, die über den Primzahlen  ${}p=2,3,5,7$  liegen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Bestimme die Fasern zur Spektrumsabbildung zur Ringerweiterung  ${}R\subseteq R[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. 

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}R$ und ${}S$ integre, endlich erzeugte ${}K$- Algebren. Es sei

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein ${}K$- Algebrahomomorphismus und ${}{\mathfrak {n}}$ ein maximales Ideal in ${}S$ mit  ${}\varphi ^{-1}({\mathfrak {n}})={\mathfrak {m}}$.  Die Abbildung induziere einen Isomorphismus ${}R_{\mathfrak {m}}\rightarrow S_{\mathfrak {n}}$. Zeige, dass es dann auch ein ${}f\in R$, ${}f\not \in {\mathfrak {m}}$, derart gibt, dass ${}R_{f}\rightarrow S_{\varphi (f)}$ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal mit Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {m}}$. Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein Ideal, das unter der Lokalisierungsabbildung zum Kern gehört. Zeige, dass dann ${}R_{\mathfrak {m}}$ auch eine Lokalisierung von ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu  ${}\mathbb {R} [X]\subseteq {\mathbb {C} }[X]$. 

Aufgabe

Bestimme die Fasern der Spektrumsabbildung zu  ${}\mathbb {Q} [X]\subseteq \mathbb {R} [X]$.  Welche sind endlich?

Aufgabe

Es seien ${}R$ und ${}A$ kommutative Ringe. Zeige, dass ${}A$ genau dann eine ${}R$- Algebra ist, wenn ${}A$ ein ${}R$- Modul ist, für den zusätzlich

$r(ab)=(ra)b{\text{ für alle }}r\in R,\,a,b\in A$

gilt.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe. Zeige, dass ${}G$ auf genau eine Weise die Struktur eines ${}\mathbb {Z}$- Moduls trägt. Kommutative Gruppen und ${}\mathbb {Z}$-Moduln sind also äquivalente Objekte.

Aufgabe *

Es sei ${}V$ ein Modul über dem kommutativen Ring ${}R$. Es seien  ${}s_{1},\ldots ,s_{k}\in R$  und  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$.  Zeige

${}{\left(\sum _{i=1}^{k}s_{i}\right)}\cdot {\left(\sum _{j=1}^{n}v_{j}\right)}=\sum _{1\leq i\leq k,\,1\leq j\leq n}s_{i}\cdot v_{j}\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ und ${}N$ zwei ${}R$- Moduln und sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

ein Modulhomomorphismus. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Für einen ${}R$- Untermodul  ${}S\subseteq M$  ist auch das Bild ${}\varphi (S)$ ein Untermodul von ${}N$.
2. Insbesondere ist das Bild  ${}\operatorname {bild} \varphi =\varphi (M)$  der Abbildung ein Untermodul von ${}N$.
3. Für einen Untermodul  ${}T\subseteq N$  ist das Urbild ${}\varphi ^{-1}(T)$ ein Untermodul von ${}M$.
4. Insbesondere ist der Kern ${}\varphi ^{-1}(0)$ ein Untermodul von ${}M$.

Aufgabe *

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung. Zeige, dass ${}L$ ein ${}K$- Vektorraum ist.

Aufgabe *

Bestimme den Grad der Körpererweiterung  ${}\mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }$. 

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}1$. Zeige, dass  ${}L=K$  ist.

Aufgabe

Es sei ${}L$ ein Körper und sei

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

ein Automorphismus. Zeige, dass die Einschränkung von ${}\varphi$ auf den Primkörper von ${}L$ die Identität ist.

Aufgabe

Bestimme in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]$ das Inverse von ${}2+5{\sqrt {7}}$.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und seien  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in L$  Elemente, die eine ${}K$- Basis von ${}L$ bilden. Sei ${}x\in L$, ${}x\neq 0$. Zeige, dass auch  ${}xv_{1},\ldots ,xv_{n}\in L$  eine ${}K$-Basis von ${}L$ bilden.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer Charakteristik ${}\neq 2$ und es sei ${}K\subset L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es dann ein ${}x\in L$, ${}x\notin K$, mit ${}x^{2}\in K$ gibt.

Aufgabe

Es sei  ${}{\mathbb {C} }\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung. Zeige  ${}{\mathbb {C} }=L$. 

Aufgabe *

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen ${}K\subseteq L\subseteq M$.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine Körpererweiterung vom Grad ${}p$, wobei ${}p$ eine Primzahl sei. Es sei ${}x\in L$, ${}x\not \in K$. Zeige, dass  ${}K[x]=L$  ist.

Aufgabe

Bestimme den Grad von

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt {5}},{\sqrt[{3}]{2}}]\,.$

Aufgabe *

Zeige, dass es zu jeder natürlichen Zahl ${}n$ eine Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq L$  vom Grad ${}n$ gibt.

Aufgabe

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und sei  ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in L$  eine ${}K$- Basis von ${}L$. Zeige, dass die Multiplikation auf ${}L$ durch die Produkte

$x_{i}x_{j},1\leq i\leq j\leq n,$

eindeutig festgelegt ist.

Aufgabe

Es seien ${}\mathbb {Q} \subseteq K\subset {\mathbb {C} }$ und ${}\mathbb {Q} \subseteq L\subset {\mathbb {C} }$ zwei endliche Körpererweiterungen von ${}\mathbb {Q}$ vom Grad ${}d$ bzw. ${}e$. Es seien ${}d$ und ${}e$ teilerfremd. Zeige, dass dann

${}K\cap L=\mathbb {Q} \,$

ist.

Aufgabe

Zeige, dass man ${}{\sqrt {3}}$ nicht als ${}\mathbb {Q}$- Linearkombination von ${}1$ und ${}{\sqrt {2}}$ schreiben kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}p$ eine Primzahl. Es sei ${}a\in K$ ein Element, das in ${}K$ keine ${}p$-te Wurzel besitzt. Zeige, dass das Polynom ${}X^{p}-a$ irreduzibel ist.

Aufgabe *

Das Polynom  ${}F=X^{3}-3X+1\in \mathbb {Q} [X]$  ist irreduzibel und definiert daher eine Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/{\left(X^{3}-3X+1\right)}=:L\,$

vom Grad ${}3$. Die Restklasse von ${}X$ in ${}L$ sei mit ${}\alpha$ bezeichnet. Zeige, dass auch die Elemente aus ${}L$

${}\beta =\alpha ^{2}-2\,$

und

${}\gamma =-\alpha ^{2}-\alpha +2\,$

Nullstellen von ${}F$ sind.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}K\subseteq L$  eine Ringerweiterung vom Grad zwei. Zeige, dass es dann die folgenden drei Möglichkeiten gibt.

1. ${}L$ ist ein Körper.
2. ${}L$ ist von der Form  ${}L=K[\epsilon ]/\epsilon ^{2}$. 
3. ${}L$ ist der Produktring  ${}L=K\times K$. 

Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung  ${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R}$  nicht endlich ist.

Aufgabe *

Es sei ${}M$ die Menge aller Zwischenkörper zwischen ${}\mathbb {Q}$ und ${}{\mathbb {C} }$. Für Körper ${}K_{1},K_{2}\in M$ setzen wir  ${}K_{1}\sim K_{2}$,  falls es einen Körper ${}L\in M$ mit  ${}K_{1}\subseteq L$  und  ${}K_{2}\subseteq L$  endlich gibt.

1. Zeige, dass ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation ist.
2. Ist  ${}\mathbb {R} \sim {\mathbb {C} }$? 
3. Ist  ${}\mathbb {Q} \sim {\mathbb {C} }$? 

Aufgabe

Zeige, dass die Körpererweiterung  ${}\mathbb {R} \subseteq \mathbb {R} (X)$,  wobei ${}\mathbb {R} (X)$ den Körper der rationalen Funktionen bezeichnet, nicht endlich ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring mit endlich vielen Elementen. Zeige, dass ${}R$ genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn ${}R$ ein Körper ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  ${}p>0$  enthalte (dabei ist ${}p$ eine Primzahl). Zeige, dass die Abbildung

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

ein Ringhomomorphismus ist, den man den Frobeniushomomorphismus nennt.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, der einen Körper der positiven Charakteristik  ${}p>0$  enthalte. Zeige, dass die ${}e$-te Hintereinanderschaltung des Frobeniushomomorphismus

$F\colon R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

durch ${}f\mapsto f^{q}$ mit  ${}q=p^{e}$  gegeben ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring der positiven Charakteristik  ${}p>0$.  Zeige, dass die Spektrumsabbildung zum Frobeniushomomorphismus

$R\longrightarrow R,\,f\longmapsto f^{p},$

eine Homöomorphie ist.

Aufgabe

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$

bezüglich einer geeigneten ${}{\mathbb {F} }_{p}$- Basis von ${}{\mathbb {F} }_{q}$ für ${}p=2$ und ${}q=4$ bzw. ${}q=8$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl mit  ${}p=3\mod 4$  und sei

${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq \mathbb {Z} /(p)[{\mathrm {i} }]=\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{2}+1\right)}={\mathbb {F} }_{p^{2}}\,$

die quadratische Körpererweiterung von ${}\mathbb {Z} /(p)$. Zeige, dass die Konjugation ${}{\mathrm {i} }\mapsto -{\mathrm {i} }$ mit dem Frobeniushomomorphismus ${}f\mapsto f^{p}$ übereinstimmt.