Kurs:Analysis/Teil II/17/Klausur mit Lösungen/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 3 3 5 3 5 2 4 7 5 6 5 3 5 64




Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Zwei metrische Räume und heißen homöomorph, wenn es eine bijektive stetige Abbildung

    gibt, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

  2. Die Abbildung heißt stark kontrahierend, wenn es eine nichtnegative reelle Zahl gibt mit

    für alle .

  3. Unter der Kurvenlänge von versteht man
  4. Die Abbildung heißt total differenzierbar in , wenn es eine - lineare Abbildung mit der Eigenschaft

    gibt, wobei eine in stetige Abbildung mit ist und die Gleichung für alle mit gilt.

  5. Es sei ein Körper und sei ein -Vektorraum. Eine lineare Abbildung

    heißt auch eine Linearform auf .

  6. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

    konvergiert.


Aufgabe (3 Punkte)


Lösung

  1. Es sei eine Teilmenge. Dann ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in eine in konvergente Teilfolge besitzt.
  2. Es sei ein reelles Intervall, ein euklidischer Vektorraum und

    eine Abbildung. Es sei eine Basis von und es seien

    die zugehörigen Komponentenfunktionen von . Es sei . Dann ist genau dann differenzierbar in , wenn sämtliche Funktionen in differenzierbar

    sind.
  3. Es sei offen und eine Abbildung, so dass für die zweiten Richtungsableitungen und existieren und stetig sind. Dann gilt


Aufgabe (2 Punkte)

Ergänze die folgende Tabelle, in der Winkel in verschiedenen Maßeinheiten miteinander in Bezug gesetzt werden. Die Prozentangabe bezieht sich auf den Vollkreis.

Grad Bogenmaß Prozent


Lösung

Grad Bogenmaß Prozent


Aufgabe (3 Punkte)

Beweise den Satz über zusammenhängende Teilmengen unter einer stetigen Abbildung.


Lösung

 Es sei und eine offene und abgeschlossene Teilmenge, die weder leer noch ganz sei. Die eingeschränkte Abbildung

ist ebenfalls stetig, und sie ist auch surjektiv. Daher ist eine offene und abgeschlossene Teilmenge in , die ebenfalls weder leer noch ganz ist, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass zusammenhängend ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kurve


Lösung

Die Ableitung ist


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise die Mittelwertabschätzung für differenzierbare Kurven.


Lösung

Wenn ist, so ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei also . Dann ist nach dem Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren Teil einer Orthonormalbasis von . Es seien die Komponentenfunktionen von bezüglich dieser Basis. Wir wenden den Mittelwertsatz für eine Variable auf die erste Komponentenfunktion an. Es gibt also ein mit der Eigenschaft

und damit auch

Da man die Längenmessung mit jeder Orthonormalbasis durchführen kann, gilt


Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

Zeige, dass die Lösung des zugehörigen Anfangswertproblems mit der Anfangsbedingung

durch

gegeben ist.


Lösung

Die Anfangsbedingung ist offenbar erfüllt. Ferner ist einerseits

und andererseits

so dass eine Lösung der Differentialgleichung vorliegt.


Aufgabe (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Lösung

Wir machen den Potenzreihenansatz und . Aufgrund der Anfangsbedingung ist

Das Differentialgleichungssystem führt auf die beiden Potenreihengleichungen

und

die wir gradweise auswerten. Für den Grad (der Potenzreihengleichungen) ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

also ist und . Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

also ist und . Für den Grad ergeben sich daraus die beiden Gleichungen

also ist und . Die Taylor-Entwicklung der Lösungskurve bis zur Ordnung ist demnach


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere den Graphen der Funktion


Lösung Betrag der Summe/Skizze/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige für Polynomfunktionen

direkt, dass

gilt.


Lösung

Da partielle Ableitungen mit Addition und Skalarmultiplikation verträglich sind, und da ein Polynom eine Summe aus Monomen, multipiziert mit Konstanten ist, genügt es, die Aussage für Monome

zu zeigen. Bei ist die Aussage richtig, so dass wir annehmen. Es ist

Wenn ist, so ist dies , und in diesem Fall sind auch und die Nullfunktion, also gleich. Dies ist auch bei der Fall. Es seien also . Dann ist

Dies ist auch das Ergebnis in der umgekehrten Reihenfolge.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise die Taylor-Formel für eine beliebig oft differenzierbare Funktion

in einem Punkt .


Lösung

Nach Satz 49.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es zu jedem ein (von abhängiges) mit

Die rechte Summe ist also die Abweichungsfunktion , die wir abschätzen müssen. Wegen

ist

Da nach Voraussetzung die -ten Richtungsableitungen stetig sind, existiert für jede einzelne Funktion der Limes für und ist gleich . Daher gilt dies auch für die Summe rechts und damit auch für den Ausdruck links.


Aufgabe (5 Punkte)

Finde ein reelles Polynom in zwei Variablen vom Grad , das die folgenden Eigenschaften besitzt. Ist die Lösung eindeutig?

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist
  4. Es ist
  5. Es ist
  6. Es ist


Lösung

Wegen der ersten Bedingung können wir direkt als

ansetzen. Wegen der zweiten Bedingung ist . Die partielle Ableitung von nach ist

und die partielle Ableitung von nach ist

Die dritte Bedingung ergibt und die fünfte Bedingung ergibt . Die vierte Bedingung ergibt und die sechste Bedingung ergibt

Für die verbleibenden Unbekannten haben wir also insgesamt das lineare Gleichungssystem

Aus den beiden ersten Gleichungen ergibt sich

die letzte Gleichung ist also nicht nötig. Eine Lösung ist , , , und man kann das Polynom

nehmen. Man kann aber auch , , nehmen, also das Polynom

Die Lösung ist also nicht eindeutig.


Aufgabe (6 (1+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  2. Berechne die Jacobi-Determinante von in einem Punkt .
  3. Begründe, dass in einer offenen Umgebung des Punktes einen Diffeomorphismus beschreibt.
  4. Bestimme die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung im Punkt .


Lösung

Wir betrachten die Abbildung

  1. Die Jacobi-Matrix zu in ist
  2. Die Jacobi-Determinante von in ist
  3. Die Jacobi-Determinante von in ist . Daher ist das totale Differential in diesem Punkt invertierbar und nach dem Satz über die Umkehrabbildung gibt es eine offene Umgebung von , worauf ein Diffeomorphismus vorliegt.
  4. Die Jacobi-Matrix von in ist

    Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung in ist die inverse Matrix dazu. Das Invertierungsverfahren ergibt


    Die Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung ist somit


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei offen und

eine stetig differenzierbare Abbildung, die im Punkt ein surjektives totales Differential besitze. Es sei ein Vektor des Tangentialraumes an die Faser zu durch . Zeige, dass es eine stetig differenzierbare Kurve

(für ein geeignetes ) mit und mit

gibt.


Lösung

Es ist . Nach dem Satz über implizite Abbildungen gibt es eine offene Menge , , eine offene Menge und eine stetig differenzierbare Abbildung

derart, dass ist und eine Bijektion

induziert. Es sei der Punkt mit . Die Abbildung ist in jedem Punkt regulär und für das totale Differential von gilt

also

Wegen der Regularität von in ist

injektiv und

bijektiv. Es sei das Urbild von und sei

wobei hinreichend klein gewählt sei, dass das Bild ganz in liegt. Dann besitzt

die Eigenschaft

und


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine abgeschlossene sternförmige Menge und es sei die Menge aller Punkte, bezüglich der sternförmig ist. Zeige, dass abgeschlossen ist.


Lösung

Wir verwenden Satz 33.16 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Es sei eine Folge, die gegen konvergiere. Es ist zu zeigen, dass auch bezüglich sternförmig ist. Es sei ein Punkt. Nach Voraussetzung gehören die Verbindungsstrecken von nach stets ganz zu . Es sei die Verbindungsstrecke von nach und . Es ist dann

mit einem . Dann konvergiert auch die Folge gegen und wegen der Abgeschlossenheit von ist .


Aufgabe (5 Punkte)

Sie sind Lehrer/in an einem Gymnasium und wurden soeben zur/m Beauftragten zur Förderung besonders begabter Schüler und Schülerinnen eingesetzt. Die Förderung soll sich auf Analysis beziehen. Welches Konzept (Thema, Idee, Begriffsbildung, ...) der Analysis 2 halten Sie dafür für geeignet? Inwiefern denken Sie, dass dieses Konzept zwar für den normalen Unterricht nicht geeignet ist, für das angesprochene Zielpublikum aber doch?


Lösung Analysis 2/Schule/Förderklasse/Aufgabe/Lösung