Kurs:Analysis 3/7/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 3 3 3 2 5 8 3 4 5 13 3 5 3 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die von einem Mengensystem auf einer Menge erzeugte -Algebra .
  2. Das Zählmaß auf einer Menge .
  3. Ein translationsinvariantes Maß auf .
  4. Eine -differenzierbare Mannigfaltigkeit .
  5. Die Tangentialabbildung in einem Punkt zu einer differenzierbaren Abbildung

    wobei und differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind.

  6. Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.


Lösung

  1. Unter der von erzeugten -Algebra versteht man die kleinste -Algebra, die enthält.
  2. Man nennt das auf durch

    definierte Maß das Zählmaß auf .

  3. Ein Maß auf heißt translationsinvariant, wenn für alle messbaren Teilmengen und alle Vektoren die Gleichheit

    gilt.

  4. Ein topologischer Hausdorff-Raum zusammen mit einer offenen Überdeckung und Karten

    mit offen derart, dass die Übergangsabbildungen

    -Diffeomorphismen für alle sind, heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit.

  5. Unter der Tangentialabbildung im Punkt versteht man die Abbildung
  6. Ein topologischer Raum heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

    eine endliche Teilmenge derart gibt, dass

    ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Lemma von Fatou.
  2. Der Satz von Heine-Borel.
  3. Der Satz von Green für den Flächeninhalt.


Lösung

  1. Es sei ein -endlicher Maßraum und es sei

    eine Folge von nichtnegativen messbaren numerischen Funktionen. Dann gilt

  2. Es sei eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
    1. ist überdeckungskompakt.
    2. Jede Folge in besitzt einen Häufungspunkt in .
    3. Jede Folge in besitzt eine in konvergente Teilfolge.
    4. ist abgeschlossen und beschränkt.
  3. Es sei eine kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand . Dann ist der Flächeninhalt von gleich


Aufgabe (3 Punkte)

Eine Klorolle hat einen äußeren Durchmesser von cm und einen inneren Durchmesser von cm. Das ausgewickelte Klopapier ergibt eine Länge von Metern. Wie dick ist das Klopapier?


Lösung

Es sei die Breite des Papiers (alles in Zentimetern). Das Volumen des aufgewickelten Papiers ist

Die unbekannte Dicke sei . Das abgewickelte Klopapier bilden einen Quader mit dem gleichen Volumen, also

Somit ist

Die Dicke ist also ungefähr ein halber Millimeter.


Aufgabe (2 Punkte)

Auf der Menge der natürlichen Zahlen sei ein Maß durch

gegeben. Bestimme


Lösung

Aufgrund der Additivitätseigenschaft eines Maßes ist

nach der bekannten Regel für die Summe der ersten Zahlen.


Aufgabe (5 (1+3+1) Punkte)

Es sei eine Menge und seien

Teilmengen (). Wir betrachten die Menge , die aus allen Teilmengen von besteht, die man als Durchschnitte der Form

erhalten kann, wobei die Menge jeweils ein oder ein ist.

a) Zeige, dass man auf diese Art nur endlich viele Teilmengen von erhalten kann.

b) Zeige, dass es in eindeutig bestimmte, nichtleere Mengen mit

und mit der Eigenschaft, dass jedes , , ein umfasst gibt.

c) Zeige, dass man jede Menge als

mit einer eindeutig bestimmten Teilmenge darstellen kann.


Lösung

a) Da die Wiederholung einer Menge in einem Durchschnitt den Durchschnitt nicht ändert, und da ist, muss man nur Durchschnitte betrachten, wo jede Menge maximal einmal vorkommt, und zwar entweder selbst oder ihr Komplement. Da nur endlich viele Mengen zur Verfügung stehen, gibt es nur endlich viele Durchschnitte.

b) Es seien die nichtleeren Mengen aus derart, dass es zwischen und keine weiteren Mengen aus gibt. Diese Mengen sind zueinander disjunkt, da ein Durchschnitt nach Konstruktion zu gehört und bei echt in enthalten sein muss, also leer sein muss. Jedes Element liegt entweder in oder in und somit in einer Schnittmenge der Form

für eine gewisse Teilmenge . Solche Mengen sind minimal in , da jede Menge verarbeitet ist. Zu gibt es daher auch ein mit . Wegen der Wahl der ist dann aber direkt . Wenn eine weitere Familie mit den angegebenen Eigenschaften wäre, so gäbe es für jedes ein mit nichtleerem Durchschnitt. Dann ist direkt und somit gilt Gleichheit.

c) Sei gegeben. Bei nimmt man die leere Vereinigung. Sei also . Bei ist sogar , und ist die Vereinigung dieser .


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ein translationsinvariantes Maß auf dem , das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei ein echter Untervektorraum. Zeige .


Lösung

 Es sei ein Untervektorraum der Dimension und nehmen wir an, dass ist. Es sei eine Basis von und

das davon erzeugte -dimensionale Parallelotop. Dies lässt sich durch endlich viele verschobene Einheitswürfel überpflastern und besitzt demnach ein endliches Maß. Die verschobenen Parallelotope

besitzen wegen der Translationsinvarianz alle dasselbe Maß und bilden eine Überpflasterung von . Da es abzählbar viele sind, muss gelten. Es sei nun eine Ergänzung der Basis zu einer Basis von , und sei

das zugehörige -dimensionale Parallelotop. Für dieses ist . Wir betrachten nun die abzählbar unendlich vielen Parallelotope

Diese liegen alle innerhalb von und besitzen wegen der Translationsinvarianz alle das gleiche Maß wie . Ferner sind sie paarweise disjunkt, da andernfalls ein nichttriviales Vielfaches von zu gehören würde. Aus

folgt , ein Widerspruch.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

über dem Einheitswürfel .


Lösung

Aufgrund des Satzes von Fubini ist


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des Bildes des Rechtecks unter der Abbildung


Lösung

Die Abbildung ist bijektiv mit der Umkehrabbildung

Die Jacobi-Matrix ist

mit der Jacobi-Determinante

Für die Punkte mit liegt also kein lokaler Diffeomorphismus vor und für die Punkte mit liegt ein Diffeomorphismus auf das Bild vor. Auf ist also die Transformationsformel anwendbar. Die Ausnahmemenge hat den Flächeninhalt und das gilt nach Fakt ***** auch für das Bild davon. Daher kann man die Transformationsformel anwenden und nach Fubini ist somit


Aufgabe (5 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer zweidimensionalen zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit und einem Punkt derart, dass und zueinander diffeomorph sind.


Lösung

Es sei

es werden also aus dem die auf der -Achse platzierten positiven natürlichen Zahlen herausgenommen. Dies ist eine offene Teilmenge im und damit eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Diese ist wegzusammenhängend, da man beispielsweise jeden Punkt aus mit durch einen geraden Weg mit und jeden Punkt aus mit durch einen geraden Weg mit verbinden kann und diese beiden Punkte ebenfalls gerade verbindbar sind. Es sei nun

und

Die Abbildung

ist (als Verschiebung) ein Diffeomorphismus und das Bild von ist genau . Daher sind und zueinander diffeomorph.


Aufgabe weiter

Wir betrachten den als Menge aller (auch entarteter) Dreiecke, indem wir ein Dreieck mit den (geordneten) Eckpunkten mit dem Koordinatentupel

identifizieren.

  1. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen zwei Eckpunkte zusammenfallen, eine abgeschlossene Teilmenge des ist (das Komplement davon ist somit eine offene Menge in , die wir nennen).
  2. Zeige, dass die Menge der Dreiecke, bei denen alle drei Eckpunkte auf einer Geraden liegen, eine abgeschlossene Teilmenge des ist (das Komplement davon, das aus allen nichtentarteten Dreiecken besteht, ist somit eine offene Menge in , die wir nennen).
  3. Erstelle eine Funktionsvorschrift, die die Abbildung

    beschreibt, die einem Dreieck seinen Umfang zuordnet.

  4. Zeige, dass die Funktion aus Teil (3) auf der Menge stetig differenzierbar ist.
  5. Berechne die partielle Ableitung von nach auf .
  6. Zeige, dass die Menge der nichtentarteten Dreiecke mit Umfang eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit von bildet. Was ist die Dimension?


Lösung

  1. Die Eckpunkte und stimmen genau dann überein, wenn ihre beiden Koordinaten übereinstimmen, wenn also und ist. Eine solche Bedingung definiert eine abgeschlossene Teilmenge, da es sich um die Faser einer (stetigen) linearen Abbildung handelt. Da eine endliche Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen wieder abgeschlossen ist, ist die in Frage stehende Menge abgeschlossen.
  2. Wir betrachten die Verbindungsvektoren

    Die drei Punkte sind genau dann kollinear, wenn diese zwei Vektoren linear abhängig sind, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre Determinante ist. Die Kollinearitätssbedingung lautet somit

    Da eine polynomiale Abbildung und damit stetig ist, ist die Faser zu eine abgeschlossene Teilmenge.

  3. Da der Umfang einfach die Summe der drei beteiligten Dreiecksseiten ist, gilt
  4. Für einen Punkt aus ist jeder Radikand als polynomiale Funktion stetig differenzierbar und echt positiv, somit sind auch die Quadratwurzeln daraus stetig differenzierbar.
  5. Die partielle Ableitung ist
  6. Auf sind die Radikanden positiv, somit verschwindet die partielle Ableitung nach nur, falls ist. Ein Dreieck mit dieser Bedingung ist aber kollinear. Das bedeutet, dass auf die partielle Ableitung nach nie wird und das bedeutet insbesondere, dass der Gradient auf nirgends verschwindet, also regulär ist. Nach Fakt ***** ist die Faser eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit, und zwar der Dimension


Aufgabe (3 (2+1) Punkte)

Wir betrachten im die drei Vektoren

a) Wie muss man wählen, damit diese drei Vektoren die Standardorientierung des repräsentieren?

b) Wie muss man wählen, damit diese drei Vektoren die der Standardorientierung entgegengesetzte Orientierung repräsentieren?


Lösung

a) Die Vektoren repräsentieren die Standardorientierung genau dann, wenn ihre Determinante positiv ist. Diese ist

und dies ist positiv genau dann, wenn ist.

b) Die entgegengesetzte Orientierung liegt genau dann vor, wenn die Determinante negativ ist, und dies ist genau bei der Fall.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass der Flächeninhalt der Rotationsfläche, die entsteht, wenn man den Graphen

um die -Achse rotieren lässt, kleiner als ist.


Lösung

Wir betrachten die Oberfläche für mit einer beliebigen negativen Zahl . Der Flächeninhalt ist nach der Rotationsformel gleich

Da sich im negativen Bereich bewegt, ist und somit ist der Integrand . Damit ist dieses Integral kleiner/gleich

Diese Abschätzung gilt auch für .


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die äußere Ableitung der Differentialform

auf .


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine Mannigfaltigkeit mit Rand. Zeige, dass jede offene Teilmenge ebenfalls eine Mannigfaltigkeit mit (eventuell leerem) Rand ist, und dass

gilt.


Lösung

Sei und ein Kartengebiet von . Es sei

eine Karte mit einer offenen Menge , . Diese Karte induziert einen Homöomorphismus

Diese Karten nehmen wir für . Die Diffeomorphieeigenschaft der Kartenwechsel zu überträgt sich direkt auf die Karten zu . Sei . Dann wird unter einer Karte auf einen Randpunkt von abgebildet, und da die Karten für Einschränkungen von solchen Karten sind, bleibt diese Eigenschaft erhalten. Wenn umgekehrt ist, so ist natürlich einerseits . Andererseits gibt es zu eine Karte zu , die durch Einschränkung von einer Karte zu herrührt, in der auf einen Randpunkt von abgebildet wird.