Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Dachprodukt/Anhang

Das Dachprodukt

Unsere Zielsetzung für die folgenden Wochen ist es, eine sinnvolle Volumentheorie auf Mannigfaltigkeiten zu entwickeln. Was ist beispielsweise der Flächeninhalt einer gekrümmten Fläche wie der Oberfläche einer Kugel? Jeder Tangentialraum in einem Punkt einer Mannigfaltigkeit ist ein reeller endlichdimensionaler Vektorraum und besitzt daher Borel-Lebesgue-Maße, die allerdings nur bis auf die Multiplikation mit einem Skalar wohlbestimmt sind. Für eine sinnvolle Maßtheorie müssen diese Maße in einer kontrollierbaren Weise von den Punkten der Mannigfaltigkeit abhängen. Dies kann man am besten mit Differentialformen (also Schnitte im Kotangentialbündel) erreichen, die wir schon erwähnt haben und bald studieren werden.

Ihre Konstruktion erleichtert sich wesentlich durch die sogenannten Dachprodukte eines Vektorraumes. Dachprodukte hängen stark mit Determinanten und allgemeiner mit multilinearen alternierenden Formen zusammen. Für die Existenz der Dachprodukte brauchen wir Restklassenräume. Diese beruhen auf einer fundamentalen algebraischen Konstruktion, für die wir auf Kurs:Lineare_Algebra_(Osnabrück_2017-2018)/Teil_II/Vorlesung_48 verweisen.

Wir erinnern an multilineare und alternierende Abbildungen.

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Es sei $n \in ℕ$ und

△ : V^{n} = \underset{n -mal}{\underset{⏟}{V \times \dots \times V}} ⟶ W

eine Abbildung

in einen weiteren

K

-Vektorraum

W

. Man nennt

△

multilinear, wenn für jedes

i \in {1, \dots, n}

und jedes

(n - 1)

-Tupel

(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n})

die induzierte Abbildung

V ⟶ W, u ⟼ △ (v_{1}, \dots, v_{i - 1}, u, v_{i + 1}, \dots, v_{n}),

linear ist.

Eine multilineare Abbildung $△$ heißt alternierend, wenn Folgendes gilt: Falls in $v = (v_{1}, \dots, v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also $v_{i} = v_{j}$ für ein Paar $i \neq j$ , so ist $△ (v) = 0$ .

Das wichtigste Beispiel ist die Determinante (auf $V = K^{n}$ ), die eng mit der Volumenmessung zusammenhängt. Für die Maßtheorie auf Mannigfaltigkeiten brauchen wir ein Konzept, dass für jeden Punkt eine infinitesimale Volumenform beschreibt, und dafür braucht man in jedem Tangentialraum eine Determinantenfunktion. Da es allerdings keine Einheitswürfel (da keine Standardbasis) in den Tangentialräumen gibt, wird es keine eindeutig bestimmte Determinantenfunktion geben, sondern verschiedene Determinantenfunktionen, die sich punktweise um einen Skalar unterscheiden. Ferner möchten wir nicht nur volldimensionalen Objekten ein Volumen zuordnen, sondern auch kleinerdimensionalen Objekten, wofür wir alternierende Formen von kleinerem Grad brauchen. Hier entwickeln wir die dazu benötigte lineare Algebra.

Konstruktion

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $n \in ℕ$ . Wir konstruieren das sogenannte $n$ -te Dachprodukt von $V$ mit sich selbst, geschrieben $\overset{n}{⋀} V$ . Dazu betrachten wir die Menge $S$ aller Symbole der Form

(v_{1}, \dots, v_{n}) mit v_{i} \in V

und die zugehörige Menge der $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ . Wir betrachten den Vektorraum

H = K^{(S)},

das ist die Menge aller (endlichen) Summen

a_{1} e_{s_{1}} + \dots + a_{k} e_{s_{k}} mit a_{i} \in K und s_{i} \in S,

die $e_{s}$ bilden eine Basis. Dies ist mit der natürlichen Addition und der natürlichen Skalarmultiplikation ein Vektorraum, und zwar ein Untervektorraum des Abbildungsraumes $Abb (S, K)$ (es handelt sich bei $H$ um die Menge derjenigen Vektoren, die für fast alle Elemente $s \in S$ den Wert $0$ haben). In $H$ betrachten wir den Untervektorraum $U$ , der von den folgenden Elementen erzeugt wird (die man die Standardrelationen des Dachprodukts nennt).

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v + w, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, w, v_{i + 1}, \dots, v_{n})}

für beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}, v, w \in V$ .

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, a v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})} - a e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{n})}

für beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots, v_{n}, v \in V$ und $a \in K$ .

e_{(v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v, v_{i + 1}, \dots, v_{j - 1}, v, v_{j + 1}, \dots, v_{n})}

für $i < j$ und beliebige $v_{1}, \dots, v_{i - 1}, v_{i + 1}, \dots,, v_{j - 1}, v_{j + 1}, \dots, v_{n}, v \in V$ .

Dabei ist der Leitgedanke, die Regeln, die für eine alternierende multilineare Abbildung gelten müssen, dadurch zu erzwingen, dass man die obigen Terme zu $0$ macht. Der erste Typ repräsentiert die Additivität in jedem Argument, die zweite die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation, die dritte die alternierende Eigenschaft.

Man setzt nun

\overset{n}{⋀} V := H / U,

d.h. man bildet den Restklassenraum von $H$ modulo dem Unterraum $U$ .

Die Elemente $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ bilden dabei ein Erzeugendensystem von $H$ . Die Restklasse von $e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}$ modulo $U$ bezeichnen wir mit^[1]

v_{1} \land \dots \land v_{n} .

Die Erzeuger von $U$ werden dann zu den Rechenregeln^[2]

\begin{matrix} v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land (v + w) \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n} & = v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n} + v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land w \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n}, \end{matrix}

v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land a v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n} = a \cdot v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{n}

und

v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land v_{i + 1} \land \dots \land v_{j - 1} \land v \land v_{j + 1} \land \dots \land v_{n} = 0 .

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Man nennt den (in Konstruktion 57.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) konstruierten) $K$ -Vektorraum $\overset{n}{⋀} V$ die $n$ -te äußere Potenz (oder das $n$ -te Dachprodukt) von $V$ . Die Abbildung

V^{n} ⟶ \overset{n}{⋀} V, (v_{1}, \dots, v_{n}) ⟼ v_{1} \land \dots \land v_{n},

nennt man die universelle alternierende Abbildung.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Dann gelten für die äußeren Potenzen folgende Aussagen.

Die Elemente der Form $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ mit $v_{i} \in V$ bilden ein Erzeugendensystem von $\overset{n}{⋀} V$ .

Die Abbildung
$V^{n} ⟶ \overset{n}{⋀} V, (v_{1}, \dots, v_{n}) ⟼ v_{1} \land \dots \land v_{n},$

ist multilinear und alternierend.

Es ist
$v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land v \land w \land v_{i + 2} \land \dots \land v_{n} = - v_{1} \land \dots \land v_{i - 1} \land w \land v \land v_{i + 2} \land \dots \land v_{n} .$

Es seien $u_{1}, \dots, u_{m} \in V$ gegeben und seien
$v_{j} = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} u_{i}$

für $j = 1, \dots, n$ . Dann ist

$\begin{matrix} v_{1} \land \dots \land v_{n} & = \sum_{(i_{1}, \dots, i_{n}) \in {1, \dots, m}^{n}} (\prod_{j = 1}^{n} a_{i_{j} j}) u_{i_{1}} \land \dots \land u_{i_{n}} \\ = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq m} (\sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{j = 1}^{n} a_{i_{π (j)} j}) u_{i_{1}} \land \dots \land u_{i_{n}} . \end{matrix}$

Beweis

(1) folgt direkt aus der Konstruktion.
(2). Es liegt die zusammengesetzte Abbildung

V^{n} ⟶ H ≅ K^{(V^{n})} ⟶ H / U

vor, wobei

(v_{1}, \dots, v_{n})

auf

e_{(v_{1}, \dots, v_{n})}

und dies auf die Restklasse

v_{1} \land \dots \land v_{n}

abgebildet wird. Dabei sichert die Definition des Unterraums

U

, dass jeweils die Eigenschaften einer multilinearen alternierenden Abbildung erfüllt sind.

(3) gilt nach Fakt ***** für jede alternierende Abbildung.
(4). Die erste Gleichung gilt nach Lemma 16.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) für jede multilineare Abbildung. Wenn sich in dem Indextupel $(i_{1}, \dots, i_{n})$ ein Eintrag wiederholt, so ist $u_{i_{1}} \land \dots \land u_{i_{n}} = 0$ wegen alternierend. Wir müssen also nur noch Tupel betrachten, wo alle Einträge verschieden sind. Diese können nach Umordnen auf die Form $1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq m$ gebracht werden. Bei einem fixierten aufsteigenden Indextupel ist die Summe über alle dazu permutierten Indextupel gleich

\sum_{π \in S_{n}} \prod_{j = 1}^{n} a_{i_{π (j)} j} u_{i_{π (1)}} \land \dots \land u_{i_{π (n)}} = \sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{j = 1}^{n} a_{i_{π (j)} j} u_{i_{1}} \land \dots \land u_{i_{n}} .

◻

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum und seien $v_{1}, \dots, v_{n}$ und $w_{1}, \dots, w_{n}$ Vektoren in $V$ , die miteinander in der Beziehung

(\begin{matrix} v_{1} \\ ⋮ \\ v_{n} \end{matrix}) = M (\begin{matrix} w_{1} \\ ⋮ \\ w_{n} \end{matrix})

stehen, wobei $M$ eine $n \times n$ -Matrix bezeichnet.

Dann gilt in $\overset{n}{⋀} V$ die Beziehung

$v_{1} \land \dots \land v_{n} = (det M) w_{1} \land \dots \land w_{n} .$

Beweis

Mit $M = (b_{j k})$ ist $v_{j} = \sum_{k = 1}^{n} b_{j k} w_{k}$ und mit der transponierten Matrix $M^{tr} = (a_{i j})$ ist $v_{j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} w_{i}$ . Damit sind wir in der Notation von Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (4) und es gilt

\begin{matrix} v_{1} \land \dots \land v_{n} & = \sum_{1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq n} (\sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{j = 1}^{n} a_{i_{π (j)} j}) w_{i_{1}} \land \dots \land w_{i_{n}} \\ = \sum_{π \in S_{n}} sgn (π) \prod_{j = 1}^{n} a_{π (j) j} w_{1} \land \dots \land w_{n}, \end{matrix}

da dann $i_{j} = j$ sein muss. Daher folgt die Aussage aus der Leibniz-Formel für die Determinante.

◻

Eigenschaften des Dachprodukts

Die folgende Aussage beschreibt die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Satz

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $n \in ℕ$ . Es sei

ψ : V^{n} ⟶ W

eine alternierende multilineare Abbildung in einen weiteren $K$ -Vektorraum $W$ .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\tilde{ψ} : \overset{n}{⋀} V ⟶ W$

derart, dass das Diagramm

$\begin{matrix} V^{n} & \overset{}{⟶} & \overset{n}{⋀} V \\ ↘ & ↓ \\ W \end{matrix}$

kommutiert.

Beweis

Wir verwenden die Notation aus Konstruktion 57.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)). Durch die Zuordnung

e_{(v_{1}, \dots, v_{n})} ⟼ ψ (v_{1}, \dots, v_{n})

wird nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) eine $K$ -lineare Abbildung

\bar{ψ} : H ⟶ W

definiert. Da $ψ$ multilinear und alternierend ist, wird unter $\bar{ψ}$ der Untervektorraum $U \subseteq H$ auf $0$ abgebildet. Nach Satz 47.16 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) gibt es daher eine $K$ -lineare Abbildung

\tilde{ψ} : H / U ⟶ W,

die mit $\bar{ψ}$ verträglich ist.
Die Eindeutigkeit ergibt sich daraus, dass die $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ ein Erzeugendensystem von $\overset{n}{⋀} V$ bilden und diese auf $ψ (v_{1}, \dots, v_{n})$ abgebildet werden müssen.

◻

Es bezeichne ${Alt}^{n} (V, K)$ die Menge aller alternierenden Abbildungen von $V^{n}$ nach $K$ . Diese Menge kann man mit einer natürlichen $K$ -Vektorraumstruktur versehen.

Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $n \in ℕ$ .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

${(\overset{n}{⋀} V)}^{*} ⟶ {Alt}^{n} (V, K), ψ ⟼ ((v_{1}, \dots, v_{n}) \mapsto ψ (v_{1} \land \dots \land v_{n})) .$

Beweis

Die Abbildung ist einfach die Verknüpfung $ψ \mapsto ψ \circ δ$ , wobei $δ : V \times \dots \times V \to \overset{n}{⋀} V$ die kanonische Abbildung bezeichnet. Die Linearität der Zuordnung ergibt sich aus den linearen Strukturen des Dualraumes und des Raumes der alternierenden Formen. Die Bijektivität der Abbildung folgt aus Satz 6.1, angewendet auf $W = K$ .

◻

Satz

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum der Dimension $m$ . Es sei $v_{1}, \dots, v_{m}$ eine Basis von $V$ und es sei $n \in ℕ$ .

Dann bilden die Dachprodukte

$v_{i_{1}} \land \dots \land v_{i_{n}} mit 1 \leq i_{1} < \dots < i_{n} \leq m$

eine Basis von $\overset{n}{⋀} V$ .

Beweis

Wir zeigen zuerst, dass ein Erzeugendensystem vorliegt. Da die Elemente der Form $w_{1} \land \dots \land w_{n}$ nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (1) ein Erzeugendensystem von $\overset{n}{⋀} V$ bilden, genügt es zu zeigen, dass man diese durch die angegebenen Elemente darstellen kann. Für jedes $w_{j}$ gibt es eine Darstellung $w_{j} = \sum_{i = 1}^{m} a_{i j} v_{i}$ , daher kann man nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (4) die $w_{1} \land \dots \land w_{n}$ als Linearkombinationen von Dachprodukten der Basiselemente darstellen, wobei allerdings jede Reihenfolge vorkommen kann. Es sei also $v_{k_{1}} \land \dots \land v_{k_{n}}$ gegeben mit $k_{j} \in {1, \dots, m}$ . Durch Vertauschen von benachbarten Vektoren kann man nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (3) (unter Inkaufnahme eines anderen Vorzeichens) erreichen, dass die Indizes (nicht notwendigerweise streng) aufsteigend geordnet sind. Wenn sich ein Index wiederholt, so ist nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (2) das Dachprodukt $0$ . Also wiederholt sich kein Index und diese Dachprodukte sind in der gewünschten Form.

Zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit zeigen wir unter Verwendung von Lemma 14.8 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)), dass es zu jeder $n$ -elementigen Teilmenge $I = {i_{1}, \dots, i_{n}} \subseteq {1, \dots, m}$ (mit $i_{1} < \dots < i_{n}$ ) eine $K$ -lineare Abbildung

\overset{n}{⋀} V ⟶ K

gibt, die $v_{i_{1}} \land \dots \land v_{i_{n}}$ nicht auf $0$ abbildet, aber alle anderen in Frage stehenden Dachprodukte auf $0$ abbildet. Dazu genügt es nach Satz 6.1, eine alternierende multilineare Abbildung

△ : V^{n} ⟶ K

anzugeben mit $△ (v_{i_{1}}, \dots, v_{i_{n}}) \neq 0$ , aber mit $△ (v_{j_{1}}, \dots, v_{j_{n}}) = 0$ für jedes andere aufsteigende Indextupel. Es sei $U$ der von den $v_{i}$ , $i \neq i_{k}$ , erzeugte Untervektorraum von $V$ und $W = V / U$ der Restklassenraum. Dann bilden die Bilder der $v_{i_{k}}$ , $k = 1, \dots, n$ , eine Basis von $W$ , und die Bilder von allen anderen $n$ -Teilmengen der gegebenen Basis bilden dort keine Basis, da mindestens ein Element davon auf $0$ geht. Wir betrachten nun die zusammengesetzte Abbildung

△ : V^{n} ⟶ W^{n} ≅ (K^{n})^{n} \overset{det}{⟶} K .

Diese Abbildung ist nach Satz 16.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) multilinear und nach Satz 16.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) alternierend. Nach Satz 16.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) ist $△ (z_{1}, \dots, z_{n}) = 0$ genau dann, wenn die Bilder von $z_{i}$ in $W$ keine Basis bilden.

◻

Bei $V = K^{m}$ mit der Standardbasis $e_{1}, \dots, e_{m}$ nennt man die $e_{i_{1}} \land \dots \land e_{i_{n}}$ mit $i_{1} < \dots < i_{n}$ die Standardbasis von $\overset{n}{⋀} K^{m}$ .

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum der Dimension $m$ .

Dann besitzt das $n$ -te äußere Produkt $\overset{n}{⋀} V$ die Dimension

$(\binom{m}{n}) .$

Beweis

Dies folgt direkt aus Satz 58.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) und Aufgabe 3.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)).

◻

Insbesondere ist die äußere Potenz für $n = 0$ eindimensional (es ist $\overset{0}{⋀} V = K$ ) und für $n = 1$ $m$ -dimensional (es ist $\overset{1}{⋀} V = V$ ). Für $n = m$ ist $\overset{m}{⋀} V$ eindimensional, und die Determinante induziert (nach einer Identifizierung von $V$ mit $K^{m}$ ) einen Isomorphismus

\overset{m}{⋀} V ⟶ K, (v_{1}, \dots, v_{m}) ⟼ det (v_{1}, \dots, v_{m}) .

Für $n > m$ sind die äußeren Produkte der Nullraum und besitzen die Dimension $0$ .

Wir erweitern die oben gezeigte natürliche Isomorphie ${(\overset{n}{⋀} V)}^{*} ≅ {Alt}^{n} (V, K)$ zu einer natürlichen Isomorphie

\overset{n}{⋀} V^{*} ≅ {(\overset{n}{⋀} V)}^{*} ≅ {Alt}^{n} (V, K) .

Satz

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum. Es sei $k \in ℕ$ .

Dann gibt es eine natürliche Isomorphie

$ψ : \overset{k}{⋀} V^{*} ⟶ {(\overset{k}{⋀} V)}^{*}$

mit

$(ψ (f_{1} \land \dots \land f_{k})) (v_{1} \land \dots \land v_{k}) = det (f_{i} (v_{j}))_{i j}$

(mit $f_{i} \in V^{*}$ und $v_{j} \in V$ ).

Beweis

Wir betrachten die Abbildung (mit $k$ Faktoren)

V^{*} \times \dots \times V^{*} ⟶ Abb (V \times \dots \times V, K)

mit

(f_{1}, \dots, f_{k}) ⟼ ((v_{1}, \dots, v_{k}) ⟼ det {(f_{i} (v_{j}))}_{i j}) .

Für fixierte $f_{1}, \dots, f_{k}$ ist die Abbildung rechts multilinear und alternierend, wie eine direkte Überprüfung unter Verwendung der Determinantenregeln zeigt. Daher entspricht diese nach Korollar 57.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) einem Element in ${(\overset{k}{⋀} V)}^{*}$ . Insgesamt liegt also eine Abbildung

V^{*} \times \dots \times V^{*} ⟶ {(\overset{k}{⋀} V)}^{*}

vor. Eine direkte Prüfung zeigt, dass die Gesamtzuordung ebenfalls multilinear und alternierend ist. Aufgrund der universellen Eigenschaft gibt es daher eine lineare Abbildung

ψ : \overset{k}{⋀} V^{*} ⟶ {(\overset{k}{⋀} V)}^{*} .

Diese müssen wir als Isomorphismus nachweisen. Es sei dazu $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Basis von $V$ mit der zugehörigen Dualbasis $v_{1}^{*}, \dots, v_{n}^{*}$ . Nach Satz 58.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) bilden die

v_{i_{1}}^{*} \land \dots \land v_{i_{k}}^{*}, 1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n,

eine Basis von $\overset{k}{⋀} V^{*}$ . Ebenso bilden die

v_{i_{1}} \land \dots \land v_{i_{k}}, 1 \leq i_{1} < \dots < i_{k} \leq n,

eine Basis von $\overset{k}{⋀} V$ mit zugehöriger Dualbasis ${(v_{i_{1}} \land \dots \land v_{i_{k}})}^{*}$ . Wir zeigen, dass $v_{i_{1}}^{*} \land \dots \land v_{i_{k}}^{*}$ unter $ψ$ auf $(v_{i_{1}} \land \dots \land v_{i_{k}})^{*}$ abgebildet wird. Für $1 \leq j_{1} < \dots < j_{k} \leq n$ ist

(ψ (v_{i_{1}}^{*} \land \dots \land v_{i_{k}}^{*})) (v_{j_{1}} \land \dots \land v_{j_{k}}) = det (v_{i_{r}}^{*} {(v_{j_{s}})}_{1 \leq r, s \leq k}) .

Bei ${i_{1}, \dots, i_{k}} \neq {j_{1}, \dots, j_{k}}$ gibt es ein $i_{r}$ , das von allen $j_{s}$ verschieden ist. Daher ist die $r$ -te Zeile der Matrix $0$ und somit ist die Determinante $0$ . Wenn dagegen die Indexmengen übereinstimmen, so ergibt sich die Einheitsmatrix mit der Determinante $1$ . Diese Wirkungsweise stimmt mit der von ${(v_{i_{1}} \land \dots \land v_{i_{k}})}^{*}$ überein.

◻

Dachprodukte bei linearen Abbildungen

Korollar

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und

φ : V ⟶ W

sei eine $K$ -lineare Abbildung.

Dann gibt es zu jedem $n \in ℕ$ eine $K$ -lineare Abbildung

$\overset{n}{⋀} φ : \overset{n}{⋀} V ⟶ \overset{n}{⋀} W$
mit $v_{1} \land \dots \land v_{n} \mapsto φ (v_{1}) \land \dots \land φ (v_{n})$ .

Beweis

Die Abbildung

V^{n} \overset{φ \times \dots \times φ}{⟶} W^{n} \overset{δ}{⟶} \overset{n}{⋀} W

ist nach Aufgabe 16.29 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) multilinear und alternierend. Daher gibt es nach Satz 6.1 eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

\overset{n}{⋀} V ⟶ \overset{n}{⋀} W

mit $v_{1} \land \dots \land v_{n} \mapsto φ (v_{1}) \land \dots \land φ (v_{n})$ .

◻

Proposition

Es sei $K$ ein Körper, $V$ und $W$ seien $K$ -Vektorräume und

φ : V ⟶ W

sei eine $K$ -lineare Abbildung. Zu $n \in ℕ$ sei

\overset{n}{⋀} φ : \overset{n}{⋀} V ⟶ \overset{n}{⋀} W

die zugehörige $K$ -lineare Abbildung. Dann gelten folgende Eigenschaften.

Wenn $φ$ surjektiv ist, dann ist auch $\overset{n}{⋀} φ$ surjektiv.

Wenn $φ$ injektiv ist, dann ist auch $\overset{n}{⋀} φ$ injektiv.

Wenn $U$ ein weiterer $K$ -Vektorraum und
$ψ : U ⟶ V$

eine weitere $K$ -lineare Abbildung ist, so gilt

$\overset{n}{⋀} (φ \circ ψ) = (\overset{n}{⋀} φ) \circ (\overset{n}{⋀} ψ) .$

Beweis

(1). Es seien $w_{1}, \dots, w_{n} \in W$ gegeben und seien $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ Urbilder davon, also $φ (v_{i}) = w_{i}$ . Dann ist

(\overset{n}{⋀} φ) (v_{1} \land \dots \land v_{n}) = w_{1} \land \dots \land w_{n} .

Nach Lemma 57.5 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) (1) ergibt sich die Surjektivität.
(2). Wir können aufgrund der Konstruktion des Dachproduktes annehmen, dass $V$ und $W$ endlichdimensional sind. Die Aussage folgt dann aufgrund der expliziten Beschreibung der Basen in Satz 58.1 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)).
(3). Es genügt, die Gleichheit für das Erzeugendensystem $u_{1} \land \dots \land u_{n}$ mit $u_{i} \in U$ zu zeigen, wofür es klar ist.

◻

Lemma

Es sei $V$ ein $K$ -Vektorraum und $n, m \in ℕ$ .

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte multilineare Abbildung

$(\overset{n}{⋀} V) \times (\overset{m}{⋀} V) ⟶ \overset{n + m}{⋀} V$

mit

$(v_{1} \land \dots \land v_{n}, w_{1} \land \dots \land w_{m}) ⟼ v_{1} \land \dots \land v_{n} \land w_{1} \land \dots \land w_{m} .$

Beweis

Da die Dachprodukte $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ bzw. $w_{1} \land \dots \land w_{m}$ jeweils Erzeugendensysteme sind, kann es maximal eine multilineare Abbildung geben, die für die Dachprodukte einfach die Verkettung ist. Für beliebige Linearkombinationen $α = \sum_{i \in I} a_{i} v_{i 1} \land \dots \land v_{i n}$ und $β = \sum_{j \in J} b_{j} w_{j 1} \land \dots \land w_{j m}$ muss dann (wegen der geforderten Multilinearität)

\begin{matrix} α \land β & = (\sum_{i \in I} a_{i} v_{i 1} \land \dots \land v_{i n}) \land (\sum_{j \in J} b_{j} w_{j 1} \land \dots \land w_{j m}) \\ = \sum_{(i, j) \in I \times J} a_{i} b_{j} v_{i 1} \land \dots \land v_{i n} \land w_{j 1} \land \dots \land w_{j m} \end{matrix}

gelten. Wir müssen zeigen, dass dadurch eine wohldefinierte Abbildung gegeben ist, d.h. dass die Summe rechts nicht von den für $α$ bzw. $β$ gewählten Darstellungen abhängt. Es sei also $α = \sum_{i \in I} c_{i} v_{i 1} \land \dots \land v_{i n}$ eine zweite Darstellung, wobei wir die Indexmenge als gleich annehmen dürfen, da wir fehlende Summanden mit dem Koeffizienten $0$ versehen können. Die Differenz $\sum_{i \in I} (a_{i} - c_{i}) v_{i 1} \land \dots \land v_{i n}$ ist dann eine (im Allgemeinen nicht triviale) Darstellung der $0$ . D.h. $\sum_{i \in I} (a_{i} - c_{i}) e_{v_{i 1}, \dots, v_{i n}}$ ist eine Linearkombination aus den in Konstruktion 57.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)) beschriebenen Standardrelationen für das Dachprodukt. Wenn man eine solche Standardrelation der Länge $n$ in jedem Summanden um das Indextupel $w_{1}, \dots, w_{m}$ erweitert, so erhält man eine Standardrelation der Länge $n + m$ . Dies bedeutet, dass aus einer Darstellung der $0$ bei der Verknüpfung mit einem beliebigen $β$ eine Darstellung der $0$ entsteht. Daher ist das Dachprodukt $α \land β$ unabhängig von der gewählten Darstellung für $α$ . Da man die Rollen von $α$ und $β$ vertauschen kann, ist die Darstellung auch unabhängig von der gewählten Darstellung für $β$ . Die Multilinearität folgt unmittelbar aus der expliziten Beschreibung.

◻

↑ Es ist nicht einfach, sich unter den Ausdrücken $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ bzw. $\land$ etwas vorzustellen. Wichtiger als die „Bedeutung“ dieser Symbole ist ihr Transformationsverhalten und die Rechenregeln, die dafür gelten. Erst der operative Umgang mit diesen Symbolen lässt die Bedeutung entstehen. Wenn man aber eine ungefähre Vorstellung haben möchte, so kann man sagen, dass $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ das von den Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ erzeugte „orientierte“ Parallelotop in $V$ repräsentiert. Das Dachprodukt $\overset{n}{⋀} V$ besteht dann aus Linearkombinationen von solchen Parallelotopen.
↑ Es gilt die Klammerungskonvention „Dachprodukt vor Punktrechnung“, d.h. der Ausdruck $a v_{1} \land \dots \land v_{n}$ ist als $a (v_{1} \land \dots \land v_{n})$ zu lesen. Es gelten aber ohnehin die Gleichheiten
$a (v_{1} \land \dots \land v_{n}) = (a v_{1}) \land \dots \land v_{n} = v_{1} \land \dots \land (a v_{n}) .$

[1] Es ist nicht einfach, sich unter den Ausdrücken $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ bzw. $\land$ etwas vorzustellen. Wichtiger als die „Bedeutung“ dieser Symbole ist ihr Transformationsverhalten und die Rechenregeln, die dafür gelten. Erst der operative Umgang mit diesen Symbolen lässt die Bedeutung entstehen. Wenn man aber eine ungefähre Vorstellung haben möchte, so kann man sagen, dass $v_{1} \land \dots \land v_{n}$ das von den Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ erzeugte „orientierte“ Parallelotop in $V$ repräsentiert. Das Dachprodukt $\overset{n}{⋀} V$ besteht dann aus Linearkombinationen von solchen Parallelotopen.

[2] Es gilt die Klammerungskonvention „Dachprodukt vor Punktrechnung“, d.h. der Ausdruck $a v_{1} \land \dots \land v_{n}$ ist als $a (v_{1} \land \dots \land v_{n})$ zu lesen. Es gelten aber ohnehin die Gleichheiten
$a (v_{1} \land \dots \land v_{n}) = (a v_{1}) \land \dots \land v_{n} = v_{1} \land \dots \land (a v_{n}) .$

[1]

[2]