Kurs:Elliptische Kurven (Osnabrück 2021-2022)/Vorlesung 13/kontrolle

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Wir entwickeln nun die allgemeine Theorie zu elliptischen Kurven über einem beliebigen Körper weiter, wobei die Situation über den komplexen Zahlen eine wichtige Orientierung liefert.



Morphismen zwischen Kurven

Wir untersuchen nun die Morphismen zwischen glatten projektiven Kurven genauer, insbesondere zwischen elliptischen Kurven, wobei wir insbesondere Satz 7.12 vertiefen werden. Als Hauptbeispiele sollte man eine rationale Funktion

die durch die rationale Funktion gegebene Projektion

einer elliptischen Kurve auf die projektive Gerade oder die durch die Verdoppelung gegebene Abbildung

(vergleiche Korollar 6.7) vor Augen haben. In positiver Charakteristik wird später der Frobenius eine ausgezeichnete Rolle spielen.


Definition  Referenznummer erstellen

Es seien und irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine endliche Abbildung. Dann nennt man den Grad der zugehörigen Körpererweiterung der Funktionenkörper den Grad von .



Satz  Satz 13.2 ändern

Es seien und irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine endliche Abbildung vom Grad .

Dann besteht für jeden Punkt das Urbild aus höchstens Punkten. Wenn man die Punkte mit Multiplizitäten zählt, so handelt es sich jeweils um genau Punkte.

Beweis  

Wir können die affine Situation betrachten, es seien also integre normale -Algebren vom endlichen Typ der Dimension und sei eine endliche Erweiterung. Es besitzt den Grad . Der Punkt entspreche dem maximalen Ideal von . Aufgrund der Glattheit ist die Lokalisierung ein diskreter Bewertungsring und daher ist eine freie (da torsionsfrei) -Algebra von Rang . Daher ist auch der Faserring über , also

eine freie -Algebra vom Rang , also ein -Vektorraum der Vektorraumdimension . Die schematheoretische Faser hat also die Vektorraumdimension (das ist mit Multiplizität) gemeint. Dieser Ring hat die Form , wobei die -Algebren mit einem einzigen maximalen Ideal sind. Daher ist .




Lemma  Lemma 13.3 ändern

Es sei ein Körper,

eine nichtkonstante rationale Funktion in gekürzter Darstellung.

Dann ist der Grad der zugehörigen Körpererweiterung

gleich dem Maximum der Grade von und .

Beweis  

Wir geben einen geometrischen Beweis und können annehmen, dass algebraisch abgeschlossen ist. Wir betrachten die zugehörige rationale Abbildung

die außerhalb der Nullstellen von definiert ist. Es geht nach Satz 13.2 um die Anzahl der Fasern dieser Abbildung. Zu ist die Faser durch bzw. durch charakterisiert. Dies ist (eventuell mit einzelnen Ausnahmen für ) eine polynomiale Bedingung für , deren Grad das Maximum der Grade von und ist.

Eine wichtige Frage ist, wie man die Punkte bestimmen kann, über denen es im Sinne von Satz 13.2 genau Urbildpunkte gibt, ohne dass man Multiplizitäten berücksichtigen muss. In Charakteristik ist dies das generische Verhalten.


Definition  Referenznummer erstellen

Zu einem injektiven Ringhomomorphismus zwischen diskreten Bewertungsringen nennt man die Ordnung einer Ortsuniformisierenden von in die Verzweigungsordnung der Erweiterung.


Definition  Referenznummer erstellen

Ein injektiver Ringhomomorphismus zwischen diskreten Bewertungsringen heißt verzweigt, wenn seine Verzweigungsordnung ist.

Unverzweigt bedeutet also, dass eine Ortsuniformisierende auf eine Ortsuniformisierende abgebildet wird. Diese Konzepte werden insbesondere bei einem nichtkonstanten Morphismus zwischen glatten Kurven und einem Punkt mit auf den zugehörigen Ringhomomorphismus angewendet. In diesem Fall schreibt man für die Verzweigungsordnung.



Satz  Satz 13.6 ändern

Es seien und irreduzible glatte Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine endliche Abbildung vom Grad .

Dann sind für einen Punkt mit lokalem Ring die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Die Faser über besteht aus genau Punkten.
  2. Die Faser über ist reduziert.
  3. Für jeden Punkt oberhalb von wird unter

    eine Ortsuniformisierende auf eine Ortsuniformisierende abgebildet.

  4. Es ist

    für jeden Punkt oberhalb von .

Beweis  

Wir können direkt davon ausgehen, dass und glatte endlich erzeugte kommutative -Algebren der Dimension sind, dass eine endlich freie Ringerweiterung vom Rang ist und dass dem maximalen Ideal entspricht, . Es ist die lokalisierte Version der Abbildung und

die Restklasssenversion. Dabei ist eine endlichdimensionale -Algebra der Vektorraumdimension (und der Krulldimension ) und besitzt die Form mit lokalen -Algebren der Krulldimension . Da algebraisch abgeschlossen ist, sind die Restklassenkörper von gleich und daher gibt es in der Faser genau dann Punkte, wenn die Faser reduziert ist. Deshalb sind (1) und (2) äquivalent. Die Äquivalenz von (2) und (3) beruht auf Lemma 18.3 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)). Die Äquivalenz zwischen (3) und (4) ergibt sich aus Satz Anhang 2.2.



Definition  Referenznummer erstellen

Es seien und irreduzible algebraische Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine endliche Abbildung. Man nennt separabel, wenn die zugehörige Körpererweiterung der Funktionenkörper separabel ist.

In Charakteristik sind die endlichen Morphismen nach Bemerkung 13.4 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) stets separabel. Der Frobenius ist hingegen nicht separabel.



Satz  Satz 13.8 ändern

Es seien und irreduzible Kurven über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei

eine separable endliche Abbildung vom Grad .

Dann besteht außerhalb einer endlichen Ausnahmemenge für jeden Punkt das Urbild aus genau Punkten.

Beweis  

Wir können direkt davon ausgehen, dass affine glatte Kurven vorliegen, da eine Kurve außerhalb einer endlichen Teilmenge stets glatt ist. Es sei der zugehörige endliche Ringhomomorphismus, wir arbeiten mit dem Modul der Kähler-Differentiale und wenden Satz 13.2 an. Nach Voraussetzung ist die Körpererweiterung

separabel. Daher gilt

nach Satz Anhang 7.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)). Es ist nach Lemma 18.6 (Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)) die Nenneraufnahme von an bzw. an . Da der Kählermodul nach Korollar 19.4 (Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)) endlich erzeugt ist, gibt es auch ein , , mit

In der abgeschlossenen Teilmenge , also außerhalb von , liegen nur endlich viele Punkte. Daher können wir die Aussage auf beweisen. D.h. wir können von einer endlichen Erweiterung ausgehen, für die der Modul der Kähler-Differentiale überhaupt gleich ist. Die Aussage ergibt sich dann aus Satz 13.6.



Satz  Satz 13.9 ändern

Es sei eine elliptische Kurve über einem Körper .

Dann ist jeder Morphismus

konstant.

Beweis  

Es sei algebraisch abgeschlossen. Die elliptische Kurve liege in der Legendre-Form

vor. Es sei der Morphismus

gegeben, der

erfüllt, wobei rationale Funktionen in sind. Wir multiplizieren mit der dritten Potenz des Nenners von und können dann von einer Gleichung der Form

mit teilerfremden Polynomen in ausgehen. Eine Nullstelle von ist keine Nullstelle von und damit auch keine Nullstelle von und .

Es sei gekürzt. Da in der obigen Gleichung rechts ein Polynom steht, muss sich gegen wegkürzen. Somit ist und mit Polynomen . Da die Nullstellen von rechts nicht auftreten, folgt . Es liegt also die Situation

vor. Eine Nullstelle links besitzt eine gerade Nullstellenordnung. Die Faktoren rechts haben keine gemeinsame Nullstelle, deshalb tritt in ihnen auch jede Nullstelle mit einer geraden Nullstellenordnung auf und deshalb liegen vier Quadrate

in vor, die projektiv unabhängig voneinander sind. Aus Satz Anhang 3.2 folgt, dass es sich um Konstanten handelt.




Lemma  Lemma 13.10 ändern

Es seien und elliptische Kurven über einem Körper . Es sei

die Gleichung von und

die Gleichung von .

Dann ist durch

und

mit genau dann ein Morphismus

gegeben, wenn

und

gilt.

Beweis  

Die Bedingung für einem Morphismus ist

also

Dabei ist

und

Das Resultat folgt mit Koeffizientenvergleich.


Bei der Verdoppelungsabbildung auf einer elliptischen Kurve in sich ist in der Notation von Lemma 13.10 , siehe Korollar 6.7. In diesem Fall vereinfachen sich die beiden Bedingungen zu der einen Bedingung



Lemma  Lemma 13.11 ändern

Es seien und elliptische Kurven über einem Körper . Es sei

die Gleichung von und

die Gleichung von . Es seien rationale Funktionen mit

nicht konstant, und sei

der zugehörige Morphismus im Sinne von Lemma 13.10.

Dann ist der Grad von gleich dem Maximum des Grades von Zähler und Nenner von in einer gekürzten Darstellung.

Beweis  

Die zugehörige Abbildung der Funktionenkörper ist durch

mit und gegeben. Nach Definition ist der Grad der Kurvenabbildung der Grad dieser Körpererweiterung. Es liegt das kommutative Diagramm

vor, wobei die vertikalen Einbettungen den Grad haben. Aufgrund der Gradformel genügt es, den Grad der oberen Körpererweiterung zu bestimmen. Dieser ist das behauptete Maximum nach Lemma 13.3.