Kurs:Lineare Algebra/Teil I/25/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Punkte 3 3 2 2 8 1 4 8 5 6 1 2 3 4 3 4 2 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Bild einer Abbildung
  2. Ein Vektorraum über einem Körper .
  3. Der Spaltenrang einer -Matrix über einem Körper .
  4. Der Dualraum zu einem -Vektorraum .
  5. Der Hauptraum zu einer linearen Abbildung auf einem -Vektorraum und einem Eigenwert .
  6. Eine Jordanmatrix zu einem Eigenwert .


Lösung

  1. Das Bild von ist die Menge
  2. Unter einem Vektorraum über versteht man eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit zwei Abbildungen

    und

    derart, dass die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien und beliebig):

    1. ,
    2. ,
    3. ,
    4. Zu jedem gibt es ein mit ,
    5. ,
    6. ,
    7. ,
    8. .
  3. Man nennt die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix .
  4. Unter dem Dualraum zu versteht man den Homomorphismenraum
  5. Man nennt

    den Hauptraum zu zum Eigenwert .

  6. Unter einer Jordanmatrix (zum Eigenwert ) versteht man eine quadratische Matrix der Form


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Superpositionsprinzip für ein inhomogenes (und das zugehörige homogene) Gleichungssystem über einem Körper .
  2. Das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
  3. Der Satz über Eigenwerte zu einem Endomorphismus und einer Matrix.


Lösung

  1. Es sei ein Körper und

    ein inhomogenes lineares Gleichungssystem über und es sei

    das zugehörige homogene Gleichungssystem. Wenn eine Lösung des inhomogenen Systems und eine Lösung des homogenen Systems ist, so ist eine Lösung des inhomogenen Systems.
  2. Es sei ein Körper, und seien -Vektorräume und
    sei eine -lineare Abbildung. Dann ist injektiv genau dann, wenn ist.
  3. Es sei ein Endomorphismus auf dem endlichdimensionalen -Vektorraum und es sei eine Basis von . Es sei die beschreibende Matrix zu bezüglich dieser Basis. Dann ist genau dann ein Eigenvektor zu zum Eigenwert , wenn das Koordinatentupel zu bezüglich der Basis ein Eigenvektor zu zum Eigenwert ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Bei der Onlinepartnervermittlung „e-Tarzan meets e-Jane“ verliebt sich alle elf Minuten ein Single. Wie lange (in gerundeten Jahren) dauert es, bis sich alle erwachsenen Menschen in Deutschland (ca. ) verliebt haben, wenn ihnen allein dieser Weg zur Verfügung steht.


Lösung

Es benötigt

Minuten. Ein Jahr besteht aus

Minuten. Der benötigte Zeitraum ist somit

Jahre.


Aufgabe (2 Punkte)

Gilt für quadratische Matrizen die erste binomische Formel?


Lösung

Die erste binomische Formel gilt nicht, da beispielsweise

aber

gilt.


Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ein Vektorraum und

eine Familie von Vektoren in . Zeige, dass die Familie genau dann eine Basis von bildet, wenn es sich um ein minimales Erzeugendensystem handelt (d.h. sobald man einen Vektor weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor).


Lösung

Die Familie sei zunächst eine Basis. Dann ist sie insbesondere ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte

Dann ist aber

eine nichttriviale Darstellung der , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie.

Sei nun die Familie ein minimales Erzeugendensystem. Um zu zeigen, dass eine Basis vorliegt, muss also lediglich gezeigt werden, dass die Familie linear unabhängig ist. Nehmen wir an, sie sei nicht linear unabhängig. Dann gibt es eine Darstellung

wobei mindestens ein Koeffizient ist. Wir behaupten, dass dann auch die um reduzierte Familie noch ein Erzeugendensystem ist im Widerspruch zur Minimalität. Dazu sei ein beliebiger Vektor, den man als

schreiben kann. Wir können schreiben als

Damit ist

woraus ablesbar ist, dass man auch als Linearkombination der darstellen kann.


Aufgabe (1 Punkt)

Wie lautet die Matrix, die bezüglich der Standardbasis die Vierteldrehung im gegen den Uhrzeigensinn beschreibt?


Lösung


Aufgabe (4 (1+1+2) Punkte)

Die Zeitungen und verkaufen Zeitungsabos und konkurrieren dabei um einen lokalen Markt mit potentiellen Lesern. Dabei sind innerhalb eines Jahres folgende Kundenbewegungen zu beobachten.

  1. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  2. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  3. Die Abonnenten von bleiben zu bei , wechseln zu , wechseln zu und werden Nichtleser.
  4. Von den Nichtlesern entscheiden sich je für ein Abonnement von oder , die übrigen bleiben Nichtleser.

a) Erstelle die Matrix, die die Kundenbewegungen innerhalb eines Jahres beschreibt.

b) In einem bestimmten Jahr haben alle drei Zeitungen je Abonnenten und es gibt Nichtleser. Wie sieht die Verteilung ein Jahr später aus?

c) Die drei Zeitungen expandieren in eine zweite Stadt, wo es bislang überhaupt keine Zeitungen gibt, aber ebenfalls potentielle Leser. Wie viele Leser haben dort die einzelnen Zeitungen (und wie viele Nichtleser gibt es noch) nach drei Jahren, wenn dort die gleichen Kundenbewegungen zu beobachten sind?


Lösung

a) Die Matrix, die die Kundenbewegungen (in der Reihenfolge und Nichtleser) beschreibt, ist

b) Die Kundenverteilung nach einem Jahr zur Ausgangsverteilung ist

c) Die Ausgangsverteilung ist , daher ist die Verteilung nach einem Jahr gleich .

Nach zwei Jahren ist die Kundenverteilung

Nach drei Jahren ist die Kundenverteilung


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung


Lösung

Sei . Es sei der Kern der Abbildung und seine Dimension ().

Es sei
eine

Basis von . Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es Vektoren

derart, dass

eine Basis von ist. Wir behaupten, dass

eine Basis des Bildes ist. Es sei ein Element des Bildes . Dann gibt es ein mit . Dieses lässt sich mit der Basis als

schreiben. Dann ist

so dass sich als Linearkombination der schreiben lässt. Zum Beweis der linearen Unabhängigkeit der , , sei eine Darstellung der Null gegeben,

Dann ist

Also gehört zum Kern der Abbildung und daher kann man

schreiben. Da insgesamt eine Basis von vorliegt, folgt, dass alle Koeffizienten sein müssen, also sind insbesondere .


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum . Sei . Zeige, dass es genau dann eine direkte Summenzerlegung in invariante Untervektorräume der Dimension bzw. gibt, wenn es eine Basis von gibt, bezüglich der die beschreibende Matrix von die Gestalt

besitzt.


Lösung

Es sei zunächst eine direkte Zerlegung in invariante Untervektorräume der Dimension bzw. . Wir wählen eine Basis von und eine Basis von , die zusammengenommen eine Basis von bilden. Wegen der Invarianz ist einerseits

für , also

für , und andererseits

für , also

für . Daher sind in der beschreibenden Matrix von bezüglich dieser Matrix alle Einträge im -Block links unten und im -Block rechts oben gleich .

Wenn umgekehrt eine solche Matrix bezüglich einer Basis vorliegt, so kann man daraus ablesen, dass

für und

für gilt. Dies bedeutet, dass

und

auf sich selbst abgebildet werden. Dies sind also invariante Untervektorräume der gesuchten Dimensionen, und ihre Summe ist direkt, da sie durch disjunkte Teilmengen einer Basis gegeben sind.


Aufgabe (6 (4+1+1) Punkte)

Es sei

und

a) Beschreibe den Untervektorraum der -Matrizen, die den Untervektorraum in den Untervektorraum abbilden, als Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems.

b) Beschreibe durch ein eliminiertes Gleichungssystem.

c) Bestimme die Dimension von .


Lösung

a) Wir beschreiben zuerst als Kern einer Linearform. Das lineare Gleichungssystem

führt auf ()

Daher ist eine Lösung und ist der Kern der durch gegebenen Linearform auf dem . Die Bedingung, dass eine -Matrix den Untervektorraum nach abbildet, bedeutet also, dass

für ist, was auf der gegebenen Basis von überprüft werden kann. Wenn man

ansetzt, so müssen die beiden Bedingungen

und

erfüllt sein. Die erste Bedingung bedeutet

und die zweite Bedingung bedeutet

b) Da in der ersten Gleichung die Variable nicht vorkommt, müssen wir nicht weiter eliminieren.

c) Da die beiden Gleichungen linear unabhängig sind, besitzt der Lösungsraum die Dimension .


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Determinante zur Matrix


Lösung

Die Summe der ersten und der vierten und die Summe der zweiten und der fünften Zeile ergeben jeweils , daher liegt eine lineare Abhängigkeit vor und die Determinante ist .


Aufgabe (2 Punkte)

Definiere eine Gruppe mit Elementen, in der jedes Element zu sich selbst invers ist.


Lösung

Es sei der Körper mit zwei Elementen, aufgefasst als additive Gruppe . Dann ist (ein Vektorraum und insbesondere) eine Gruppe mit vier Elementen, und für jedes Element gilt . Alle Elemente sind also zu sich selbst invers.


Aufgabe (3 (1+2) Punkte)

  1. Berechne das Produkt

    im Polynomring .

  2. Berechne das Produkt

    in auf zwei verschiedene Arten.


Lösung

  1. Es ist
  2. Es ist einerseits direkt
    Andererseits kann man im Ergebnis von Teil 1 die Variable durch ersetzen und erhält


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Lösung

Wenn ein Vielfaches von ist, so kann man

mit einem weiteren Polynom schreiben. Einsetzen ergibt

Im Allgemeinen gibt es aufgrund der Division mit Rest eine Darstellung

wobei oder aber den Grad besitzt, also eine Konstante ist. Einsetzen ergibt

Wenn also ist, so muss der Rest sein, und das bedeutet, dass ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.


Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Den vorderen Faktor schreiben wir als

Somit besitzt dieses Polynom die beiden Nullstellen

Daher besitzt das charakteristische Polynom drei verschiedene Nullstellen und ist somit nach Fakt ***** diagonalisierbar und erst recht trigonalisierbar.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und seien lineare Abbildungen, von denen die charakteristischen Polynome bekannt seien. Kann man daraus das charakteristische Polynom von bestimmen?


Lösung

Das kann man nicht. Wir betrachten die beiden nilpotenten -Matrizen

Ihr charakteristisches Polynom ist jeweils . Ihr Produkt ist

und das charakteristische Polynom davon ist . Wenn man dagegen zweimal nimmt, also , so ist das charakteristische Polynom .


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine nilpotente Abbildung mit . Beschreibe die Umkehrabbildung von .


Lösung

Es ist

und ebenso in der umgekehrten Reihenfolge, also ist die Umkehrabbildung von .


Aufgabe (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Lösung

Es ist

und

Der Vektor gehört nicht zum Kern von , daher kann man aus den sukzessiven Bildern davon eine Basis wie gewünscht herstellen. Es ist

und

Daher ist

eine Basis, bezüglich der die jordansche Normalform

vorliegt.