Kurs:Algebraische Kurven/6/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 4 3 3 6 5 3 3 4 5 5 3 5 4 5 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Grad eines Polynoms .
  2. Die affin-lineare Äquivalenz von affin-algebraischen Mengen .
  3. Der Koordinatenring zu einer affin-algebraischen Menge .
  4. Das -Spektrum zu einer kommutativen -Algebra .
  5. Ein diskreter Bewertungsring.
  6. Eine projektive ebene Kurve.


Lösung

  1. Zu einem Polynom heißt das Maximum

    der Grad von .

  2. Die beiden affin-algebraische Mengen heißen affin-linear äquivalent, wenn es eine affin-lineare Variablentransformation mit

    gibt.

  3. Zu mit Verschwindungsideal nennt man den Koordinatenring von .
  4. Unter dem Spektrum versteht man die Menge der -Algebrahomomorphismen .
  5. Ein diskreter Bewertungsring ist ein Hauptidealbereich mit der Eigenschaft, dass es bis auf Assoziiertheit genau ein Primelement in gibt.
  6. Eine projektive ebene Kurve ist die Nullstellenmenge zu einem homogenen nicht-konstanten Polynom .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über den Zariski-Abschluss zu einer Teilmenge .
  2. Der Satz über maximale Ideale in einer Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper .
  3. Der Satz über die noethersche Normalisierung für projektive Kurven.


Lösung

  1. Sei eine Teilmenge. Dann ist der Zariski-Abschluss von gleich
  2. Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine endlich erzeugte -Algebra. Dann ist jeder Restklassenkörper von isomorph zu .
  3. Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und sei eine ebene projektive Kurve vom Grad . Dann gibt es einen surjektiven Morphismus
    derart, dass alle Fasern aus maximal Punkten bestehen.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Bestimme die Schnittpunkte der Neilschen Parabel mit

  1. den Geraden durch dem Nullpunkt,
  2. den zu den Achsen parallelen Geraden.


Lösung

  1. Die Geraden durch den Nullpunkt sind durch

    und

    mit gegeben. Einsetzen in die Gleichung der Neilschen Parabel ergibt im ersten Fall

    also den einzigen Schnittpunkt , und im zweiten Fall

    also

    mit den Schnittpunkten und .

  2. Die Geraden, die parallel zur -Achse sind, sind durch

    mit einem gegeben. Dies führt auf

    Bei ergibt dies den einzigen Schnittpunkt und bei ergibt dies die Schnittpunkte , wobei eine beliebige dritte Wurzel aus bezeichnet und die dritten Einheitswurzeln durchläuft.

    Die Geraden, die parallel zur -Achse sind, sind durch

    mit einem gegeben. Dies führt auf

    Bei ergibt dies den einzigen Schnittpunkt und bei ergibt dies die Schnittpunkte , wobei eine beliebige Quadratwurzel aus bezeichnet.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein kommutativer Ring mit Elementen, wobei eine Primzahl sei. Zeige, dass ein Körper ist.


Lösung

Es sei , . Wir betrachten die von erzeugte additive Untergruppe von . Wegen handelt es sich nicht um die triviale Gruppe. Da nach dem Satz von Lagrange die Ordnung jeder Untergruppe die Gruppenordnung teilt und diese eine Primzahl ist, erzeugt schon ganz . Es gibt also insbesondere eine natürliche Zahl mit

Da jeder Ring die natürlichen Zahlen enthält, bedeutet dies, dass eine Einheit ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die beiden Kreise

Zeige, dass die beiden Kreise über affin-linear äquivalent sind, aber nicht über .


Lösung

Es ist äquivalent zu . Über ist also , eine affin-lineare Transformation.

Für den Fall setzen wir und mit Koeffizienten an. Es ergibt sich

mit mit . Es muss also die Gleichheit gelten. Durch multiplizieren mit dem Hauptnenner können wir die Gleichung auf die Form

bringen, wobei . Wir wollen zeigen, dass diese Gleichung keine ganzzahlige Lösung besitzt. Da die linke Seite der Gleichung ein Vielfaches von ist, folgt , also , woraus folgt. In ist genau dann, wenn und . Daraus folgt und wir können beide Seiten der Gleichung durch teilen. Wir setzen nun , und . Absteigende Induktion führt zum Ziel.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Noethersche Normalisierung für Kurven.


Lösung

Wir schreiben in homogener Zerlegung als

mit den homogenen Komponenten

Ein homogenes Polynom in zwei Variablen hat die gleichen Faktorisierungseigenschaften wie ein Polynom in einer Variablen. Da wir uns über einem algebraisch abgeschlossenen Körper befinden, gibt es eine Faktorisierung

Da eine -te Wurzel besitzt können wir durch Streckung der Variablen erreichen, dass ist. Da insbesondere unendlich ist, finden wir ein , das von allen verschieden ist. Wir schreiben die Gleichung in den neuen Variablen

und erhalten eine Gleichung , wo die Linearfaktoren von die Gestalt

(mit ) bzw. haben. Multipliziert man dies aus so sieht man, dass mit einem bestimmten Vorfaktor aus vorkommt, den wir wieder durch Streckung als annehmen können. Dann hat die Gestalt Terme, in denen maximal vorkommt. Die homogenen Komponenten von kleinerem Grad behalten auch ihren Grad, so dass in nur noch weitere Monome vom -Grad gibt.


Aufgabe (5 Punkte)

Führe für die rationale Quadrik

eine rationale Parametrisierung im Sinne von Satz 7.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) mit dem Hilfspunkt und einer geeigneten Geraden durch.


Lösung

Wir verschieben den Punkt in den Nullpunkt, indem wir die neuen Variablen und einführen. Die Gleichung wird dann zu

Die Formeln für die Parametrisierung mit der Geraden liefern

und

Die Parametrisierung ist also durch

gegeben. Daraus ergibt sich für die Ausgangsgleichung die Parametrisierung

und


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper. Beweise den Hilbertschen Nullstellensatz direkt für den Polynomring in einer Variablen.


Lösung Hilbertscher Nullstellensatz/Eindimensional/Direkt/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (3 Punkte)

Schreibe den Restklassenring als ein Produkt von Körpern, wobei lediglich die Körper und vorkommen. Schreibe die Restklasse von als ein Tupel in dieser Produktzerlegung.


Lösung

Es ist

und ist irreduzibel, da es keine rationale Nullstelle besitzt. Es handelt sich also um die Primfaktorzerlegung, wobei die Faktoren paarweise nicht assoziiert sind, da sie ja alle normiert sind. Nach dem chinesischen Restsatz für Hauptidealbereiche gilt daher die Produktzerlegung
wobei wir für das zweite Gleichheitszeichen die Einsetzungen und und die Isomorphie verwendet haben. Das Element wird unter den drei Projektionen auf und abgebildet, es ist also gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutatives Monoid und ein Körper. Es sei und . Zeige, dass genau dann eine Einheit in ist, wenn eine Einheit in ist.


Lösung

Wenn eine Einheit in ist, so gibt es ein mit . Dann ist

und somit ist eine Einheit im Monoidring.

Wenn eine Einheit im Monoidring ist, so gibt es eine Element

mit endlichem Träger und mit von verschiedenen Koeffizienten derart, dass

ist. Für die letzte Gleichung müssen alle Exponenten

sein und es muss mindestens ein solches geben. Dies bedeutet, dass eine Einheit ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.


Lösung

Sei der Quotientenkörper von und ein Element, das die Ganzheitsgleichung

mit erfüllt. Wir schreiben  mit , , wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also und keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass eine Einheit in ist, da dann zu gehört.

Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit und erhalten in

Wenn keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler von . Dieser teilt alle Summanden für und daher auch den ersten, also . Das bedeutet aber, dass selbst ein Vielfaches von ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme über die partiellen Ableitungen für das durch das Polynom

gegebene Nullstellengebilde einen singulären Punkt. Führe eine Koordinatentransformation durch, die diesen Punkt in den Nullpunkt überführt. Bestimme die Multiplizität und die Tangenten in diesem Punkt.


Lösung

Sei

Dann ist

Aus der ersten Gleichung erhält man für einen singulären Punkt die Bedingung

wobei die letztere Bedingung voraussetzt, dass ist. Betrachten wir also zuerst den Fall . Die erste partielle Ableitung ist dann unabhängig von gleich null und die zweite Ableitung liefert die Bedingung

Die Kurvengleichung ergibt

die von erfüllt wird. Daher ist ein singulärer Punkt der Kurve.

Unter den neuen Variablen und ist der Nullpunkt. Die Kurvengleichung transformiert sich unter und zu

Der homogene Bestandteil von kleinstem Grad ist also . Daher ist die Multiplizität zwei und die beiden Tangenten durch den singulären Punkt werden durch beschrieben.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für das numerische Monoid , das durch und erzeugt wird, die Einbettungsdimension, die Multiplizität, die Führungszahl und den Singularitätsgrad.


Lösung

Zu dem Monoid gehören alle Vielfachen von , also

Dann alle Summen aus mit einem Vielfachen von , also

Dazu alle Summen aus mit einem Vielfachen von , also

Dazu alle Summen aus mit einem Vielfachen von , also

Damit sind alle Zahlen ab abgedeckt, da es für jede Restklasse modulo einen Verteter im Monoid gibt. Da zur Verfügung steht, gehören ab alle Zahlen zum Monoid. Die Führungszahl ist also . Die Multiplizität ist die kleinste positive Zahl im Monoid, also . Die Einbettungsdimension ist die minimale Anzahl der Erzeuger, also , da man auf die nicht verzichten kann. Der Singularitätsgrad ist die Anzahl der Lücken, es fehlen

der Singularitätsgrad ist also .


Aufgabe (5 Punkte)

Beweise den Satz über die algebraische Struktur eines Potenzreihenrings .


Lösung

Zunächst ist ein lokaler Ring mit maximalem Ideal . Wenn nämlich eine Potenzreihe keine Einheit ist, so muss nach Satz 24.6 (Algebraische Kurven (Osnabrück 2017-2018)) der konstante Term von gleich sein. Dann kann man aber mit der umindizierten Potenzreihe schreiben. Die Nullteilerfreiheit folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind und von verschiedene Potenzreihen, so ist

und

mit . Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient

da die kleineren Koeffizienten alle sind. Es bleibt also noch noethersch zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein Hauptidealbereich vorliegt, und zwar wird jedes Ideal von erzeugt, wobei das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten von Potenzreihen in dem Ideal ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Schnittmultiplizität im Nullpunkt des Kartesischen Blattes

mit jeder affinen Geraden der affinen Ebene. Man setze voraus, dass die Charakteristik des Körpers nicht ist.


Lösung

Wenn die Gerade nicht durch den Nullpunkt läuft, so ist die Schnittmultiplizität null. Betrachten wir also die Geraden durch den Nullpunkt, die man als oder als beschreiben kann. Bei ergibt sich der Restklassenring

Dieser Ring hat die -Dimension, die Schnittmultiplizität ist also . Wegen der Symmetrie der Situation gilt dies auch für die Gerade . Betrachten wir nun eine Gerade mit . Dann ist der Restklassenring gleich

Da ist, ist der hintere Faktor eine Einheit, so dass es sich um den Ring handelt mit Dimension zwei.


Aufgabe (5 Punkte)

Zeige, dass eine ebene projektive Kurve

genau dann glatt ist, wenn die partiellen Ableitungen

in keinem Punkt der Kurve simultan gleich sind.


Lösung

Partielles Ableiten bezüglich einer Variablen und Dehomogenisieren bezüglich einer anderen Variablen sind vertauschbar.

Es sei ein Punkt der Kurve. Dieser Punkt liegt in einer der offenen affinen Mengen oder , auf der wir die Glattheit testen können. Ohne Einschränkung können wir annehmen. Wir schreiben . Es sei die inhomogene Gleichung der Kurve, die aus entsteht, indem man gleich setzt. Wenn ein glatter Punkt von ist, so bedeutet dies, dass die beiden partiellen Ableitungen und nicht simultan im Punkt verschwinden. Sagen wir

Nach der Vorbemerkung ist dann auch

und das homogene Ableitungskriterium ist erfüllt.

Wenn umgekehrt das homogene Kriterium erfüllt ist, und

(bzw. die partielle Ableitung nach ), so ergibt sich direkt

Nach Aufgabe ***** ist

Dies bedeutet, dass wenn die partiellen Ableitungen und im Punkt verschwinden, dass dann auch in diesem Punkt verschwindet, und das homogene Kriterium nicht erfüllt sein kann.