Kurs:Differentialgeometrie (Osnabrück 2023)/Vorlesung 25

Horizontale Schnitte

Definition

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Es sei ${}Z$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und

$\psi \colon Z\longrightarrow X$

eine differenzierbare Abbildung. Ein differenzierbarer Schnitt

$s\colon Z\longrightarrow E$

(über ${}\psi$) heißt horizontal, wenn für jeden Punkt  ${}z\in Z$  das Bild ${}T(s)(T_{z}Z)$ ganz im Horizontalbündel  ${}H_{s(z)}\subseteq T_{s(z)}E$  enthalten ist.

Es liegt also das kommutative Diagramm

${\begin{matrix}&&&E\\&&s\nearrow &\downarrow \\&Z&{\stackrel {\psi }{\longrightarrow }}&X\!\\\end{matrix}}$

vor. Statt von einem horizontalen Schnitt spricht man auuch von einer horizontalen Liftung. Das Konzept kann man insbesondere für Schnitte ${}s\colon U\rightarrow E{|}_{U}$ auf einer offenen Menge  ${}U\subseteq X$  anwenden.

Lemma

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei.

Dann ist ein stetig differenzierbarer Schnitt ${}s\colon U\rightarrow E{|}_{U}$ auf einer offenen Menge  ${}U\subseteq X$  genau dann horizontal, wenn seine vertikale Ableitung  ${}\nabla s=0$  ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 25.4.

$\Box$

Zu dieser Aussage gibt es eine entsprechende Variante für horizontale Schnitte längs einer Abbildung, siehe Aufgabe 25.5.

Definition

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Der Zusammenhang heißt lokal integrabel, wenn es zu jedem Punkt  ${}e\in E$  einen auf einer offenen Umgebung  ${}p(e)\in U\subseteq X$  definierten horizontalen Schnitt

$s\colon U\longrightarrow E{|}_{U}$

durch ${}e$ gibt.

Den Zusammenhang nennt man global integrabel, wenn es zu jedem  ${}e\in E$  einen horizontalen Schnitt auf ganz ${}X$ gibt.

Lineare Zusammenhänge

Definition

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem Zusammenhang versehen sei. Der Zusammenhang heißt linear, wenn die zugehörige vertikale Ableitung

$\nabla \colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E\otimes T^{*}X),\,s\longmapsto \nabla (s),$

${}\mathbb {R}$- linear ist (auf jeder offenen Menge).

Man beachte, dass dies nicht bedeutet, dass dieser Abbildung ein Bündelhomomorphismus zugrunde liegt bzw. ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul-Homomorphismus vorliegt. Die Abbildung ist nicht mit der Multiplikation der Schnitte mit Funktionen verträglich, sondern lediglich mit der Addition und mit der Skalarmultiplikation mit Konstanten. Stattdessen gilt die folgende Leibnizregel.

Satz

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.

Dann erfüllt die zugehörige vertikale Ableitung

$\nabla \colon C^{1}(E)\longrightarrow C^{0}(E\otimes T^{*}X),\,s\longmapsto \nabla (s),$

die Leibnizregel, d.h. für jeden differenzierbaren Schnitt ${}s$ in ${}E$ und jede differenzierbare Funktion ${}f$ (die beide auf einer offenen Menge  ${}U\subseteq X$  definiert sind) gilt

${}\nabla (fs)=s\otimes df+f\nabla (s)\,.$

Beweis

Beide Seiten sind lokal in ${}X$, wir können also annehmen, dass  ${}E=X\times W$  ein triviales Bündel (mit einem ${}\mathbb {R}$-Vektorraum ${}W$) ist. Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ konstante Basisschnitte von ${}E$, d.h. ${}s_{i}$ ist konstant gleich einem Vektor  ${}w_{i}\in W$,  und diese Vektoren bilden eine Basis von ${}W$. Wenn die Gleichheit für diese ${}s_{i}$ (und beliebige ${}f$) gezeigt ist, so folgt sie allgemein. Man kann ja jeden Schnitt ${}s$ in ${}E$ eindeutig als  ${}s=\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}$  mit Koeffizientenfunktionen ${}g_{i}$ schreiben. Damit gilt unter Verwendung der ${}\mathbb {R}$-Linearität der beiden Seiten und der Leibnizregel für die konstanten Schnitte (s.u.) und der Produktregel die Beziehung

${}{\begin{aligned}\nabla (fs)&=\nabla {\left(f\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)}\\&=\nabla {\left(\sum _{i=1}^{r}{\left(fg_{i}\right)}s_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}\nabla {\left({\left(fg_{i}\right)}s_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}{\left(s_{i}\otimes d(fg_{i})+fg_{i}\nabla s_{i}\right)}\\&=\sum _{i=1}^{r}s_{i}\otimes {\left(g_{i}df+fdg_{i}\right)}+\sum _{i=1}^{r}fg_{i}\nabla s_{i}\\&=\sum _{i=1}^{r}{\left(g_{i}s_{i}\otimes df\right)}+\sum _{i=1}^{r}{\left(s_{i}\otimes fdg_{i}+fg_{i}\nabla s_{i}\right)}\\&={\left(\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)}\otimes df+f\sum _{i=1}^{r}{\left(s_{i}\otimes dg_{i}+g_{i}\nabla s_{i}\right)}\\&=s\otimes df+f\sum _{i=1}^{r}\nabla {\left(g_{i}s_{i}\right)}\\&=s\otimes df+f\nabla s.\end{aligned}}$

Es sei also nun ${}s$ ein Schnitt, der konstant gleich ${}w$ ist. Es sei  ${}x\in X$.  Wegen  ${}\nabla (fs)=\nabla ((f-f(x))s)+f(x)\nabla s$  können wir weiter annehmen, dass  ${}f(x)=0$  ist. Dann ist  ${}(f\nabla s)(x)=0$  und wir müssen nur noch den vorderen Summanden betrachten. Der Tangentialraum von  ${}E=X\times W$  in ${}(x,0)$ ist gleich ${}(T_{x}X\times 0)\oplus (0\times W)$, und da der Nullschnitt für einen linearen Zusammenhang nach Aufgabe 25.9 horizontal ist, ist diese Zerlegung auch die Zerlegung in Horizontal- und Vertikalraum. Die vertikale Ableitung ${}\nabla (fs)$ im Punkt ${}x$ ist die Gesamtabbildung

$T_{x}X{\stackrel {T(fs)}{\longrightarrow }}T_{(x,0)}(X\times W){\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}W,$

und da ${}s$ konstant ist, ist dies gleich ${}s\otimes df$.

$\Box$

Man kann umgekehrt durch eine Ableitungsvorschrift, die die Leibnizregel erfüllt, einen linearen Zusammenhang angeben. Ein solcher Ableitungsformalismus und eine lineare Summenzerlegung des Tangentialbündels des Vektorbündels sind also im Wesentlichen äquivalente Konzepte.

Lemma

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Basis der Topologie und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$.

Dann gibt es auf ${}E$ einen linearen Zusammenhang.

Beweis

Es sei  ${}X=\bigcup _{i\in I}U_{i}$  eine offene Überdeckung, auf der ${}E$ trivialisiert. Es gibt den trivialen Zusammenhang ${}\nabla _{i}$ auf ${}E{|}_{U_{i}}$, der nach Aufgabe 25.10 linear ist. Nach Satz 22.10 gibt es zur Überdeckung eine untergeordnete Partition der Eins, ${}h_{j}$, ${}j\in J$. Dann ist ${}\sum _{j\in J}h_{j}\nabla _{i(j)}$ ein nach Aufgabe 25.16 wohldefinierter linearer Zusammenhang auf ${}X$.

$\Box$

Christoffelsymbole für einen linearen Zusammenhang

Definition

Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen und ${}\nabla$ ein linearer Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel  ${}E=U\times \mathbb {R} ^{r}$.  Es seien ${}x_{i}$ die Koordinaten auf ${}U$ und ${}e_{j}$ die Standardschnitte in ${}E$. Dann nennt man die durch die Gleichungen

${}\nabla _{\partial _{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}e_{k}\,$

definierten Funktionen

$\Gamma _{ij}^{k}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

die Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezüglich ${}x_{i}$ und ${}e_{j}$.

Die Christoffelsymbole beschreiben also die Abbildungen

$U{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}TU{\stackrel {T(e_{j})}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}E$

bezüglich der Basisschnitte ${}e_{k}$ von ${}E$. Die Linearität des Zusammenhangs ist für diese Definition nicht nötig, allerdings ergibt sich die Aussagekraft der Christoffelsymbole erst in Verbindung mit der Leibniz-Regel, die die Linearität voraussetzt, siehe Lemma 25.10.

Bemerkung  

Mit ${}E$ trivial auf  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  vom Rang ${}r$ ist

${}T(U\times \mathbb {R} ^{r})=U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\,$

und dem Vertikalbündel

${}VE\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r}\subseteq TE\cong U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\,$

und gegebenen Funktionen ${}\Gamma _{ij}^{k}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ wird eine vertikale Projektion (die zur Spaltung des Tangentialbündels ${}TE$ und damit zu einem Zusammenhang äquivalent ist) durch

$U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r},\,(P,u,v,w)\longmapsto (P,u,\sum _{k=1}^{r}{\left(\sum _{i,j}v_{i}u_{j}\Gamma _{ij}^{k}(P)\right)}e_{k}+w),$

gegeben. Speziell ist

$U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{r}\longrightarrow U\times \mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{r},\,(P,e_{j},\partial _{i},w)\longmapsto (P,e_{j},\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}+w).$

Die zugehörige vertikale Ableitung

$U{\stackrel {\partial _{i}}{\longrightarrow }}TU{\stackrel {T(e_{j})}{\longrightarrow }}TE{\stackrel {\nabla }{\longrightarrow }}E$

schickt

$P\longmapsto (P,\partial _{i})\longmapsto (P,e_{j},\partial _{i},0)\longmapsto \sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}(P)e_{k}.$

Man erhält also die definierende Eigenschaft der Christoffelsymbole zurück.

Definition

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und sei ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$ versehen sei. Dann nennt man zu jedem offenen Kartengebiet  ${}U\subseteq X$  mit Koordinaten ${}x_{i}$ (und den zugehörigen Ableitungsfeldern ${}\partial _{i}$) und auf dem ${}E$ trivialisiert mit Basisschnitten ${}s_{j}$, die durch die Gleichungen

${}\nabla _{\partial _{i}}s_{j}=\sum _{k=1}^{r}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\,$

definierten Funktionen

$\Gamma _{ij}^{k}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

die lokalen Christoffelsymbole des Zusammenhangs bezüglich der Trivialisierungen.

Lemma

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.

Dann gilt lokal auf einem Kartengebiet mit Koordinaten ${}x_{i}$ und Ableitungsfeldern ${}\partial _{i}$ und Basisschnitten ${}s_{j}$ in ${}E$ für die zugehörigen Christoffelsymbole für stetig differenzierbare Funktionen ${}h_{i},f_{j}\colon U\rightarrow \mathbb {R}$ die Beziehung

$\nabla _{\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{r}f_{j}s_{j}\right)}=\sum _{k=1}^{r}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{k}+\sum _{i,j}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}\right)}s_{k}\,.$

Beweis

Nach Lemma 24.10 und Satz 25.5 ist

${}{\begin{aligned}\nabla _{\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}}{\left(\sum _{j=1}^{r}f_{j}s_{j}\right)}&=\sum _{i,j}h_{i}\nabla _{\partial _{i}}{\left(f_{j}s_{j}\right)}\\&=\sum _{i,j}h_{i}{\left(s_{j}\otimes \partial _{i}f_{j}+f_{j}\nabla _{\partial _{i}}(s_{j})\right)}\\&=\sum _{i,j}h_{i}s_{j}\partial _{i}f_{j}+\sum _{i,j,k}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}s_{k}\\&=\sum _{k}{\left(\sum _{i=1}^{n}h_{i}\partial _{i}f_{k}+\sum _{i,j}h_{i}f_{j}\Gamma _{ij}^{k}\right)}s_{k}.\end{aligned}}$

$\Box$

Horizontale Schnitte bei einem linearen Zusammenhang

Zu einer offenen Menge  ${}U\subseteq X$  bezeichnen wir zu einem Vektorbündel ${}E$ mit einem linearen Zusammenhang ${}\nabla$ den Raum der horizontalen Schnitte mit ${}H(\nabla ,U)$. Es ist also

${}H(\nabla ,U)={\left\{s\in C^{1}(U,E)\mid \nabla (s)=0\right\}}\,.$

Es handelt sich dabei um eine „sehr kleine“ Auswahl von Schnitten, wie schon von Aufgabe 25.21 her klar ist und wie auch das folgende Lemma zeigt. Beim trivialen Vektorbündel vom Rang ${}1$ mit dem trivialen Zusammenhang geht es einfach um die lokal konstanten Schnitte. Man spricht von lokal-konstanten Garben oder von lokalen Systemen.

Lemma

Es sei ${}X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}E$ ein differenzierbares Vektorbündel vom Rang ${}r$ auf ${}X$, das mit einem linearen Zusammenhang versehen sei.

Dann ist für jede zusammenhängende offene Teilmenge  ${}U\subseteq X$  die Menge der horizontalen Schnitte ${}H(\nabla ,U)$ ein ${}\mathbb {R}$- Untervektorraum von ${}C^{1}(U,E)$ der Dimension ${}\leq r$.

Beweis

Es seien ${}s_{1},\ldots ,s_{r}$ linear unabhängige horizontale Schnitte auf ${}U$. Es sei ${}s$ ein weiterer differenzierbarer horizontaler Schnitt. Man kann ${}s$ wegen Aufgabe 25.6 (angewendet auf ${}U$) eindeutig als  ${}s=\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}$  mit Funktionen

$g_{i}\colon U\longrightarrow \mathbb {R}$

schreiben. Somit ist nach Satz 25.5

${}0=\nabla s=\nabla {\left(\sum _{i=1}^{r}g_{i}s_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{r}\nabla {\left(g_{i}s_{i}\right)}=\sum _{i=1}^{r}s_{i}\otimes dg_{i}\,.$

Auf jeder kleineren offenen Menge, die zu  ${}U'\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  diffeomorph ist, kann man dies unter Verwendung von Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ als

${}\sum _{i=1}^{r}s_{i}\otimes {\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}dx_{j}\right)}=\sum _{i=1}^{r}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}{\left(s_{i}\otimes dx_{j}\right)}\,$

schreiben. Die ${}s_{i}\otimes dx_{j}$ bilden (über dieser offenen Menge) Basisschnitte von ${}E{|}_{U'}\otimes T^{*}U'$ und daher muss  ${}{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}=0$  sein. Also sind die ${}g_{i}$ konstant (dies gilt wegen zusammenhängend auch auf ${}U$) und somit ist ${}s$ eine ${}\mathbb {R}$-Linearkombination der ${}s_{i}$.

$\Box$

Wenn es global (also über ${}X$) ${}r$ linear unabhängige horizontale Schnitte im Vektorbündel ${}E$ gibt, so ist das Vektorbündel trivial.

Lokal integrabel bedeutet für einen linearen Zusammenhang, dass zu jedem Punkt  ${}x\in X$  und  ${}e\in E_{x}$  lokal (in einer offenen Umgebung von ${}x$) die nach Lemma 25.11 maximal mögliche Anzahl (die durch den Rang des Bündels festgelegt ist) von linear unabhängigen horizontalen Schnitten angenommen wird. Die lokale Integrabilität ist bei einer eindimensionalen Basismannigfaltigkeit stets erfüllt.

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