Kurs:Körper- und Galoistheorie/T3/Klausur mit Lösungen
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 3 | 4 | 5 | 5 | 5 | 4 | 7 | 4 | 4 | 64 |
Aufgabe (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine endliche Körpererweiterung .
- Eine Einheit in einem kommutativen Ring .
- Eine -te Einheitswurzel in einem Körper ().
- Ein innerer Automorphismus einer Gruppe .
- Eine algebraische Zahl .
- Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .
- Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.
- Ein Element heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.
- Ein Element heißt -te Einheitswurzel, wenn ist.
- Ein Automorphismus
der Form zu einem festen Element heißt innerer Automorphismus.
- Eine Zahl heißt algebraisch, wenn es ein von verschiedenes Polynom gibt mit .
- Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller
-
Algebra-Automorphismen
von , also
Aufgabe (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen und .
- Die trigonometrische Darstellung der -ten komplexen Einheitswurzeln ().
- Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer -Algebra und einem Element .
- Die Gradformel besagt, dass eine endliche Körpererweiterung ist und dass
- Die -ten komplexen Einheitswurzeln besitzen die Darstellung
- Es gibt einen eindeutig bestimmten
-
Algebrahomomorphismus
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung
in liegen.
Wir schreiben die Gleichung als
Daher ist
Also liegen die Lösungen in .
Aufgabe (4 Punkte)
Forme die Gleichung
in eine äquivalente Gleichung der Form
mit um.
Wir setzen an und drücken das Polynom bzw. die Gleichung in aus. Es ist
und
Insgesamt ergibt sich also
Eine äquivalente Gleichung ist also
Aufgabe (4 Punkte)
Finde im Polynomring ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.
Wir betrachten das Polynom
Da weder noch eine Nullstelle von sind, besitzt es keinen Linearfaktor. Die einzige verbleibende Faktorzerlegung wäre als ein Produkt von zwei irreduziblen Polynomen vom Grad zwei. Das einzige irreduzible Polynom vom Grad zwei ist . Wegen
ist irreduzibel.
Aufgabe (3 Punkte)
Berechne in
( bezeichne die Restklasse von ).
Es ist
und
Daher ist
Aufgabe (3 Punkte)
Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .
Es ist
Dies ist eine - Linearkombination von und , nämlich
Daher ist
ein annullierendes Polynom von . Wegen kann es kein annullierendes Polynom von einem kleineren Grad geben, also handelt es sich um das Minimalpolynom.
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine endliche Körpererweiterung und . Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der - linearen Multiplikationsabbildung
grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.
Wenn gehört, so ist die Multiplikationsabbildung die Streckung mit . Dann ist der einzige Eigenwert von und ganz ist der Eigenraum zu diesem Eigenwert. Wenn hingegen gilt, so gibt es keinen Eigenwert. Die Eigenwertbedingung
mit einem , , und einem führt wegen der Invertierbarkeit von direkt zum Widerspruch
Aufgabe (4 Punkte)
Das Polynom ist irreduzibel, da es Grad hat und in keine Nullstelle besitzt. Daher ist
ein Körper mit Elementen, und die Restklassen von (die wir mit bezeichnen) bilden eine -Basis von . Wir beschreiben den Frobenius bezüglich dieser Basis unter Verwendung von . Es ist
und
In den Spalten der beschreibenden Matrix stehen die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis, also ist die Matrix gleich
Aufgabe (5 Punkte)
Es sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.
- ist ein Primelement.
- ist ein Integritätsbereich.
- ist ein Körper.
Die Äquivalenz (1) (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für ), siehe Aufgabe 7.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), und (3) impliziert natürlich (2). Es sei also (1) erfüllt und sei von verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in ebenfalls mit . Es ist dann und es ergibt sich eine echte Idealinklusion . Ferner können wir schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt . Da keine Einheit ist und prim (also nach Lemma 3.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) auch irreduzibel) ist, muss eine Einheit sein. Es ist also , und das bedeutet modulo , also in , dass eine Einheit ist. Also ist ein Körper.
Aufgabe (5 Punkte)
Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?
In betrachten wir das Element . Die Ordnung von ist ein Teiler von . Es ist und , sodass die Ordnung ist, also ist primitiv.
Wir betrachten in . Dieser Ring hat Einheiten, also ist die Ordnung von ein Teiler von . Andererseits folgt aus , dass auch ist. Dann muss ein Vielfaches von sein. An möglichen Ordnungen bleiben also oder . Es ist . Also ist die Ordnung und ist primitiv modulo .
Damit hat die Ordnung und hat die Ordnung .
ist ein Körper und die Einheitengruppe ist zyklisch der Ordnung . Daher gibt es dort Elemente der Ordnung , aber nicht der Ordnung .
Aufgabe (5 (3+2) Punkte)
Es seien und kommutative Gruppen und seien und die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper .
- Zeige, dass zu einem
Gruppenhomomorphismus
durch die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus
definiert wird.
- Es sei eine weitere kommutative Gruppe und sei
ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit
- Ein Charakter ist ein Gruppenhomomorphismus
Also ist
und die Zuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus.
- Dies ergibt sich für direkt aus
Aufgabe (4 Punkte)
Beweise den Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.
Wenn es einen -Automorphismus mit
gibt, so induziert dieser einen Isomorphismus
.
Da diese erzeugten Unterkörper jeweils durch die Minimalpolynome von
bzw.
festgelegt sind, müssen die Minimalpolynome übereinstimmen. Also sind
und
konjugiert.
Wenn umgekehrt die beiden Elemente konjugiert sind, so gibt es einen -Isomorphismus
.
Mit der Inklusion
führt dies zu einem -Homomorphismus
den man nach
Korollar 15.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
zu einem Automorphismus auf fortsetzen kann.
Aufgabe (7 (1+1+2+3) Punkte)
- Bestimme die Zerlegung von in .
- Bestimme den Zerfällungskörper von .
- Bestimme den Grad der Körpererweiterung .
- Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von von der Galoisgruppe herrühren.
- Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung
- Die vier Nullstellen aus Teil (1) müssen zum Zerfällungskörper gehören, daher ist insbesondere
ein Element von . Es ist also
- Das Polynom ist irreduzibel in , da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm
die horizontalen Erweiterungen den Grad und die vertikalen Erweiterungen den Grad (da reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu). Die Gesamterweiterung hat also den Grad .
- Ein -Automorphismus sendet auf sich selbst oder auf . Im ersten Fall handelt es sich um einen -Automorphismus. Diese schauen wir zuerst an. Unter einem solchen Automorphismus kann auf jede andere Nullstelle von abgebildet werden, dadurch ist dann alles festgelegt. Dies führt zu den Permutationen
Wenn auf abgebildet wird, so kann ebenfalls auf jede andere Nullstelle von abgebildet werden. Dies führt zu den Permutationen
Aufgabe (4 Punkte)
Bestimme das Kreisteilungspolynom .
Es gilt die Gleichung
Kreisteilungspolynom errechnet sich aus
(Division mit Rest)
Wegen berechnet man das neunte Kreisteilungspolynom durch die Divison
Dies ergibt
Aufgabe (4 Punkte)
Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppe einer geeigneten Körpererweiterung .
- ,
- ,
- ,
- .
Wir verwenden die Kreisteilungskörper , deren Galoisgruppe gleich ist.
- Der Kreisteilungskörper besitzt die Galoisgruppe .
- Der Kreisteilungskörper besitzt die Galoisgruppe .
- Der Kreisteilungskörper besitzt die Galoisgruppe .
- Der Kreisteilungskörper
besitzt die Galoisgruppe
.
Es sei der Kern des surjektiven Gruppenhomomorphismus
Dann ist nach Satz 17.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine Galoiserweiterung mit der Restklassengruppe als Galoisgruppe.