Kurs:Körper- und Galoistheorie/T3/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 3 4 4 3 3 3 4 5 5 5 4 7 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine endliche Körpererweiterung .
  2. Eine Einheit in einem kommutativen Ring .
  3. Eine -te Einheitswurzel in einem Körper ().
  4. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe .
  5. Eine algebraische Zahl .
  6. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .


Lösung

  1. Eine Körpererweiterung heißt endlich, wenn ein endlichdimensionaler Vektorraum über ist.
  2. Ein Element heißt Einheit, wenn es ein Element mit gibt.
  3. Ein Element heißt -te Einheitswurzel, wenn ist.
  4. Ein Automorphismus

    der Form zu einem festen Element heißt innerer Automorphismus.

  5. Eine Zahl heißt algebraisch, wenn es ein von verschiedenes Polynom gibt mit .
  6. Unter der Galoisgruppe versteht man die Gruppe aller -Algebra-Automorphismen von , also


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen und .
  2. Die trigonometrische Darstellung der -ten komplexen Einheitswurzeln ().
  3. Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer -Algebra und einem Element .


Lösung

  1. Die Gradformel besagt, dass eine endliche Körpererweiterung ist und dass
    gilt.
  2. Die -ten komplexen Einheitswurzeln besitzen die Darstellung
  3. Es gibt einen eindeutig bestimmten -Algebrahomomorphismus
    mit .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

in liegen.


Lösung

Wir schreiben die Gleichung als

Daher ist

Also liegen die Lösungen in .


Aufgabe (4 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Lösung

Wir setzen an und drücken das Polynom bzw. die Gleichung in aus. Es ist

und

Insgesamt ergibt sich also

Eine äquivalente Gleichung ist also


Aufgabe (4 Punkte)

Finde im Polynomring ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.


Lösung

Wir betrachten das Polynom

Da weder noch eine Nullstelle von sind, besitzt es keinen Linearfaktor. Die einzige verbleibende Faktorzerlegung wäre als ein Produkt von zwei irreduziblen Polynomen vom Grad zwei. Das einzige irreduzible Polynom vom Grad zwei ist . Wegen

ist irreduzibel.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne in

das Produkt

( bezeichne die Restklasse von ).


Lösung

Es ist

und

Daher ist


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Lösung

Es ist

Dies ist eine -Linearkombination von und , nämlich

Daher ist

ein annullierendes Polynom von . Wegen kann es kein annullierendes Polynom von einem kleineren Grad geben, also handelt es sich um das Minimalpolynom.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine endliche Körpererweiterung und . Zeige, dass es für die Eigenwerttheorie der -linearen Multiplikationsabbildung

grundsätzlich nur zwei Möglichkeiten gibt.


Lösung

Wenn gehört, so ist die Multiplikationsabbildung die Streckung mit . Dann ist der einzige Eigenwert von und ganz ist der Eigenraum zu diesem Eigenwert. Wenn hingegen gilt, so gibt es keinen Eigenwert. Die Eigenwertbedingung

mit einem , , und einem führt wegen der Invertierbarkeit von direkt zum Widerspruch


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Matrix des Frobeniushomomorphismus

bezüglich einer geeigneten -Basis von .


Lösung

Das Polynom ist irreduzibel, da es Grad hat und in keine Nullstelle besitzt. Daher ist

ein Körper mit Elementen, und die Restklassen von (die wir mit bezeichnen) bilden eine -Basis von . Wir beschreiben den Frobenius bezüglich dieser Basis unter Verwendung von . Es ist

und

In den Spalten der beschreibenden Matrix stehen die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis, also ist die Matrix gleich


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Hauptidealbereich und ein Element. Zeige, dass die folgende Bedingungen äquivalent sind.

  1. ist ein Primelement.
  2. ist ein Integritätsbereich.
  3. ist ein Körper.


Lösung

Die Äquivalenz (1) (2) gilt in jedem kommutativen Ring (auch für ), siehe Aufgabe 7.1 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)), und (3) impliziert natürlich (2). Sei also (1) erfüllt und sei von verschieden. Wir bezeichnen einen Repräsentanten davon in ebenfalls mit . Es ist dann und es ergibt sich eine echte Idealinklusion . Ferner können wir schreiben, da wir in einem Hauptidealring sind. Es folgt . Da keine Einheit ist und prim (also nach Lemma 3.10 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) auch irreduzibel) ist, muss eine Einheit sein. Es ist also , und das bedeutet modulo , also in , dass eine Einheit ist. Also ist ein Körper.


Aufgabe (5 Punkte)

Finde ein primitives Element in und in . Man gebe ferner ein Element der Ordnung und ein Element der Ordnung in an. Gibt es Elemente der Ordnung und der Ordnung auch in ?


Lösung

In betrachten wir das Element . Die Ordnung von ist ein Teiler von . Es ist und , so dass die Ordnung ist, also ist primitiv.

Wir betrachten in . Dieser Ring hat Einheiten, also ist die Ordnung von ein Teiler von . Andererseits folgt aus , dass auch ist. Dann muss ein Vielfaches von sein. An möglichen Ordnungen bleiben also oder . Es ist . Also ist die Ordnung und ist primitiv modulo .

Damit hat die Ordnung und hat die Ordnung .

ist ein Körper und die Einheitengruppe ist zyklisch der Ordnung . Daher gibt es dort Elemente der Ordnung , aber nicht der Ordnung .


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Es seien und kommutative Gruppen und seien und die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper .

  1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

    durch die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus

    definiert wird.

  2. Es sei eine weitere kommutative Gruppe und sei

    ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit


Lösung

  1. Ein Charakter ist ein Gruppenhomomorphismus
    daher ist die Verknüpfung
    ein Element aus , die Abbildung ist also wohldefiniert. Zu zwei Charakteren und einem beliebigen Element ist

    Also ist

    und die Zuordnung ist ein Gruppenhomomorphismus.

  2. Dies ergibt sich für direkt aus


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz über konjugierte Elemente bei einer normalen Körpererweiterung.


Lösung

Wenn es einen -Automorphismus mit gibt, so induziert dieser einen Isomorphismus . Da diese erzeugten Unterkörper jeweils durch die Minimalpolynome von bzw. festgelegt sind, müssen die Minimalpolynome übereinstimmen. Also sind und konjugiert.
Wenn umgekehrt die beiden Elemente konjugiert sind, so gibt es einen -Isomorphismus . Mit der Inklusion führt dies zu einem -Homomorphismus

den man nach Korollar 15.8 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) zu einem Automorphismus auf fortsetzen kann.


Aufgabe (7 (1+1+2+3) Punkte)

  1. Bestimme die Zerlegung von in .
  2. Bestimme den Zerfällungskörper von .
  3. Bestimme den Grad der Körpererweiterung .
  4. Beschreibe, welche Permutationen auf der Nullstellenmenge von von der Galoisgruppe herrühren.


Lösung

  1. Über den komplexen Zahlen liegt die Faktorzerlegung
    wobei die positive reelle vierte Wurzel der bezeichnet. Die Zerlegung ist korrekt, da in den Linearformen sämtliche vierte Wurzeln aus der vorkommen.
  2. Die vier Nullstellen aus Teil (1) müssen zum Zerfällungskörper gehören, daher ist insbesondere

    ein Element von . Es ist also

  3. Das Polynom ist irreduzibel in , da die obige reelle Zerlegung in quadratische Polynome nicht rational durchführbar ist. Daher haben im kommutativen Diagramm

    die horizontalen Erweiterungen den Grad und die vertikalen Erweiterungen den Grad (da reell ist, gehört die imaginäre Einheit da nicht dazu). Die Gesamterweiterung hat also den Grad .

  4. Ein -Automorphismus sendet auf sich selbst oder auf . Im ersten Fall handelt es sich um einen -Automorphismus. Diese schauen wir zuerst an. Unter einem solchen Automorphismus kann auf jede andere Nullstelle von abgebildet werden, dadurch ist dann alles festgelegt. Dies führt zu den Permutationen

    Wenn auf abgebildet wird, so kann ebenfalls auf jede andere Nullstelle von abgebildet werden. Dies führt zu den Permutationen


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das Kreisteilungspolynom .


Lösung

Es gilt die Gleichung

mit . Das dritte

Kreisteilungspolynom errechnet sich aus

zu

(Division mit Rest)

Wegen berechnet man das neunte Kreisteilungspolynom durch die Divison

Dies ergibt


Aufgabe (4 Punkte)

Realisiere die folgenden Gruppen als Galoisgruppe einer geeigneten Körpererweiterung .

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Lösung

Wir verwenden die Kreisteilungskörper , deren Galoisgruppe gleich ist.

  1. Der Kreisteilungskörper besitzt die Galoisgruppe .
  2. Der Kreisteilungskörper besitzt die Galoisgruppe .
  3. Der Kreisteilungskörper besitzt die Galoisgruppe .
  4. Der Kreisteilungskörper besitzt die Galoisgruppe . Es sei der Kern des surjektiven Gruppenhomomorphismus

    Dann ist nach Satz 17.5 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) eine Galoiserweiterung mit der Restklassengruppe als Galoisgruppe.