Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 16

Fixkörper

Definition

Es sei ${}L$ ein Körper und  ${}H\subseteq \operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L\right)}$  eine Untergruppe der Automorphismengruppe von ${}L$. Dann heißt

${}\operatorname {Fix} \,(H)={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=x{\text{ für alle }}\varphi \in H\right\}}\,$

der Fixkörper zu ${}H$.

Es ist unmittelbar klar, dass es sich dabei um einen Unterkörper von ${}L$ handelt. Dies gilt auch dann, wenn ${}H$ eine beliebige Menge von Ringendomorphismen ist, die nicht notwendigerweise bijektiv sein müssen.

Bemerkung  

Zur trivialen Untergruppe  ${}\{\operatorname {Id} \}\subseteq \operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L\right)}$  gehört der Fixkörper ${}L$, und für jede andere Untergruppe ist der Fixkörper ein echter Unterkörper. Den Fixkörper zur gesamten Automorphismengruppe kann man dagegen nicht einfach charakterisieren (es ist nicht immer der Primkörper).

Lemma

Es sei ${}L$ ein Körper und  ${}G=\operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L\right)}$  die Automorphismengruppe von ${}L$. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Für Untergruppen  ${}H_{1}\subseteq H_{2}\subseteq G$  ist  ${}\operatorname {Fix} \,(H_{1})\supseteq \operatorname {Fix} \,(H_{2})$. 
2. Für Unterkörper  ${}M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq L$  ist  ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M_{1})\supseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}M_{2})$. 
3. Für eine Untergruppe  ${}H\subseteq G$  ist  ${}H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}\operatorname {Fix} \,(H))$. 
4. Für einen Unterkörper  ${}M\subseteq L$  ist  ${}M\subseteq \operatorname {Fix} \,(\operatorname {Gal} \,(L{|}M))$. 

Beweis

Siehe Aufgabe 16.3.

$\Box$

Charakterisierung von Galoiserweiterungen

Wir streben eine umfassende Charakterisierung von Galoiserweiterungen an, was einige Vorbereitungen erfordert.

Lemma

Es sei ${}L$ ein Körper und sei  ${}H\subseteq \operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L\right)}$  eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe von ${}L$. Es sei  ${}K=\operatorname {Fix} \,(H)$. 

Dann ist  ${}K\subseteq L$  eine algebraische Körpererweiterung, die normal und separabel ist.

Für jedes  ${}x\in L$  ist der Grad des Minimalpolynoms von ${}x$ über ${}K$ maximal gleich ${}{\#\left(H\right)}$.

Beweis

Es sei  ${}x\in L$  fixiert. Wir betrachten die endliche Menge

${}M={\left\{\varphi (x)\mid \varphi \in H\right\}}=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\,,$

wobei  ${}x_{1}=x$  sei. Wir setzen

${}F:=(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}+X^{n}\,$

($\in L[X]$). Es ist  ${}F(x)=0$.  Wir zeigen zuerst, dass die Koeffizienten ${}a_{i}$ dieses Polynoms zu ${}K$ gehören. Es sei dazu  ${}\varphi \in H$.  Dann ist

${}\sum _{i=0}^{n}\varphi (a_{i})X^{i}=\prod _{i=1}^{n}(X-\varphi (x_{i}))=\prod _{i=1}^{n}(X-x_{i})=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\,.$

Daher ist  ${}\varphi (a_{i})=a_{i}$.  Somit gehören die Koeffizienten zum Fixkörper  ${}K=\operatorname {Fix} \,(H)$  und daher ist  ${}F\in K[X]$.  Dies bedeutet, dass ${}x$ algebraisch über ${}K$ ist, und dass sein Minimalpolynom einen Grad

${}\leq \operatorname {Grad} _{}^{}{\left(F\right)}=n={\#\left(M\right)}\leq {\#\left(H\right)}\,$

besitzt. Da ${}F$ über ${}L$ in Linearfaktoren zerfällt, und da alle Nullstellen von ${}F$ einfach sind, ist die Erweiterung normal und separabel.

$\Box$

Emil Artin (1898-1962)

Der folgende Satz heißt Satz von Artin.

Satz

Es sei ${}L$ ein Körper und sei  ${}H\subseteq \operatorname {Aut} _{}^{}{\left(L\right)}$  eine endliche Untergruppe der Automorphismengruppe von ${}L$. Es sei  ${}K=\operatorname {Fix} \,(H)$. 

Dann ist

${}\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(H\right)}\,.$

Insbesondere ist  ${}K\subseteq L$  eine Galoiserweiterung mit Galoisgruppe ${}H$.

Beweis

 Nehmen wir an, dass  ${}{\#\left(H\right)}<\operatorname {grad} _{K}L$  ist. Wir können annehmen, dass ${}L$ endlich über ${}K$ ist, da wir ${}L$ durch einen (über ${}K$ endlichen) Zwischenkörper der Form ${}K[\varphi (x_{i}),\varphi \in H,\,i=1,\ldots ,n]$ mit beliebig hohem Grad ersetzen können. Nach Lemma 16.4 ist die Körpererweiterung separabel und nach dem Satz vom primitiven Element kann man  ${}L=K[x]$  schreiben. Dabei ist der Grad des Minimalpolynoms von ${}x$ gleich dem Grad der Körpererweiterung, sodass sich ein Widerspruch zu Lemma 16.4 ergibt. Also ist  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung mit  ${}{\#\left(H\right)}\geq \operatorname {grad} _{K}L$.  Nach Satz 14.7 muss hierbei Gleichheit gelten. Die Inklusion  ${}H\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$  ist trivial. Da ${}H$ nach Satz 14.7 schon die maximal mögliche Anzahl von ${}K$-Automorphismen enthält, gilt hier Gleichheit.

$\Box$

Der nächste Satz fasst die verschiedenen Charakterisierungen einer Galoiserweiterung zusammen.

Satz

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung und sei  ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$  die Galoisgruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. Die Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  ist eine Galoiserweiterung.
2. Es ist  ${}\operatorname {Fix} \,(G)=K$. 
3. Die Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  ist normal und separabel.
4. ${}L$ ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms  ${}F\in K[X]$. 

Beweis

Zum Beweis der Implikation von (1) nach (2) betrachten wir die Körperkette  ${}K\subseteq \operatorname {Fix} \,(G)\subseteq L$.  Nach der Gradformel und da eine Galoiserweiterung vorliegt ist

${}\operatorname {grad} _{K}\operatorname {Fix} \,(G)\cdot \operatorname {grad} _{\operatorname {Fix} \,(G)}L=\operatorname {grad} _{K}L={\#\left(G\right)}\,.$

Nach dem Satz von Artin ist  ${}\operatorname {grad} _{\operatorname {Fix} \,(G)}L={\#\left(G\right)}$,  also ist  ${}\operatorname {grad} _{K}\operatorname {Fix} \,(G)=1$. 
Die Implikation von (2) nach (3) folgt aus Lemma 16.4.
Die Äquivalenz von (3) und (4) ergibt sich sofort aus Satz 15.7.
Es sei nun (3) erfüllt. Wir schreiben  ${}L=K[x_{1},\ldots ,x_{m}]$.  Die Minimalpolynome ${}F_{i}\in K[X]$ der ${}x_{i}$ zerfallen wegen der Normalität in ${}L[X]$ in Linearfaktoren. Daher können wir Lemma 13.7 mit  ${}M=L$  anwenden und erhalten  ${}n=\operatorname {grad} _{K}L$  Einbettungen von ${}L$ nach ${}L$ (über ${}K$), und somit besitzt die Galoisgruppe ${}n$ Elemente.

$\Box$

Korollar

Es sei  ${}K\subseteq L$  eine endliche Galoiserweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper.

Dann ist auch  ${}M\subseteq L$  eine Galoiserweiterung.

Beweis

Nach Lemma 15.2  (3) ist  ${}M\subseteq L$  eine normale Körpererweiterung. Nach Lemma 13.5 ist sie auch separabel. Somit handelt es sich aufgrund von Satz 16.6 um eine Galoiserweiterung.

$\Box$

In der vorstehenden Situation ist die Körpererweiterung  ${}K\subseteq M$  im Allgemeinen nicht galoissch.

Endliche Körper als Galoiserweiterung

Wir besprechen zuerst endliche Körper im Rahmen der Galoistheorie.

Zu jeder Primzahl ${}p$ und jedem Exponenten ${}m$ gibt es nach Satz 11.11 einen eindeutig bestimmten endlichen Körper mit ${}p^{m}$ Elementen.

Lemma

Es sei ${}L$ ein endlicher Körper der Charakteristik ${}p$.

Dann ist der Frobeniushomomorphismus

$\Phi \colon L\longrightarrow L,\,x\longmapsto x^{p},$

ein Automorphismus, dessen Fixkörper ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist.

Beweis

Der Frobeniushomomorphismus ist stets ein Ringhomomorphismus. Die Injektivität ergibt sich aus Korollar 6.8, und daraus ergibt sich die Surjektivität wegen der Endlichkeit aus Lemma 10.5 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)). Wegen  ${}\Phi (1)=1$  werden die Elemente aus ${}\mathbb {Z} /(p)$ auf sich selbst abgebildet. Daher gibt es ${}p$ Elemente in ${}K$ mit  ${}x^{p}=x$.  Mehr kann es wegen Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) nicht geben.

$\Box$

Satz

Es sei ${}p$ eine Primzahl und  ${}q=p^{m}$  mit  ${}m\in \mathbb {N} _{+}$. 

Dann ist die Körpererweiterung  ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq {\mathbb {F} }_{q}$  eine Galoiserweiterung mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung ${}m$, die vom Frobeniushomomorphismus erzeugt wird.

Beweis

Es sei

$\Phi \colon {\mathbb {F} }_{q}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{q}$

der Frobeniushomomorphismus, der nach Lemma 16.8 ein ${}{\mathbb {F} }_{p}$-Automorphismus ist. Daher sind auch die Iterationen ${}\Phi ^{k}$ Automorphismen, und zwar gilt

${}\Phi ^{k}(x)=x^{p^{k}}\,.$

Bei  ${}k=m$  ist nach Korollar 4.17  ${}x^{p^{m}}=x$  für alle  ${}x\in {\mathbb {F} }_{q}$,  also ist  ${}\Phi ^{m}=\operatorname {Id}$.  Für  ${}k<m$  kann ${}\Phi ^{k}$ nicht die Identität sein, da dies sofort Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) widersprechen würde. Also gibt es ${}m$ verschiedene Potenzen des Frobeniusautomorphismus. Nach Satz 14.7 kann es keine weiteren Automorphismen geben und die Körpererweiterung ist galoissch mit der vom Frobenius erzeugten Gruppe als Galoisgruppe.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}p$ eine Primzahl und  ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$.  Es seien ${}K$ und ${}L$ endliche Körper mit ${}p^{m}$ bzw. ${}p^{n}$ Elementen.

Dann ist ${}K$ genau dann ein Unterkörper von ${}L$, wenn ${}m$ ein Teiler von ${}n$ ist.

In diesem Fall ist  ${}K\subseteq L$  eine Galoiserweiterung vom Grad ${}n/m$ mit einer zyklischen Galoisgruppe der Ordnung ${}n/m$, die von der ${}m$-ten Iteration des Frobenius erzeugt wird.

Beweis

Es sei  ${}q=p^{m}$.  Wenn ${}K$ ein Unterkörper von ${}L$ ist, so ist ${}L$ ein ${}K$-Vektorraum einer gewissen endlichen Dimension. Daher muss die Elementanzahl von ${}L$ eine Potenz von ${}q$ sein. Aus

${}p^{n}=q^{k}=(p^{m})^{k}=p^{mk}\,$

ergibt sich sofort, dass ${}n$ ein Vielfaches von ${}m$ ist.

Es sei umgekehrt ${}m$ ein Teiler von ${}n$. Die Frobeniusiteration ${}\Phi ^{m}$ auf ${}L$ erzeugt eine Untergruppe ${}H$ der nach Satz 16.9 zyklischen Galoisgruppe von  ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq L$.  Die Ordnung von ${}H$ ist ${}n/m$. Es sei  ${}M=\operatorname {Fix} \,(H)\subseteq L$  der zugehörige Fixkörper. Dann besitzt die Körpererweiterung  ${}M\subseteq L$  nach Korollar 16.7 den Grad ${}n/m$ und somit besitzt  ${}{\mathbb {F} }_{p}\subseteq M$  den Grad ${}m$. Daher besitzt ${}M$ gerade ${}p^{m}$ Elemente und ist daher wegen Satz 11.11 isomorph zu ${}K$.

$\Box$

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