Kurs:Lineare Algebra/Teil I/6/Klausur mit Lösungen

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 2 1 3 4 8 5 6 7 6 3 1 7 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Potenzmenge zu einer Menge .
  2. Eine lineare Abbildung

    zwischen zwei -Vektorräumen und .

  3. Die Spur zu einer quadratischen Matrix über einem Körper .
  4. Die Determinante einer -Matrix .
  5. Eine nilpotente lineare Abbildung

    auf dem -Vektorraum .

  6. Ein affiner Isomorphismus

    zwischen den affinen Räumen und über den -Vektorräumen  bzw. .


Lösung

  1. Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von die Potenzmenge von .
  2. Eine Abbildung

    heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

    1. für alle .
    2. für alle und .
  3. Sei

    Dann heißt

    die Spur von .

  4. Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch
  5. Die lineare Abbildung

    heißt nilpotent, wenn es eine natürliche Zahl derart gibt, dass die -te Hintereinanderschaltung

    ist.

  6. Eine bijektive affine Abbildung

    heißt affiner Isomorphismus.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
  2. Der Satz über die Matrixbeschreibung für die duale Abbildung.
  3. Der Satz über Diagonalisierbarkeit und Vielfachheiten.


Lösung

  1. Unter der Bedingung, dass endlichdimensional ist, gilt
  2. Es sei ein Körper und sei ein -dimensionaler -Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis . Es seien bzw. die zugehörigen Dualbasen. Es sei

    eine lineare Abbildung, die bezüglich der gegebenen Basen durch die -Matrix

    beschrieben werde. Dann wird die duale Abbildung

    bezüglich der Dualbasen von bzw. durch die transponierte Matrix

    beschrieben.
  3. Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

    eine lineare Abbildung. Dann ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und wenn für jede Nullstelle mit der algebraischen Vielfachheit die Gleichheit

    gilt.


Aufgabe (2 Punkte)

Anfang März beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay Stunden (in Paraguay wurde es Stunden später hell). Am 25. März 2018 wurde in Deutschland die Uhr von der Winterzeit auf die Sommerzeit umgestellt, die Uhr wurde also um eine Stunde nachts von auf vorgestellt. In der gleichen Nacht wurde die Uhr in Paraguay umgestellt. Wie groß war die Zeitdifferenz nach der Umstellung?


Lösung

Da Paraguay auf der Südhalbkugel liegt, wird dort Ende März von der dortigen Sommerzeit auf die dortige Winterzeit umgestellt, dort wird also die Uhr zurückgestellt. Daher beträgt die Zeitdifferenz zwischen Deutschland und Paraguay danach ganze Stunden.


Aufgabe (2 Punkte)

Es seien Mengen und und Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge die Beziehung

gilt.


Lösung

Sei fixiert. Es sei . Das bedeutet

und das bedeutet

also

Wenn umgekehrt

ist, so bedeutet dies

Also ist

und damit


Aufgabe (1 Punkt)

Sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.


Lösung

Es ist

Damit ist das Inverse zu . Damit ist


Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in den Vektor

als Linearkombination der Vektoren

aus.


Lösung

Es geht darum, das lineare Gleichungssystem

zu lösen. Wir eliminieren mit Hilfe der dritten Gleichung die Variable aus der ersten Gleichung. Das resultierende System ist ()

Wir eliminieren nun aus mittels die Variable , das ergibt ()

Wir können jetzt dieses System lösen. Es ist

und

Also ist


Aufgabe (4 Punkte)

a) Bestimme, ob die komplexe Matrix

invertierbar ist.

b) Finde eine Lösung für das inhomogene lineare Gleichungssystem


Lösung

a) Wir berechnen die Determinante der Matrix. Diese ist

Insbesondere ist die Matrix invertierbar.

b) Es ist

Daher können wir direkt eine Lösung angeben, nämlich

Es ist ja


Aufgabe (8 (2+2+4) Punkte)

Es sei ein endlicher Körper mit Elementen.

a) Es sei ein -Vektorraum der Dimension . Wie viele Elemente besitzt ?

b) Zeige, dass ein -Vektorraum genau dann endlich ist, wenn er endlichdimensional ist.

c) Wie viele Basen besitzt ein -dimensionaler -Vektorraum?


Lösung

a) Da es eine Basis gibt, ist isomorph zu . Dieser Raum besteht aus allen -Tupeln und besitzt damit Elemente.

b) Wenn endlichdimensional ist, so folgt die Endlichkeit der Menge direkt aus a). Wenn endlich ist, so kann man ganz als endliches Erzeugendensystem wählen. Eine Teilmenge davon bildet eine endliche Basis. Also ist endlichdimensional.

c) Wir überlegen uns, auf wie viele Arten wir eine Basis zusammenstellen können. Damit müssen wir nur beachten, dass jeweils nicht im dem von den erzeugten Untervektorraum liegt. Durch diese Bedingung besitzt dieser Untervektorraum insbesondere Elemente. Das bedeutet, dass man für genau Auswahlmöglichkeiten hat. Daher gibt es insgesamt

Basen.


Aufgabe (5 Punkte)

Es sei

die durch die Matrix (bezüglich der Standardbasis) festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basis und .


Lösung

Es ist

und

Diese Bildvektoren müssen wir bezüglich der Basis ausdrücken. Der Ansatz

bzw.

führt auf

und damit auf und . Der Ansatz

bzw.

führt auf

und damit auf und . Daher ist die beschreibende Matrix von bezüglich der Basis und gleich


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz, dass die Zuordnung zwischen linearen Abbildungen und Matrizen (bei gegebenen Basen) bijektiv ist.


Lösung

Wir zeigen, dass beide Hintereinanderschaltungen die Identität sind. Wir starten mit einer Matrix und betrachten die Matrix

Zwei Matrizen sind gleich, wenn für jedes Indexpaar die Einträge übereinstimmen. Es ist

Sei nun eine lineare Abbildung, und betrachten wir

Zwei lineare Abbildungen stimmen nach Satz 10.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) überein, wenn man zeigen kann, dass sie auf der Basis übereinstimmen. Es ist

Dabei ist nach Definition der Koeffizient die -te Koordinate von bezüglich der Basis . Damit ist diese Summe gleich .


Aufgabe (7 Punkte)

Es sei ein -Vektorraum und seien Untervektorräume. Zeige im Dualraum die Gleichheit


Lösung

Sei mit und . Für ist somit

also ist .

Für die andere Inklusion sei und sei ein direktes Komplement von in und ein direktes Komplement von in , also

und

Es sei die Gesamtabbildung

Dann ist eingeschränkt auf die Nullabbildung und somit auch auf die Nullabbildung. Also ist .

Sei

Für ist

mit und . Dabei ist

und

nach Definition von . Also ist

und somit .


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.


Lösung

Wenn diagonalisierbar ist, so kann man sofort annehmen, dass bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren durch eine Diagonalmatrix beschrieben wird. Die Diagonaleinträge dieser Matrix sind die Eigenwerte, und diese wiederholen sich gemäß ihrer geometrischen Vielfachheit. Das charakteristische Polynom lässt sich auch direkt aus dieser Diagonalmatrix ablesen, jeder Diagonaleintrag trägt als Linearfaktor bei.

Für die Umkehrung seien die verschiedenen Eigenwerte und

seien die (geometrischen und algebraischen) Vielfachheiten. Da nach Voraussetzung das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt, muss die Summe dieser Zahlen gleich sein. Nach Lemma 22.6 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist die Summe der Eigenräume

direkt. Nach Voraussetzung ist die Dimension links ebenfalls gleich , so dass Gleichheit vorliegt. Nach Lemma 22.11 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist diagonalisierbar.


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine -Matrix über mit dem Minimalpolynom . Es sei

eine Faktorzerlegung in Polynome von positivem Grad. Zeige, dass nicht bijektiv ist.


Lösung

Es ist

Dabei ist die Reihenfolge der Hintereinanderschaltung unerheblich, da der Polynomring kommutativ ist. Es genügt also, zu betrachten. Wäre bijektiv, so müsste schon die Nullabbildung sein, doch dann wäre ein annullierendes Polynom im Widerspruch zur vorausgesetzten Minimalität.


Aufgabe (1 Punkt)

Was ist falsch an der folgenden Argumentation:

„Zu zwei quadratischen -Matrizen gilt für die charakteristischen Polynome die Beziehung

Nach Definition ist nämlich

wobei die mittlere Gleichung auf dem Determinantenmultiplikationssatz beruht“.


Lösung

Es ist

daher ist der Determinantenmultiplikationssatz nicht anwendbar.


Aufgabe (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.


Lösung

Es sei

das charakteristische Polynom, das nach Satz 25.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) in Linearfaktoren zerfällt, wobei die verschieden seien. Wir führen Induktion über . Bei gibt es nur einen Eigenwert und nur einen Hauptraum. Nach Korollar 24.3 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist dann auch das Minimalpolynom von der Form und daher ist . Sei die Aussage nun für kleineres bewiesen. Wir setzen und und sind damit in der Situation von Lemma 26.10 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) und Satz 26.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)). Wir haben also eine direkte Summenzerlegung in -invariante Untervektorräume

Das charakteristische Polynom ist nach Lemma 23.7 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) das Produkt der charakteristischen Polynome der Einschränkungen auf die beiden Räume. Nach Satz 26.12 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist das charakteristische Polynom der Einschränkung auf den ersten Hauptraum, daher muss das charakteristische Polynom der Einschränkung auf sein. Das heißt insbesondere, dass diese Einschränkung ebenfalls trigonalisierbar ist. Nach der Induktionsvoraussetzung ist also die direkte Summe der Haupträume zu und daraus ergibt sich insgesamt die direkte Summenzerlegung für und für .


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ein affiner Raum über dem -Vektorraum . Zeige die folgenden Identitäten in .

  1. für .
  2. für .
  3. für ,


Lösung

Nach der Definition . ist

und ist der einzige Vektor mit dieser Eigenschaft.

(1). Es ist einerseits nach der Vorbemerkung

und andererseits nach der ersten Eigenschaft der Definition

also ist

(2). Es ist einerseits

und andererseits

also ist

(3). Es ist

also ist