Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil II/Arbeitsblatt 38

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei $⟨-,-⟩$ eine Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$. Zeige

$⟨0,v⟩=0$

für alle  $v\in V$. 

Aufgabe

Überprüfe, ob die folgenden Abbildungen

${ℝ}^2\times {ℝ}^2⟶ℝ$

Bilinearformen sind.

a)

$\Psi (v,w)=\Vert v\Vert .$

b)

$\Psi (v,w)=\Vert v-w\Vert .$

c)

$\Psi (v,w)=\Vert v\Vert \cdot \Vert w\Vert .$

d)

$\Psi (v,w)=\mathrm{\angle }(v,w).$

Aufgabe

Zeige, dass ein reelles Skalarprodukt eine nicht-ausgeartete Bilinearform ist.

Aufgabe

Es sei $⟨-,-⟩$ eine Bilinearform auf einem endlichdimensionalen $K$-Vektorraum. Zeige, dass die Form genau dann linksausgeartet ist, wenn sie rechtsausgeartet ist.

Aufgabe

Betrachte die Linearform

$L:{ℝ}^3⟶ℝ,(x,y,z)⟼x+3y-4z.$

a) Bestimme den Vektor  $u\in {ℝ}^3$  mit der Eigenschaft

$⟨u,v⟩=L(v)\text{ für alle }v\in {ℝ}^3,$

wobei $⟨-,-⟩$ das Standardskalarprodukt bezeichnet.

b) Es sei  $E=\{(x,y,z)\mid 3x-2y-5z=0\}\subset {ℝ}^3$  und es sei  $\phi =L{|}_E$  die Einschränkung von $L$ auf $E$. Bestimme den Vektor  $w\in E$  mit der Eigenschaft

$⟨w,v⟩=\phi (v)\text{ für alle }v\in E,$

wobei $⟨-,-⟩$ die Einschränkung des Standardskalarprodukts auf $E$ bezeichnet.

Aufgabe

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum, der mit dem induzierten Skalarprodukt versehen sei. Es sei

$f:V⟶ℝ$

eine Linearform und  $v\in V$  der zugehörige Gradient im Sinne von Korollar 38.6. Zeige, dass der Gradient  $u\in U$  zur Einschränkung $f{|}_U$ die orthogonale Projektion von $v$ auf $U$ ist.

Aufgabe

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im ${ℝ}^2$ bezüglich der Basis $\left(\begin{array}{c}2\\ -3\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}-5\\ 1\end{array}\right)$.

Aufgabe *

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem $K^2$ bezüglich der Standardbasis.

Aufgabe

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen $\phi :{ℝ}^2\times {ℝ}^2\to ℝ$ bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

a)  $\phi (x,y):=x_1{y}_1$. 

b)  $\phi (x,y):=x_1{x}_2+y_1{y}_2$. 

c)  $\phi (x,y):=2x_1{y}_2+3x_2{y}_1$. 

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine Bilinearform auf $V$. Zeige, dass $⟨-,-⟩$ genau dann symmetrisch ist, wenn es eine Basis $v_1,\dots ,v_n$ von $V$ mit

$⟨v_i,v_j⟩=⟨v_j,v_i⟩$

für alle  $1\le i,j\le n$  gibt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine Bilinearform auf $V$. Zeige, dass diese Form genau dann symmetrisch ist, wenn die Gramsche Matrix von ihr bezüglich einer Basis symmetrisch ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Determinante in der Dimension zwei, also die Abbildung

$K^2\times K^2⟶K,(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right))⟼x_1{y}_2-x_2{y}_1,$

keine symmetrische Bilinearform ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$-Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass der Ausartungsraum ein Untervektorraum von $V$ ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass die Bilinearform genau dann nicht ausgeartet ist, wenn die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis invertierbar ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper mit einer von $2$ verschiedenen Charakteristik und sei $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$. Zeige

$⟨v,w⟩=\frac{1}{2}(⟨v+w,v+w⟩-⟨v,v⟩-⟨w,w⟩).$

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper mit einer von $2$ verschiedenen Charakteristik und sei $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$. Zeige

$⟨v,w⟩=\frac{1}{4}(⟨v+w,v+w⟩-⟨v-w,v-w⟩).$

Aufgabe *

Zeige, dass es eine Bilinearform $⟨-,-⟩$ auf einem Vektorraum $V$ geben kann, die nicht die Nullform ist, für die aber

$⟨v,v⟩=0$

für alle  $v\in V$  ist.

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass $V$ eine Orthogonalbasis besitzt.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass die Gramsche Matrix zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge $1,-1$ oder $0$ sind.

Aufgabe

Es sei $M$ eine symmetrische reelle $n\times n$-Matrix. Zeige, dass es eine invertierbare Matrix $A$ derart gibt, dass

$A^{\text{tr}}MA=D$

eine Diagonalmatrix ist, deren Diagonaleinträge $1,-1$ oder $0$ sind.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, auf dem eine symmetrische Bilinearform $⟨-,-⟩$ definiert sei. Zeige, dass man eine Orthogonalbasis eines Untervektorraumes  $U\subseteq V$  im Allgemeinen nicht zu einer Orthogonalbasis von $V$ ergänzen kann.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Es seien $G$ und $H$ die Gramschen Matrizen zu dieser Form bezüglich der Basen $𝔲$ und $𝔳$. Zeige, dass die Determinante von $G$ genau dann positiv (negativ, $0$) ist, wenn dies auf die Determinante von $H$ zutrifft.

Aufgabe

a) Zeige, dass die Summe von Bilinearformen ${\Psi }_1$ und ${\Psi }_2$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ wieder eine Bilinearform ist.

b) Zeige ebenso, dass das skalare Vielfache einer Bilinearform wieder eine Bilinearform ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der Bilinearformen auf einem $K$-Vektorraum $V$ einen $K$-Vektorraum bilden.

Aufgabe

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Zeige, dass es eine natürliche Isomorphie

${\mathrm{Hom}}_K(V,V^{\ast })⟶{\mathrm{Bilin}}_{}\left(V\right)$

gibt.

Wie im Fall eines Skalarproduktes nennt man lineare Abbildung, die Bilinearformen respektieren, Isometrien.

Es seien $V$ und $W$ Vektorräume über $K$, auf denen jeweils eine Bilinearform ${\mathrm{\Phi }}_V$ bzw. ${\Phi }_W$ gegeben sei. Man nennt eine $K$-lineare Abbildung $f:V\to W$ eine Isometrie, wenn

${\mathrm{\Phi }}_W(f(u),f(v))={\mathrm{\Phi }}_V(u,v)$

für alle  $u,v\in V$  gilt.

Aufgabe

Es seien $U,V$ Vektorräume über $K$ mit Bilinearformen ${\mathrm{\Phi }}_U$ und ${\mathrm{\Phi }}_V$ und sei $\phi :U\to V$ eine Isometrie. Ist $\phi$ injektiv?

Aufgabe

Es seien $U,V,W$ Vektorräume über $K$ mit mit Bilinearformen ${\mathrm{\Phi }}_U,{\mathrm{\Phi }}_V,{\mathrm{\Phi }}_W$. Zeige die folgenden Aussagen.

a) Die Identität $V\to V$ ist eine Isometrie.

b) Wenn $\phi :U\to V$ eine bijektive Isometrie ist, so ist auch die Umkehrabbildung ${\phi }^{-1}$ eine Isometrie.

c) Wenn $\phi :U\to V$ und $\psi :V\to W$ Isometrien sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung $\psi \circ \phi$ eine Isometrie.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper, dessen Charakteristik nicht $2$ sei. Es sei $⟨-,-⟩$ eine Bilinearform auf einem $K$-Vektorraum $V$, die sowohl symmetrisch als auch alternierend sei. Zeige, dass es sich um die Nullform handelt.

Aufgabe

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum mit einer Bilinearform $\Phi$. Zeige, dass die Menge der Isometrien auf $V$ eine Gruppe unter der Hintereinanderschaltung von Abbildungen bildet.

Aufgabe *

Es sei $V$ ein $ℂ$-Vektorraum und es seien

$\phi :V⟶V$

und

$\psi :V⟶V$

antilineare Abbildungen. Zeige, dass die Verknüpfung $\phi \circ \psi$ linear ist.

Aufgabe *

Zeige, dass für eine hermitesche Form $⟨-,-⟩$ auf einem $ℂ$-Vektorraum $V$ die Werte $⟨v,v⟩$ zu  $v\in V$  stets reell sind.

Aufgabe

Zeige, dass eine Sesquilinearform $⟨-,-⟩$ auf einem $ℂ$-Vektorraum $V$ genau dann hermitesch ist, wenn die Gramsche Matrix der Form bezüglich einer Basis von $V$ hermitesch ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen $\phi :{ℝ}^2\times {ℝ}^2\to ℝ$ bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch.

a)  $\phi (x,y):=x_1-y_1$. 

b)  $\phi (x,y):=x_1{y}_1-x_2{y}_2$. 

c)  $\phi (x,y):=2x_1{y}_2-2x_2{y}_1$. 

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix des Standardskalarproduktes im ${ℝ}^3$ bezüglich der Basis $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 5\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 5\end{array}\right)$.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass der Ausartungsraum zu einer symmetrischen Bilinearform $⟨-,-⟩$ auf einem $K$-Vektorraum $V$ gleich dem Kern der linearen Abbildung

$V⟶V^{\ast },v⟼⟨v,-⟩,$

ist.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Linearform

$L:{ℝ}^2⟶ℝ,(x,y)⟼4x+7y.$

a) Bestimme den Linksgradienten von $L$ bezüglich der Determinante.

b) Bestimme den Rechtsgradienten von $L$ bezüglich der Determinante.

c) Bestimme den Gradienten von $L$ bezüglich des Standardskalarproduktes.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Zeige, dass die Menge der symmetrischen Bilinearformen auf $V$ einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen bildet. Welche Dimension besitzt dieser Raum, wenn

${\dim }_K\left(V\right)=n$

ist?

Aufgabe (1 Punkt)

Es sei $V$ ein reeller Vektorraum. Bildet die Menge der Skalarprodukte auf $V$ einen Untervektorraum des Raumes aller Bilinearformen auf $V$?