Kurs:Maß- und Integrationstheorie/5/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	3	2	5	5	3	8	6	3	6	3	4	3	2	3	2	64

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Borelmenge in einem topologischen Raum ${}(X,{\mathcal {T}})$.
2. Das Produktmaß ${}\mu _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\mu _{n}$ zu ${}\sigma$- endlichen Maßräumen ${}(M_{1},{\mathcal {A}}_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},{\mathcal {A}}_{n},\mu _{n})$.
3. Das Lebesgue-Integral zu einer messbaren nichtnegativen Funktion ${}f\colon M\rightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$ auf einem ${}\sigma$- endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
4. Der Kegel zu einer Basismenge ${}B\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n+1}$.
5. Ein überdeckungskompakter topologischer Raum.
6. Ein vollständiges Orthonormalsystem (oder eine Hilbertbasis) in einem ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

Lösung

1. Es sei ${}(M,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum. Dann nennt man die von ${}{\mathcal {T}}$ erzeugte ${}\sigma$- Algebra die Menge der Borel-Mengen von ${}M$.
2. Man nennt das durch

   ${}\mu _{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}\mu _{n}(T_{1}\times \cdots \times T_{n})=\mu _{1}(T_{1})\cdots \mu _{n}(T_{n})\,$

   für ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}$ festgelegte Maß das Produktmaß auf ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$.

3. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

   ${}\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$

   das Integral von ${}f$ über ${}M$ (zum Maß ${}\mu$).

4. Der Kegel zur Basis ${}B$ mit der Spitze ${}P$ ist definiert durch

   ${}K_{B}={\left\{P+t(Q-P)\mid Q\in B,\,t\in [0,1]\right\}}\,.$

5. Ein topologischer Raum ${}X$ heißt überdeckungskompakt, wenn es zu jeder offenen Überdeckung

   $X=\bigcup _{i\in I}U_{i}\,\,\,{\text{ mit }}U_{i}{\text{ offen und einer beliebigen Indexmenge }}$

   eine endliche Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart gibt, dass

   ${}X=\bigcup _{i\in J}U_{i}\,$

   ist.

6. Ein Orthonormalsystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, in ${}V$ heißt vollständig, wenn der von den ${}v_{i}$ erzeugte Untervektorraum dicht in ${}V$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über das Borel-Lebesgue-Maß auf ${}\mathbb {R}$.
2. Die Tschebyschow-Abschätzung (Tschebyschow-Ungleichung) für eine messbare nichtnegative Funktion

   $f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$

   auf einem ${}\sigma$-endlichen Maßraum ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$.
3. Der Charakterisierungssatz für einen kompakten metrischen Raum.

Lösung

1. Es sei ${}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ die ${}\sigma$-Algebra der Borel-Mengen auf ${}\mathbb {R}$. Dann gibt es genau ein ${}\sigma$- endliches Maß ${}\lambda$ auf ${}(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}})$, das für jedes halboffene Intervall ${}[a,b[$ den Wert ${}\lambda ([a,b[)=b-a$ besitzt.
2. Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

   $f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann gilt für jedes ${}a\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ die Abschätzung

   ${}\int _{M}f\,d\mu \geq a\cdot \mu {\left\{x\in M\mid f(x)\geq a\right\}}\,.$

3. Es sei ${}X$ ein metrischer Raum. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.
   1. ${}X$ ist kompakt.
   2. ${}X$ ist folgenkompakt.
   3. ${}X$ ist vollständig und total beschränkt.

Aufgabe (3 Punkte)

Zu jeder rationalen Zahl ${}q\in \mathbb {Q}$ sei ein Intervall ${}[a_{q},b_{q}]$ derart gegeben, dass ${}q$ in dessen Innern liegt, also ${}q\in {]a_{q},b_{q}[}$. Ist

${}\bigcup _{q\in \mathbb {Q} }[a_{q},b_{q}]=\mathbb {R} \,?$

Lösung

Das muss nicht sein. Sei

$\varphi \colon \mathbb {N} _{+}\longrightarrow \mathbb {Q}$

eine Bijektion zwischen den positiven natürlichen und den rationalen Zahlen. Zur rationalen Zahl ${}\varphi (n)$ definieren wir das umgebende Intervall durch ${}]\varphi (n)-{\frac {1}{n^{2}}},\varphi (n)+{\frac {1}{n^{2}}}[$. Diese Intervalle haben die Länge ${}{\frac {2}{n^{2}}}$ und daher ist dieSumme ihrer Längen,also ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\frac {2}{n^{2}}}$, beschränkt nach Beispiel *****. Wegen der ${}\sigma$-Additivität des Borel-Lebesgue-Maßes kann diese Intervallfamilie nicht ganz ${}\mathbb {R}$ überdecken.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass stetige Abbildungen Borel-messbar sind.

Lösung

Nach Definition bedeutet die Stetigkeit, dass das Urbild ${}\varphi ^{-1}(V)$ von jeder offenen Menge ${}V\subseteq Y$ offen in ${}X$ ist. Nach Definition ist das Mengensystem der offenen Mengen einer Topologie ein Erzeugendensystem für die Algebra der Borelmengen. Nach Fakt ***** ist somit ${}\varphi$ messbar.

Aufgabe (5 (2+3) Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ zwei abzählbare Mengen, die beide mit der ${}\sigma$- Algebra aller Teilmengen und mit dem Zählmaß (genannt ${}\mu$ bzw. ${}\nu$) versehen seien.

a) Zeige, dass ${}M$ und ${}N$ ${}\sigma$- endliche Maßräume sind.

b) Zeige, dass das Produktmaß ${}\mu \otimes \nu$ auf ${}M\times N$ ebenfalls das Zählmaß ist.

Lösung

a) Wenn ${}M$ leer ist, so ist nichts zu zeigen. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow M$

surjektiv. Dann ist ${}M_{n}:=\{\varphi (0),\ldots ,\varphi (n)\}$ eine Ausschöpfung von ${}M$ mit endlichen Mengen, die daher endliches (Zähl-)maß besitzen.

b) Das Produktmaß auf ${}M\times N$ ist dadurch gekennzeichnet, dass es auf Quadern ${}S\times T$ zu Seiten ${}S$ und ${}T$ mit endlichem Maß das Produkt ${}\mu (S)\cdot \nu (T)$ als Wert besitzt. Für einen Punkt ${}P=(x,y)$ ist ${}\{P\}=\{x\}\times \{y\}$ und daher ist

${}\mu \otimes \nu (\{P\})=\mu (\{x\})\cdot \nu (\{y\})=1\cdot 1=1\,.$

Wegen der Abzählbarkeit von ${}M\times N$ ist dadurch das Produktmaß festgelegt und gleich dem Zählmaß auf der Produktmenge.

Aufgabe (5 Punkte)

Die rechteckige Grundseite (Unterseite) eines Bootes (unter Wasser) habe die Breite ${}2{\rm {m}}$ und die Länge ${}10{\rm {m}}$, die (ebenfalls rechteckige) Deckseite (Oberseite) habe die Breite ${}3{\rm {m}}$ und die Länge ${}12{\rm {m}}$, wobei die Seiten parallel zueinander seien und den Abstand ${}2{\rm {m}}$ besitzen. Die vier übrigen Seiten seien ebene Verbindungen zwischen Ober- und Unterseite. Das Boot wiegt mit Besatzung, aber ohne Ladung ${}12.000{\rm {kg}}$. Der Tiefgang des Bootes soll maximal ${}1,5{\rm {m}}$ betragen. Mit welcher Masse kann das Boot maximal beladen werden?

Lösung

Wir berechnen zuerst die Länge und die Breite der Querschnittsebene des Bootes zu einer Höhe ${}h$ über der Grundseite. Für die Länge gilt

${}L(h)=h+10\,,$

da die Abhängigkeit von der Höhe linear ist. Für die Breite gilt

${}B(h)={\frac {1}{2}}h+2\,.$

Daher ist der Flächeninhalt der Querschnittsfläche gleich

${}Q(h)=L(h)\cdot B(h)={\left(h+10\right)}{\left({\frac {1}{2}}h+2\right)}={\frac {1}{2}}h^{2}+7h+20\,$

Nach dem Cavalieri-Prinzip ist daher das Volumen (in Kubikmetern) des Bootes von der Grundseite bis zur Höhe ${}g$ gleich

${}V(g)=\int _{0}^{g}{\frac {1}{2}}h^{2}+7h+20\,dh={\frac {1}{6}}g^{3}+{\frac {7}{2}}g^{2}+20g\,.$

Für ${}g=1{,}5$ ergibt sich

${}{\begin{aligned}V(1{,}5)&={\frac {1}{6}}\cdot 1{,}5^{3}+{\frac {7}{2}}\cdot 1{,}5^{2}+20\cdot 1{,}5\\&=0{,}25\cdot 2{,}25+{\frac {7}{2}}\cdot 2{,}25+30\\&=0{,}5625+7{,}875+30\\&=38{,}4375\end{aligned}}$

in Kubikmetern. Der Auftrieb ist gleich dem Gewicht des verdrängten Wasservolumens. Also darf das Schiff maximal ${}38{,}4375$ Tonnen wiegen, so dass es eine Ladung von ${}26{,}4375$ Tonnen befördern kann.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Volumen des von den drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\5\\-1\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}7\\7\\1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelotops.

Lösung

Das Parallelotop ist das Bild des Einheitswürfels unter der durch die Matrix

$M={\begin{pmatrix}2&4&7\\0&5&7\\-3&-1&1\end{pmatrix}}$

gegebenen linearen Abbildung. Nach Satz 7.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist sein Volumen gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix. Wir berechnen die Determinante mittels der Regel von Sarrus, d.h. wir betrachten

${\begin{pmatrix}2&4&7&2&4\\0&5&7&0&5\\-3&-1&1&-3&-1\end{pmatrix}}.$

Daher ist

${}\det M=10-84+105+14=129-84=45\,.$

Das Volumen ist also ${}45$.

Aufgabe (8 Punkte)

Zeige, dass das Borel-Lebesgue-Maß das einzige translationsinvariante Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist, das für den Einheitswürfel den Wert ${}1$ besitzt.

Lösung

Das Borel-Lebesgue-Maß ${}\lambda ^{n}$ erfüllt nach Fakt ***** diese Bedingungen. Es sei ${}\mu$ ein solches Maß. Nach Fakt ***** ist es egal, ob diese Bedingung an den abgeschlossenen, den offenen oder einen halboffenen Einheitswürfel gestellt wird. Wir werden durchgehend mit rechtsseitig offenen Quadern arbeiten. Da der ${}\mathbb {R} ^{n}$ durch abzählbar viele Verschiebungen des Einheitswürfels überdeckt wird, die wegen der Translationsinvarianz von ${}\mu$ alle das gleiche Maß besitzen, ist ${}\mu$ ${}\sigma$- endlich. Wir müssen zeigen, dass ${}\mu$ mit ${}\lambda ^{n}$ übereinstimmt, wobei es aufgrund des Eindeutigkeitssatzes genügt, die Gleichheit auf einem durchschnittsstabilen Erzeugendensystem für die Borelmengen nachzuweisen. Ein solches System bilden die Quader der Form ${}[a_{1},b_{1}[\times \cdots \times [a_{n},b_{n}[$ mit rationalen Ecken. Wegen der Translationsinvarianz von ${}\mu$ besitzt ein solcher Quader das gleiche Maß wie der verschobene Quader ${}[0,b_{1}-a_{1}[\times \cdots \times [0,b_{n}-a_{n}[$. Wir schreiben einen solchen Quader unter Verwendung eines Hauptnenners als ${}Q=[0,{\frac {c_{1}}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {c_{n}}{m}}[$ mit ${}m,c_{1},\ldots ,c_{n}\in \mathbb {N}$. Dieser Quader setzt sich disjunkt aus ${}c_{1}\cdots c_{n}$ Quadern (nämlich ${}[{\frac {i_{1}}{m}},{\frac {i_{1}+1}{m}}[\times \cdots \times [{\frac {i_{n}}{m}},{\frac {i_{n}+1}{m}}[$ mit ${}i_{j}\in \{0,\ldots ,c_{j}-1\}$) zusammen, die alle das gleiche ${}\mu$-Maß haben, da sie ineinander verschoben werden können. Das ${}\mu$-Maß des Quaders ${}Q$ ist also das ${}c_{1}\cdots c_{n}$-fache des ${}\mu$-Maßes des Quaders ${}{\tilde {Q}}=[0,{\frac {1}{m}}[\times \cdots \times [0,{\frac {1}{m}}[$. Da sich der Einheitswürfel aus ${}m^{n}$ verschobenen Kopien dieses kleineren Würfels zusammensetzt, muss ${}\mu ({\tilde {Q}})={\frac {1}{m^{n}}}$ und damit

${}\mu (Q)=c_{1}\cdots c_{n}\cdot {\frac {1}{m^{n}}}=\lambda ^{n}(Q)\,$

sein.

Aufgabe (6 Punkte)

Es sei ${}Z$ der Zylinder um die ${}x$-Achse und ${}W$ der Zylinder um die ${}z$-Achse, beide zum Radius ${}1$. Bestimme das Volumen des Durchschnitts ${}Z\cap W$.

Lösung

Es ist

${}Z={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}}\,$

und

${}W={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.$

Somit ist

${}T=Z\cap W={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1{\text{ und }}x^{2}+y^{2}\leq 1\right\}}\,.$

Wir bestimmen den Flächeninhalt des Querschnitts von ${}T$ zu ${}x$ zwischen ${}0$ und ${}1$. Der Querschnitt ist

${}T(x)={\left\{(y,z)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}+z^{2}\leq 1{\text{ und }}\vert {y}\vert \leq {\sqrt {1-x^{2}}}\right\}}\,.$

Bei fixiertem ${}y$ (neben dem fixierten ${}x$) läuft ${}z$ zwischen ${}-{\sqrt {1-y^{2}}}$ und ${}{\sqrt {1-y^{2}}}$. Der Flächeninhalt von ${}T(x)$ ist durch

${}{\begin{aligned}\lambda ^{2}(T(x))&=2\int _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-y^{2}}}dy\\&={\left(y\cdot {\sqrt {1-y^{2}}}-\arccos y\right)}_{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}\\&={\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-{\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}^{2}}}-\arccos {\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}+{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {\sqrt {1-{\left(-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}^{2}}}+\arccos {\left(-{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}\\&=2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arccos {\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)}+\pi \\&=2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arcsin x+\pi .\,\end{aligned}}$

Eine Stammfunktion dazu ist

$-{\frac {2}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}^{3/2}-2x\arcsin x-2{\sqrt {1-x^{2}}}+\pi x.$

Somit ist das Volumen von ${}T$ gleich

${}{\begin{aligned}2\int _{0}^{1}2x{\sqrt {1-x^{2}}}-2\arcsin x+\pi dx&=2{\left(-{\frac {2}{3}}{\left(1-x^{2}\right)}^{3/2}-2x\arcsin x-2{\sqrt {1-x^{2}}}+\pi x\right)}_{0}^{1}\\&=2{\left(-2{\frac {\pi }{2}}+\pi +{\frac {2}{3}}+2\right)}\\&={\frac {16}{3}}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne das Integral zur Funktion

${}f(r,s,t)=rst+t\sin s\,$

über dem Einheitswürfel ${}W=[0,1]^{3}$.

Lösung

Aufgrund des Satzes von Fubini ist

${}{\begin{aligned}\int _{W}rst+t\sin s\,d\lambda ^{3}&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left(rst+t\sin s\right)}drdsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{2}}r^{2}st+rt\sin s\right)}|_{0}^{1}dsdt\\&=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{2}}st+t\sin s\right)}dsdt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{4}}s^{2}t-t\cos s\right)}|_{0}^{1}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\frac {1}{4}}t-t\cos 1+t\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left({\left({\frac {5}{4}}-\cos 1\right)}t\right)}dt\\&={\left({\frac {1}{2}}{\left({\frac {5}{4}}-\cos 1\right)}t^{2}\right)}|_{0}^{1}\\&={\frac {5}{8}}-{\frac {1}{2}}\cos 1.\end{aligned}}$

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise die Formel für das Fehlerintegral, also

${}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,,$

mit Hilfe von Polarkoordinaten.

Lösung

Durch eine einfache Substitution ist die Aussage äquivalent zu

${}\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt=1\,.$

Nennen wir dieses Integral ${}I$. Nach Korollar 13.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) ist

${}I^{2}={\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}\cdot {\left(\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\,dt\right)}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}\,d\lambda ^{2}\,.$

Durch Einführung von Polarkoordinaten ${}x=r\cos \theta$ und ${}y=r\sin \theta$ ist dieses Integral nach Fakt ***** und nach einer erneuten Anwendung von Korollar 13.2 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) gleich

${}{\begin{aligned}\,&={\frac {1}{2\pi }}\int _{[0,2\pi ]\times \mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{2}(r,\theta )\\&={\frac {1}{2\pi }}{\left(\int _{[0,2\pi ]}1\,d\lambda ^{1}(\theta )\right)}{\left(\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\right)}\\&=\int _{\mathbb {R} _{\geq 0}}e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,d\lambda ^{1}(r)\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}\cdot r\,dr\\&=-e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}|_{0}^{\infty }\\&=1.\end{aligned}}$

Damit ist auch ${}I=1$.

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,\left(x,\,y\right)\longmapsto \left(x+y^{2},\,y+x^{3}+3x^{2}y^{2}+3xy^{4}+y^{6}\right).$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}\left(x,\,y\right)$.
2. Bestimme die Jacobi-Determinante von ${}\varphi$ in jedem Punkt ${}\left(x,\,y\right)$.
3. Bestimme den Flächeninhalt des Bildes der Einheitskreisscheibe unter ${}\varphi$. Verwende, dass ${}\varphi$ bijektiv ist.

Lösung

1. Die Jacobi-Matrix in ${}(x,y)$ ist

   ${\begin{pmatrix}1&2y\\3x^{2}+6xy^{2}+3y^{4}&1+6x^{2}y+12xy^{3}+6y^{5}\end{pmatrix}}.$

2. Die Jacobi-Determinante in ${}(x,y)$ ist

   ${}{\begin{aligned}\det {\begin{pmatrix}1&2y\\3x^{2}+6xy^{2}+3y^{4}&1+6x^{2}y+12xy^{3}+6y^{5}\end{pmatrix}}&={\left(1+6x^{2}y+12xy^{3}+6y^{5}\right)}-2y{\left(3x^{2}+6xy^{2}+3y^{4}\right)}\\&=1.\,\end{aligned}}$

3. Nach Teil (2) und Fakt ***** ist wegen der Bijektivität der Flächeninhalt des Bildes gleich dem Flächeninhalt des Einheitskreises, also gleich ${}\pi$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien ${}X$ und ${}Y$ topologische Räume und es sei

$\varphi \colon X\longrightarrow Y$

eine stetige Abbildung. Es sei ${}X$ kompakt. Zeige, dass das Bild ${}\varphi (X)\subseteq Y$ ebenfalls kompakt ist.

Lösung Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass ein Untervektorraum ${}U\subseteq V$ eines ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraumes ${}V$ genau dann ein Hilbertraum ist, wenn er abgeschlossen in ${}V$ ist.

Lösung Hilbertraum/Untervektorraum/Abgeschlossen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass der Approximationssatz von Weierstrass nicht für stetige Funktionen auf ${}]0,1[$ gilt.

Lösung Approximationssatz von Weierstrass/1/Nicht auf offenem Einheitsintervall/Aufgabe/Lösung

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige

${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\,$

mit Satz 23.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)).

Lösung

Es ist

${}B_{4}(t)=t^{4}-2t^{3}+t^{2}-{\frac {1}{30}}\,$

und mit Satz 23.10 (Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)) für ${}k=2$ ist

${}B_{4}(t)=2\cdot (-1)^{1}{\frac {(4)!}{(2\pi )^{4}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{4}}}\,.$

Wegen

${}B_{4}(0)=B_{4}(1)=-{\frac {1}{30}}\,$

liegt auch punktweise Konvergenz der Fourierreihe vor. Für ${}t=1$ ergibt dies

${}-{\frac {1}{30}}=-3{\frac {1}{\pi ^{4}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}\,,$

also

${}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}\,.$

Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen auf ${}[0,2\pi ]$.

1. ${}\cos x$.
2. ${}\cos 2x$.
3. ${}\cos ^{2}x$.
4. ${}2\cos ^{2}x-1$.

Lösung Kosinus/Quadrat und Verdoppelung/Tschebyschow-Polynom/Aufgabe/Lösung

Anhang

Die Bernoulli-Polynome besitzen auf dem Einheitsintervall die folgenden Darstellungen als Fourierreihen.

${}B_{2k}(t)=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2\pi nt\right)}{n^{2k}}}\,$

im geraden Fall (${}k\geq 1$) und

${}B_{2k+1}(t)=2\cdot (-1)^{k-1}{\frac {(2k+1)!}{(2\pi )^{2k+1}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin \left(2\pi nt\right)}{n^{2k+1}}}\,$

im ungeraden Fall.