Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/9/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 4 8 2 6 4 2 1 4 6 3 8 4 4 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.
  2. Eine Orthonormalbasis in einem euklidischen Vektorraum .
  3. Eine differenzierbare Kurve

    auf einem reellen Intervall .

  4. Ein Fundamentalsystem von Lösungen eines homogenen linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten.
  5. Ein Minkowski-Raum.
  6. Ein -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen und in euklidischen Vektorräumen .


Lösung

  1. Eine Differentialgleichung der Form

    mit einer Funktion ( reelles Intervall)

    heißt homogene lineare Differentialgleichung.

  2. Eine Basis von heißt Orthonormalbasis, wenn

    gilt.

  3. Eine Abbildung

    heißt eine differenzierbare Kurve, wenn für jedes der Limes

    existiert.

  4. Es sei

    mit

    ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.

  5. Ein reeller Vektorraum der Dimension mit einer Bilinearform vom Typ heißt Minkowski-Raum.
  6. Eine Abbildung

    heißt -Diffeomorphismus, wenn bijektiv und -mal stetig differenzierbar ist, und wenn die Umkehrabbildung

    ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in einem Punkt zu einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen

    und .
  2. Das Lösungsverfahren für ein durch ein Zentralfeld
    gegebenes Anfangswertproblem.
  3. Der Satz über Gradientenfelder auf einer sternförmigen Menge.


Lösung

  1. Die Abbildung ist genau dann im Punkt stetig, wenn für jede konvergente Folge in mit auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert ist.
  2. Zu und einer Lösung

    der eindimensionalen Differentialgleichung

    ist

    eine Lösung des Anfangswertproblems

  3. Es sei eine sternförmige offene Teilmenge und

    ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.

    1. ist ein Gradientenfeld.
    2. erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
    3. Für jeden stetig differenzierbaren Weg hängt das Wegintegral nur vom Anfangspunkt und Endpunkt ab.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei

eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall . Finde eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung, für die eine Lösung ist.


Lösung

Die Funktion ist eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung

Wegen ist diese wohldefiniert. Einsetzen von zeigt unmittelbar, dass eine Lösung vorliegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Wende das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf die Basis

des an.


Lösung

Der Vektor besitzt die Norm , somit ist

der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu sein und zusammen mit den Untervektorraum aufspannen. Dies führt zum Ansatz

so dass

ist. Somit ist

Die Norm dieses Vektors ist . Der normierte Vektor zu ist demnach

Der dritte Vektor muss senkrecht auf und (bzw. auf und ) stehen. Ein solcher Vektor ist

Daher kann man

als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.


Aufgabe (8 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.


Lösung

Sei zunächst abgeschlossen und eine Folge gegeben, die in gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt im offenen Komplement von und daher gibt es ein derart, dass der gesamte -Ball im Komplement von liegt. Also ist

Da die Folge aber gegen konvergiert, gibt es ein derart, dass alle Folgenglieder , , zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in liegen, ist dies ein Widerspruch.
  Sei nun nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in konstruieren, die in konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu gehört. Da nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt derart, dass in jedem -Ball von auch Punkte außerhalb von , also in liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl der Durchschnitt

Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in . Die Folge konvergiert gegen , da man sich hierzu auf

beschränken kann und alle Folgenglieder , , in liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und ist, konvergiert die Folge in nicht.


Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe (ohne weitere Begründung) den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis (der Zeiger soll also im Zeitintervall eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt „oben“ starten).


Lösung

Die Bewegung des Sekundenzeigers wird durch

beschrieben.


Aufgabe (6 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

die rektifizierbar ist, deren Länge aber ist.


Lösung

Es sei

es wird also mit vertauscht und ansonsten liegt die Identität vor. Da die Länge eines Streckenzugs allenfalls größer wird, wenn man zu einer Verfeinerung des Intervalls übergeht, können wir von vornherein nur Intervallunterteilungen betrachten, bei denen und vorkommen. Sei

eine Unterteilung des Intervalls. Dann ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs gleich

Wegen

ist dies durch nach oben beschränkt und damit ist die Kurve rektifizerbar. Wegen

ist es auch , also besitzt die Kurve eine Länge die größer als ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Lösung

Der Potenzreihenansatz

führt eingesetzt in die Differentialgleichung auf

Aufgrund der Anfangsbedingung ist

Der Vergleich des konstanten Termes führt auf

Der Vergleich des linearen Termes führt auf

also . Der Vergleich des quadratischen Termes führt auf

also . Der Vergleich des Termes zu führt auf

also . Der Vergleich des Termes zu führt auf

also . Somit ist die polynomiale Approximation bis zur Ordnung der Lösung gleih


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem bezüglich der Standardbasis.


Lösung

Wegen

ist die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem gleich


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme zur Funktion

die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.


Lösung

Es ist


Aufgabe (4 (1+2+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Was ist der Definitionsbereich dieser Abbildung?
  2. Berechne die Jacobi-Matrix von in jedem Punkt .
  3. Ist die Funktion total differenzierbar?


Lösung

  1. Es ist

    daher ist der Definitionsbereich .

  2. Die partiellen Ableitungen sind

    Die Jacobi-Matrix ist also

  3. Da die partiellen Ableitungen überall existieren und stetig sind, ist die Funktion nach Satz 48.11 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) total differenzierbar.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Waeller39.jpg

Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli machen Urlaub in den Bergen. Das Gebirge wird in einer geeigneten Umgebung durch die Funktion (alles in Meter)

beschrieben.

  1. In welchem Punkt (welchen Punkten) besitzt das Gebirge einen Gipfel? Wie hoch ist es in den Gipfeln?
  2. Vorli hat Höhenangst und möchte nicht auf den Gipfel. Deshalb wählen sie einen Rundgang, der zum Punkt konstant den Grundabstand besitzt. Bestimme die größte und die niedrigste Höhe, die die drei auf ihrer Wanderung erreichen.


Lösung

  1. Es ist

    und

    Der einzige kritische Punkt liegt daher in

    vor. Die Hesse-Matrix ist in jedem Punkt gleich

    daher ist die Hesse-Form nach dem Minorenkriterium negativ definit und es liegt nach Satz 52.2 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) in ein lokales Maximum vor, das auch ein globales Maximum sein muss. Die Höhe in diesem Gipfel ist

  2. Der Rundgang wird durch

    parametrisiert. Das Höhenprofil längs dieses Weges wird somit durch die Funktion

    beschrieben, wobei wir die Kreisgleichung verwendet haben. Es ist

    und

    Die kritischen Punkte sind bei und bei , wobei in das globale Maximum längs des Weges mit dem Wert

    und in das globale Minimum längs des Weges mit dem Wert

    vorliegt.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, und offene Teilmengen und

ein Diffeomorphismus. Es sei

ein Vektorfeld auf . Es sei das durch

definierte Vektorfeld auf . Zeige, dass

genau dann eine Lösung des Anfangswertproblems

wenn eine Lösung des Anfangswertproblems

ist.


Lösung

Da mit auch die Umkehrabbildung ein Diffeomorphismus ist, genügt es, die eine Richtung zu zeigen. Sei also eine Lösung des Anfangswertproblems zu . Dann gelten nach der Kettenregel für die Gleichheiten

Ferner gilt


Aufgabe (8 (4+4) Punkte)

Es sei ein euklidischer Vektorraum und

ein zeitunabhängiges Zentralfeld zur stetig differenzierbaren Funktion

a) Zeige, dass das Wegintegral dieses Vektorfeldes längs eines stetig-differenzierbaren Weges, der zum Nullpunkt einen konstanten Abstand besitzt, gleich ist.

b) Zeige, dass genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es eine stetige Funktion

mit

gibt.


Lösung

a) Der stetig differenzierbare Weg sei durch

gegeben mit

für alle . Es seien die Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von . Dann ist

konstant und daher gilt für die Ableitung

also ist

Damit ist auch

und daher ist das Wegintegral längs gleich , da es das Integral über diese Funktion ist.

b) Wenn ein Gradientenfeld ist, so gibt es ein Potential

also eine differenzierbare Funktion mit

Für zwei Punkte , die vom Nullpunkt den gleichen Abstand

haben, gibt es nach Aufgabe 37.22 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) eine stetig differenzierbare Kurve

mit und , die zum Nullpunkt konstant den Abstand besitzt. Mit einem solchen Weg erhält man

nach Teil a), so dass der Wert von nur von abhängt. Daher ist

mit einer gewissen Funktion

Diese ist stetig, da für einen Orthonormalvektor die Beziehung

gilt und stetig ist. Für den Gradienten von ist

Wenn umgekehrt

ist mit stetig, so sei eine Stammfunktion zu . Wir behaupten, dass

ein Potential zum Vektorfeld ist.


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.

a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?

b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?


Lösung

a) Die Länge einer schrägen Zeltflächenhöhe ist

Die Gesamtfläche des Zeltdaches ist daher

b) Die Diagonale der Grundfläche hat die Länge , der Grundflächenmittelpunkt hat also zu den Eckpunkten den Abstand . Die Zelthöhe ist daher

Das Volumen des Tipis ist somit nach Satz 58.17 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) gleich


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Schwerpunkt des positiven Viertels des Einheitskreises, also von


Lösung

Wir arbeiten mit Polarkoordinaten. Der Flächeninhalt von ist . In Polarkoordinaten wird durch den Radius

und den Winkel

parametrisiert. Somit ist nach Korollar 60.5 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) und Korollar 59.6 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))

Wegen der Symmetrie gilt dies auch für die -Koordinate. Somit sind die Koordinaten des Schwerpunktes von gleich