Lösung
- Eine
Differentialgleichung
der Form
-
mit einer
Funktion
( reelles Intervall)
-
heißt homogene lineare Differentialgleichung.
- Eine
Basis
von heißt Orthonormalbasis, wenn
-
gilt.
- Eine Abbildung
-
heißt eine differenzierbare Kurve, wenn für jedes der
Limes
-
existiert.
- Es sei
-
mit
-
ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.
- Ein
reeller Vektorraum
der
Dimension
mit einer
Bilinearform
vom
Typ
heißt
Minkowski-Raum.
- Eine
Abbildung
-
heißt -Diffeomorphismus, wenn
bijektiv
und -mal
stetig differenzierbar
ist, und wenn die
Umkehrabbildung
-
ebenfalls -mal stetig differenzierbar ist.
Lösung
Lösung
Wende das
Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren
auf die
Basis
-
des an.
Lösung
Der Vektor besitzt die Norm , somit ist
-
der zugehörige normierte Vektor. Der zweite Vektor muss senkrecht zu sein und zusammen mit den Untervektorraum aufspannen. Dies führt zum Ansatz
-
sodass
-
ist. Somit ist
-
Die Norm dieses Vektors ist . Der normierte Vektor zu ist demnach
-
Der dritte Vektor muss senkrecht auf
und
(bzw. auf und ) stehen. Ein solcher Vektor ist
-
Daher kann man
-
als dritten Vektor der Orthonormalbasis nehmen.
Beweise den Satz über die Charakterisierung von abgeschlossenen Mengen in einem metrischen Raum mit konvergenten Folgen.
Lösung
Es sei zunächst abgeschlossen und eine Folge
gegeben, die in gegen
konvergiert. Wir müssen zeigen, dass
ist. Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann liegt im offenen Komplement von und daher gibt es ein
derart, dass der gesamte -Ball
im Komplement von liegt. Also ist
-
Da die Folge aber gegen konvergiert, gibt es ein derart, dass alle Folgenglieder
, ,
zu diesem Ball gehören. Da sie andererseits in liegen, ist dies ein Widerspruch.
Es sei nun nicht abgeschlossen. Wir müssen eine Folge in konstruieren, die in konvergiert, deren Grenzwert aber nicht zu gehört. Da nicht abgeschlossen ist, ist das Komplement
nicht offen. D.h. es gibt einen Punkt
derart, dass in jedem -Ball von auch Punkte außerhalb von , also in liegen. Insbesondere ist also für jede natürliche Zahl
der Durchschnitt
-
Wir wählen aus dieser Schnittmenge ein Element und behaupten, dass die sich ergebende Folge die gewünschten Eigenschaften besitzt. Zunächst liegen nach Konstruktion alle Folgenglieder in . Die Folge konvergiert gegen , da man sich hierzu auf
-
beschränken kann und alle Folgenglieder
, ,
in
liegen. Da der Grenzwert einer Folge im Falle der Existenz eindeutig bestimmt ist, und
ist, konvergiert die Folge in nicht.
Beschreibe
(ohne weitere Begründung)
den Lauf des Sekundenzeigers einer Uhr als eine differenzierbare Kurve auf dem Einheitskreis
(der Zeiger soll also im Zeitintervall eine Runde im Uhrzeigersinn drehen und zum Zeitpunkt „oben“ starten).
Lösung
Die Bewegung des Sekundenzeigers wird durch
-
beschrieben.
Man gebe ein Beispiel einer
bijektiven Abbildung
-
die
rektifizierbar
ist, deren Länge aber ist.
Lösung
Es sei
-
es wird also mit vertauscht und ansonsten liegt die Identität vor. Da die Länge eines Streckenzugs allenfalls größer wird, wenn man zu einer Verfeinerung des Intervalls übergeht, können wir von vornherein nur Intervallunterteilungen betrachten, bei denen
und
vorkommen. Sei
-
eine Unterteilung des Intervalls. Dann ist die Länge des zugehörigen Streckenzugs gleich
Wegen
-
ist dies durch nach oben beschränkt und damit ist die Kurve rektifizerbar. Wegen
-
ist es auch , also besitzt die Kurve eine Länge die größer als ist.
Lösung
Der Potenzreihenansatz
-
führt eingesetzt in die Differentialgleichung auf
-
Aufgrund der Anfangsbedingung ist
-
Der Vergleich des konstanten Termes führt auf
-
Der Vergleich des linearen Termes führt auf
-
also
.
Der Vergleich des quadratischen Termes führt auf
-
also
.
Der Vergleich des Termes zu führt auf
-
also
.
Der Vergleich des Termes zu führt auf
-
also
.
Somit ist die polynomiale Approximation bis zur Ordnung der Lösung gleih
-
Lösung
Wegen
-
-
-
-
ist die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem gleich
-
Bestimme zur Funktion
-
die Richtungsableitung in Richtung für jeden Punkt.
Lösung
Es ist
-
Lösung
- Es ist
-
daher ist der Definitionsbereich .
- Die
partiellen Ableitungen
sind
-
Die Jacobi-Matrix ist also
-
- Da die partiellen Ableitungen überall existieren und stetig sind, ist die Funktion nach
[[Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Differenzierbarkeit/R/Existenz und Stetigkeit der partiellen Ableitungen impliziert Differenzierbarkeit/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
total differenzierbar.
Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli machen Urlaub in den Bergen. Das Gebirge wird in einer geeigneten Umgebung durch die Funktion
(alles in Meter)
-
beschrieben.
- In welchem Punkt
(welchen Punkten)
besitzt das Gebirge einen Gipfel? Wie hoch ist es in den Gipfeln?
- Vorli hat Höhenangst und möchte nicht auf den Gipfel. Deshalb wählen sie einen Rundgang, der zum Punkt konstant den Grundabstand besitzt. Bestimme die größte und die niedrigste Höhe, die die drei auf ihrer Wanderung erreichen.
Lösung
-
- Es ist
-
und
-
Der einzige kritische Punkt liegt daher in
-
vor. Die Hesse-Matrix ist in jedem Punkt gleich
-
daher ist die Hesse-Form nach dem Minorenkriterium negativ definit und es liegt nach
[[Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
in ein lokales Maximum vor, das auch ein globales Maximum sein muss. Die Höhe in diesem Gipfel ist
- Der Rundgang wird durch
-
parametrisiert. Das Höhenprofil längs dieses Weges wird somit durch die Funktion
beschrieben, wobei wir die Kreisgleichung verwendet haben. Es ist
-
und
-
Die kritischen Punkte sind bei
und bei
,
wobei in
das globale Maximum längs des Weges mit dem Wert
-
und in
das globale Minimum längs des Weges mit dem Wert
-
vorliegt.
Es seien
und
endlichdimensionale reelle Vektorräume,
und
offene Teilmengen
und
-
ein
Diffeomorphismus.
Es sei
-
ein
Vektorfeld
auf . Es sei das durch
-
definierte Vektorfeld auf . Zeige, dass
-
genau dann eine
Lösung des Anfangswertproblems
-
wenn eine Lösung des Anfangswertproblems
-
ist.
Lösung
Es sei ein
euklidischer Vektorraum
und
-
ein zeitunabhängiges
Zentralfeld
zur
stetig differenzierbaren Funktion
-
a) Zeige, dass das
Wegintegral
dieses Vektorfeldes längs eines stetig-differenzierbaren Weges, der zum Nullpunkt einen konstanten Abstand besitzt, gleich ist.
b) Zeige, dass genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es eine stetige Funktion
-
mit
-
gibt.
Lösung
a) Der stetig differenzierbare Weg sei durch
-
gegeben mit
-
für alle . Es seien die Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von . Dann ist
-
konstant und daher gilt für die Ableitung
-
also ist
-
Damit ist auch
-
und daher ist das Wegintegral längs gleich , da es das Integral über diese Funktion ist.
b) Wenn ein Gradientenfeld ist, so gibt es ein Potential
-
also eine differenzierbare Funktion mit
-
Für zwei Punkte , die vom Nullpunkt den gleichen Abstand
-
haben, gibt es nach
[[Punkte auf Kugel/Parametrische Verbindbarkeit/Aufgabe|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Punkte auf Kugel/Parametrische Verbindbarkeit/Aufgabe/Aufgabereferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
eine stetig differenzierbare Kurve
-
mit und , die zum Nullpunkt konstant den Abstand besitzt. Mit einem solchen Weg erhält man
-
nach Teil a), sodass der Wert von nur von abhängt. Daher ist
-
mit einer gewissen Funktion
-
Diese ist stetig, da für einen Orthonormalvektor die Beziehung
-
gilt und stetig ist. Für den Gradienten von ist
Wenn umgekehrt
-
ist mit stetig, so sei eine Stammfunktion zu . Wir behaupten, dass
-
ein Potential zum Vektorfeld ist.
Häuptling Winnetou möchte sich ein neues Tipi über einer quadratischen Grundfläche von Metern errichten. Er verwendet dafür vier Stangen mit einer Länge von Metern, die in den Eckpunkten der Grundfläche stehen und sich in der Zeltspitze treffen sollen.
a) Wie viel Quadratmeter Büffelhaut wird für das Zeltdach gebraucht?
b) Wie viel Kubikmeter Rauminhalt hat das neue Zelt?
Lösung
a) Die Länge einer schrägen Zeltflächenhöhe ist
-
Die Gesamtfläche des Zeltdaches ist daher
-
b) Die Diagonale der Grundfläche hat die Länge , der Grundflächenmittelpunkt hat also zu den Eckpunkten den Abstand . Die Zelthöhe ist daher
-
Das Volumen des Tipis ist somit nach
[[Kegel/Über messbarer Basis/Maßformel/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Kegel/Über messbarer Basis/Maßformel/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))]]
gleich
-
Bestimme den
Schwerpunkt
des positiven Viertels des Einheitskreises, also von
-
Lösung