Kurs:Analysis/Teil II/14/Klausur mit Lösungen

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	6	9	0	2	5	3	6	5	6	3	6	61

Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum ${}V$.
2. Eine offene Menge in einem metrischen Raum ${}M$.
3. Die Differenzierbarkeit einer Funktion

   $f\colon I\longrightarrow V$

   in einem Punkt ${}t\in I$, wobei ${}I$ ein Intervall und ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.

4. Ein regulärer Punkt ${}P\in V$ einer differenzierbaren Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen.

5. Der Gradient einer total differenzierbaren Abbildung

   $f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}P\in V$ eines euklidischen Vektorraumes.

6. Die Faser zu einer Abbildung

   $\varphi \colon L\longrightarrow M$

   über einem Punkt ${}x\in M$.

Lösung

1. Ein Skalarprodukt auf ${}V$ ist eine Abbildung

   $V\times V\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

   mit folgenden Eigenschaften:

   1. Es ist

      ${}\left\langle \lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2},y\right\rangle =\lambda _{1}\left\langle x_{1},y\right\rangle +\lambda _{2}\left\langle x_{2},y\right\rangle \,$

      für alle ${}\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R}$, ${}x_{1},x_{2},y\in V$ und ebenso in der zweiten Komponente.

   2. Es ist

      ${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

      für alle ${}v,w\in V$.

   3. Es ist ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$ für alle ${}v\in V$ und ${}\left\langle v,v\right\rangle =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
2. Eine Teilmenge ${}U\subseteq M$ heißt offen, wenn für jedes ${}x\in U$ ein ${}\epsilon >0$ mit

   ${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,$

   existiert.

3. Die Abbildung ${}f$ heißt in ${}t\in I$ differenzierbar, wenn der Limes

   $\operatorname {lim} _{h\rightarrow 0}\,{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$

   existiert.

4. Der Punkt ${}P$ heißt regulär, wenn

   ${}\operatorname {rang} \,\left(D\varphi \right)_{P}={\min {\left(\dim _{}{\left(V\right)},\dim _{}{\left(W\right)}\right)}}\,$

   ist.

5. Der Gradient von ${}f$ in ${}P$ ist der eindeutig bestimmte Vektor ${}w\in V$ mit

   ${}{\left(Df\right)}_{P}{\left(v\right)}=\left\langle w,v\right\rangle \,$

   für alle ${}v\in V$.

6. Die Faser über ${}y$ ist die Menge

   ${}F_{y}={\left\{x\in L\mid \varphi (x)=y\right\}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Banachsche Fixpunktsatz.
2. Das Lösungsverfahren für eine inhomogene lineare Differentialgleichung in oberer Dreiecksgestalt.
3. Der Satz über die injektive Abbildung.

Lösung

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Banachsche Fixpunktsatz.
2. Das Lösungsverfahren für eine inhomogene lineare Differentialgleichung in oberer Dreiecksgestalt.
3. Der Satz über die injektive Abbildung.

Aufgabe (2 Punkte)

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?

Lösung

Eindimensional besagt die Polarisationsformel für reelle Zahlen ${}a,b\in \mathbb {R}$ einfach

${}ab={\frac {1}{2}}{\left({\left(a+b\right)}^{2}-a^{2}-b^{2}\right)}\,.$

Insbesondere lässt sich also die reelle Multiplikation auf das Quadrieren, Addieren und Subtrahieren von reellen Zahlen zurückführen.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem metrischen Raum ${}M$. Zeige, dass die Folge genau dann gegen ${}x\in M$ konvergiert, wenn in jeder offenen Menge ${}U$ mit ${}x\in U$ alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.

Lösung

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiere gegen ${}x$ und sei ${}x\in U$ eine offene Umgebung. Es gibt ein ${}\epsilon >0$ mit

${}U{\left(x,\epsilon \right)}\subseteq U\,.$

Wegen der Folgenkonvergenz gibt es ein ${}n_{0}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung ${}x_{n}\in U{\left(x,\epsilon \right)}$ und damit ${}x_{n}\in U$ gilt.

Umgekehrt gelte die Eigenschaft für jede offene Umgebung von ${}x$. Dann gilt sie insbesondere für jede offene Ballumgebung ${}U{\left(x,\epsilon \right)}$ und dies bedeutet die Konvergenz der Folge.

Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es seien ${}T_{1}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}T_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ Teilmengen und ${}T_{1}\times T_{2}\subseteq \mathbb {R} ^{n+m}$ ihre Produktmenge.

a) Zeige, dass wenn ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ beschränkt sind, dass dann auch ${}T_{1}\times T_{2}$ beschränkt ist.

b) Zeige, dass wenn ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ kompakt sind, dass dann auch ${}T_{1}\times T_{2}$ kompakt ist.

Lösung

a) Da die Mengen beschränkt sind, gibt es reelle Zahlen ${}b$ und ${}c$ mit

${}d(x,y)\leq b\,$

für ${}x,y\in T_{1}$ und mit

${}d(u,v)\leq c\,$

für ${}u,v\in T_{2}$. Ausgeschrieben bedeutet dies, dass

${}{\sqrt {(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}}}\leq b\,$

und

${}{\sqrt {(u_{1}-v_{1})^{2}+\cdots +(u_{m}-v_{m})^{2}}}\leq c\,$

sind. Durch Quadrieren erhält man für ein Punktepaar ${}P=(x_{1},\ldots ,x_{n},u_{1},\ldots ,u_{m})\in T_{1}\times T_{2}$ ${}Q=(y_{1},\ldots ,y_{n},v_{1},\ldots ,v_{m})\in T_{1}\times T_{2}$ die Abschätzung

${}d(P,Q)^{2}=(x_{1}-y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}-y_{n})^{2}+(u_{1}-v_{1})^{2}+\cdots +(u_{m}-v_{m})^{2}\leq b^{2}+c^{2}\,$

und somit

${}d(P,Q)\leq {\sqrt {b^{2}+c^{2}}}\,.$

Also ist ${}T_{1}\times T_{2}$ beschränkt.

b) Kompakt bedeutet beschränkt und abgeschlossen. Wir zeigen, dass wenn ${}T_{1}$ und ${}T_{2}$ abgeschlossen sind, dass dann auch das Produkt ${}T_{1}\times T_{2}$ abgeschlossen ist, woraus mit Teil (a) die Aussage folgt. Die Abgeschlossenheit einer Teilmenge im ${}\mathbb {R} ^{k}$ kann man mit dem Folgenkriterium überprüfen. Es sei also ${}P_{i}=(x_{i},u_{i})=x_{i}=(x_{1i},\ldots ,x_{ni})$ eine Folge in ${}T_{1}\times T_{2}$, die in ${}\mathbb {R} ^{n+m}$ konvergiere, sagen wir gegen den Grenzwert ${}P=(x_{1},\ldots ,x_{n},u_{1},\ldots ,u_{m})$ . Nach Lemma 33.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) konvergiert dann jede Komponentenfolge und daher konvergieren die beiden Folgen ${}x_{i}=(x_{1i},\ldots ,x_{ni})$ und ${}v_{i}=(v_{1i},\ldots ,v_{mi})$, und zwar gegen ${}x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ und ${}u=(u_{1},\ldots ,u_{m})$. Da diese Folgen in ${}T_{1}$ bzw. ${}T_{2}$ liegen und diese beiden Mengen abgeschlossen sind, ist ${}x\in T_{1}$ und ${}u\in T_{2}$. Also ist ${}P=(x,u)\in T_{1}\times T_{2}$ und somit ist die Produktmenge abgeschlossen.

Aufgabe (9 Punkte)

Beweise den Fundamentalsatz der Algebra.

Lösung

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X]$ ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von Lemma 36.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es ein ${}z_{0}\in {\mathbb {C} }$ mit ${}\vert {P(z)}\vert \geq \vert {P(z_{0})}\vert$ für alle ${}z\in {\mathbb {C} }$. Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum ${}0$ ist. Wir nehmen also an, dass ${}\vert {P(z_{0})}\vert >0$ ist, und müssen dann ein ${}z_{1}$ finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben (d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen ${}z-z_{0}$ betrachten) können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle ${}0$ angenommen wird, und durch Division durch ${}P(z_{0})$ können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert ${}1$ besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom

${}P=1+c_{k}z^{k}+c_{k+1}z^{k+1}+\cdots +c_{d}z^{d}\,$

mit ${}k\geq 1$ und ${}c_{k}\neq 0$ vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen Korollar 21.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es ein ${}\gamma \in {\mathbb {C} }$ mit ${}\gamma ^{k}=-c_{k}^{-1}$. Wir setzen ${}z=\gamma w$ (das ist eine Variablenstreckung). In der neuen Variablen ${}w$ erhalten wir ein Polynom der Form

$1-w^{k}+w^{k+1}Q(w),$

das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt (hierbei ist ${}Q(w)\in {\mathbb {C} }[w]$ ein Polynom). Aufgrund von Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es ein ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ mit ${}\vert {Q(w)}\vert \leq b$ für alle ${}w\in B\left(0,1\right)$. Für reelles ${}w$ mit ${}0<w<{\min {\left(1,b^{-1}\right)}}$ gilt

${}{\begin{aligned}\vert {1-w^{k}+w^{k+1}Q(w)}\vert &\leq \vert {1-w^{k}}\vert +\vert {w^{k+1}Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}+w^{k+1}\vert {Q(w)}\vert \\&=1-w^{k}(1-w\vert {Q(w)}\vert )\\&<1.\end{aligned}}$

Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.

Aufgabe (0 Punkte)

Lösung /Aufgabe/Lösung

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto f(t)={\left(t\sin t,t^{3}e^{-t}\right)},$

in jedem Punkt ${}t\in \mathbb {R}$.

Lösung

Die Ableitung rechnet man komponentenweise aus, sie ist

${}f'(t)={\begin{pmatrix}\sin t+t\cos t\\3t^{2}e^{-t}-t^{3}e^{-t}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Wir betrachten ein Vektorfeld

$F\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

der Form

${}F(x,y)=g(x,y){\begin{pmatrix}-y\\x\end{pmatrix}}\,$

mit einer stetigen Funktion ${}g\colon \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$.

1. Zeige, dass für jeden Punkt ${}(x,y)$ der Richtungsvektor ${}F(x,y)$ senkrecht auf dem Ortsvektor ${}(x,y)$ steht.
2. Es sei ${}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)$. Zeige, dass ${}x^{2}(t)+y^{2}(t)$ konstant ist.
3. Es sei

   $z\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto z(t),$

   eine Lösung der Differentialgleichung

   ${}z'=g(\cos z,\sin z)\,$

   in der einen Variablen ${}z$. Zeige, dass

   ${}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos z(t)\\\sin z(t)\end{pmatrix}}\,$

   eine Lösung der Differentialgleichung ${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'=F(x,y)$ ist.

Lösung

1. Es ist

   ${}{\begin{aligned}\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},F(x,y)\right\rangle &=\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},g(x,y){\begin{pmatrix}-y\\x)\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=g(x,y)\left\langle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-y\\x)\end{pmatrix}}\right\rangle \\&=g(x,y)(-xy+yx)\\&=0,\end{aligned}}$

   als ist der Richtungsvektor senkrecht zum Ortsvektor.
2. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\left(x^{2}(t)+y^{2}(t)\right)}'&=2x(t)x'(t)+2y(t)y'(t)\\&=-2x(t)g(x(t),y(t))y(t)+2y(t)g(x(t),y(t))x(t)\\&=0,\end{aligned}}$

   deshalb ist ${}x^{2}(t)+y^{2}(t)$ konstant.
3. Es ist

   ${}{\begin{aligned}{\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}'&={\begin{pmatrix}\cos z(t)\\\sin z(t)\end{pmatrix}}'\\&={\begin{pmatrix}-z'(t)\cdot \sin z(t)\\z'(t)\cdot \cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=z'(t){\begin{pmatrix}-\sin z(t)\\\cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=g(\cos z(t),\sin z(t)){\begin{pmatrix}-\sin z(t)\\\cos z(t)\end{pmatrix}}\\&=F(x(t),y(t)).\end{aligned}}$

Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ${}v'=Mv$ ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in ${}d$ Variablen und sei ein Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{d}$ vorgegeben.

1. Erstelle eine rekursive Formel für die Punkte ${}P_{n}$ im Polygonzugverfahren zum Startpunkt ${}P_{0}=P$ und zur Schrittweite ${}s$ in dieser Situation.
2. Erstelle eine geschlossene Formel für ${}P_{n}$ zur Schrittweite ${}s$.
3. Erstelle eine Formel für ${}P_{n}$ zur Schrittweite ${}{\frac {1}{n}}$.

Lösung

1. Es ist

   ${}P_{0}=P\,$

   und

   ${}P_{n+1}=P_{n}+sM(P_{n})=(E_{d}+sM)(P_{n})\,$

   mit der Einheitsmatrix ${}E_{d}$.

2. Es ist

   ${}P_{n+1}=(E_{d}+sM)^{n}(P)\,,$

   wie unmittelbar aus Teil (1) durch Induktion folgt.

3. Es ist

   ${}P_{n+1}=(E_{d}+{\frac {1}{n}}M)^{n}(P)\,.$

Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=\vert {xy}\vert =\vert {x}\vert \vert {y}\vert .$

1. Bestimme, welche Richtungsableitungen von ${}f$ im Nullpunkt ${}\left(0,\,0\right)$ existieren.
2. Bestimme für jeden weiteren Punkt ${}P\neq \left(0,\,0\right)$, welche Richtungsableitungen von ${}f$ in ${}P$ existieren.
3. Bestimme, in welchen Punkten ${}P$ die Funktion ${}f$ total differenzierbar ist.

Lösung

1. Es sei ${}v=\left(c,\,d\right)$ der Richtungsvektor, bei der Richtungsableitung geht es darum, ob die Abbildung

   ${}h(t)=f(0+tv)=f(tc,td)=\vert {tc}\vert \cdot \vert {td}\vert =\vert {t^{2}}\vert \vert {c}\vert \cdot \vert {d}\vert =t^{2}\vert {c}\vert \cdot \vert {d}\vert \,$

   im Nullpunkt als Funktion in ${}t$ differenzierbar ist. Dies ist stets der Fall (mit dem Wert ${}0$), da eine (gestreckte) Parabel vorliegt.

2. Es sei ${}P=\left(a,\,b\right)$ und ${}v=\left(c,\,d\right)$. Es sei zunächst ${}a=0$ und ${}b\neq 0$. Es geht um die Abbildung

   ${}h(t)=f(P+tv)=f(tc,b+td)=\vert {tc}\vert \cdot \vert {b+td}\vert =\vert {t}\vert \vert {c}\vert \cdot \vert {b+td}\vert \,.$

   Bei ${}c=0$ handelt es sich um die Nullfunktion, die differenzierbar ist. Es sei also ${}c\neq 0$. Für hinreichend kleines ${}t$ besitzt ${}\vert {b+td}\vert$ das gleiche Vorzeichen wie ${}b$, die Funktion kann man also für ${}t$ hinreichend klein als

   ${}\pm \vert {t}\vert \vert {c}\vert \cdot {\left(b+td\right)}=\pm \vert {t}\vert \vert {c}\vert b+\pm \vert {t}\vert td\,$

   schreiben. Der zweite Summand ist differenzierbar in ${}0$, der erste aber nicht, daher ist diese Abbildung nicht differenzierbar und diese Richtungsableitungen existieren nicht. Der Fall ${}a\neq 0$ und ${}b=0$ ist völlig analog. Für ${}a\neq 0$ und ${}b\neq 0$ siehe den nächsten Teil.

3. Im Nullpunkt ist die Abbildung total differenzierbar mit dem totalen Differential ${}0$. Dazu ist zu zeigen, dass ${}{\frac {\vert {c}\vert \vert {d}\vert }{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}$ für ${}\left(c,\,d\right)\rightarrow 0$ gegen ${}0$ konvergiert. Dies folgt direkt aus der Abschätzung

   ${}{\frac {\vert {c}\vert \vert {d}\vert }{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}\leq {\frac {{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}\cdot {\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}{\sqrt {c^{2}+d^{2}}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}}}\,.$

   Für einen Punkt ${}\left(a,\,b\right)$, für den eine Koordinate gleich ${}0$ ist, existieren nach dem zweiten Teil nicht alle Richtungsableitungen und daher ist ${}f$ in diesen Punkten auch nicht total differenzierbar. Es sei nun ${}P=\left(a,\,b\right)$ mit ${}a,b\neq 0$. Dann gibt es eine hinreichend kleine ${}\epsilon$-Umgebung ${}U$ von ${}P$ derart, dass die Koordinaten der Punkte aus ${}U$ das gleiche Vorzeichen haben wie ${}a$ bzw. ${}b$ (${}U$ liegt ganz im offenen Quadranten von ${}P$). Auf ${}U$ ist

   ${}f(x,y)=\vert {x}\vert \vert {y}\vert =\pm xy\,$

   und daher ist ${}f$ in diesen Punkten total differenzierbar. Daher existieren in diesen Punkten auch alle Richtungsableitungen.

Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y,z)\longmapsto {\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}},$

(es ist also ${}y>0$).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von ${}f$ und stelle den Gradienten zu ${}f$ auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von ${}f$.

Lösung

a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von ${}f$ ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind

${}{\frac {\partial }{\partial x}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {z(x^{2}+y^{2})-2x^{2}z}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {z(-x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,,$

${}{\frac {\partial }{\partial y}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {-2xyz}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,$

und

${}{\frac {\partial }{\partial z}}{\left({\frac {xz}{x^{2}+y^{2}}}\right)}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\,.$

Der Gradient zu ${}f$ in einem Punkt ${}P=(x,y,z)$ ist demnach der Vektor

${}\operatorname {Grad} \,f(P)=\left({\frac {z(-x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},\,{\frac {-2xyz}{(x^{2}+y^{2})^{2}}},\,{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}\right)\,.$

b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient ${}0$ ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei ${}x=0$ der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls ${}0$ und wegen ${}y>0$ folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass ${}z=0$ sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form ${}(0,y,0)$ geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert ${}0$, sodass es kein isoliertes Extremum gibt.

Aufgabe (6 (1+3+2) Punkte)

Wir betrachten die Determinante für ${}2\times 2$- Matrizen als Funktion

$\det \colon \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )=\mathbb {R} ^{4}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,{\begin{pmatrix}x&y\\z&w\end{pmatrix}}\longmapsto xw-zy.$

1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu ${}\det$ und die kritischen Punkte.
2. Untersuche ${}\det$ auf lokale Extrema. Bestimme insbesondere den Typ der Hesse-Matrix im Nullpunkt.
3. Finde einen zweidimensionalen Untervektorraum

   ${}U\subseteq \operatorname {Mat} _{2}(\mathbb {R} )\,,$

   auf dem die (Einschränkung der) Determinante ein lokales Minimum besitzt.

Lösung

Wir arbeiten mit der Variablenreihenfolge ${}x,y,z,w$.

1. Die Jacobi-Matrix ist

   $(w,-z,-y,x).$

   Der einzige kritische Punkt ist der Nullpunkt.

2. Die Hesse-Matrix ist (in jedem Punkt) gleich

   ${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&-1&0\\0&-1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}$

   Diese hat die linear unabhängigen Eigenvektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\-1\\0\end{pmatrix}}$ zum Eigenwert ${}1$ und die beiden linear unabhängigen Eigenvektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}$ zum Eigenwert ${}-1$. Deshalb hat die Hasse-Matrix den Typ ${}(2,-2)$. Insbesondere besitzt die Determinante kein lokales Extremum.

3. Wir betrachten den Untervektorraum der Matrizen, der durch die beiden Bedingungen ${}w=x$ und ${}z=-y$ gegeben ist, also den zweidimensionalen Untervektorraum der Matrizen der Form

   ${\begin{pmatrix}x&y\\-y&x\end{pmatrix}}.$

   Auf diesem Untervektorraum ist die Determinante durch ${}x^{2}+y^{2}$ gegeben und hat im Nullpunkt ein isoliertes globales Minimum.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde eine Lösung ${}v\colon \mathbb {R} _{+}\rightarrow \mathbb {R}$ für die Integralgleichung

${}v(t)=-1+\int _{1}^{t}v(s)^{2}ds\,.$

Lösung

Man kann die zugehörige zeitunabhängige Differentialgleichung

${}v'(t)=v(t)^{2}\,$

mit der Anfangsbedingung ${}v(1)=-1$ gemäß Korollar 30.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) lösen, dies führt auf ${}v(t)=-{\frac {1}{t}}$. Man kann dies aber auch erraten und direkt überprüfen durch

${}{\begin{aligned}-1+\int _{0}^{t}\left({\frac {-1}{s}}\right)^{2}ds&=-1+\int _{0}^{t}s^{-2}ds\\&=-1+\left(-s^{-1}\right)|_{1}^{t}\\&=-1-{\frac {1}{t}}+1\\&=-{\frac {1}{t}}.\end{aligned}}$

Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Vollständigkeit von Abbildungsräumen zu einer kompakten Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$.

Lösung

Es sei

$f_{n}\colon T\longrightarrow E$

eine Cauchy-Folge von stetigen Abbildungen. Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine Grenzabbildung konvergiert, die ebenfalls stetig ist. Zu jedem ${}\epsilon >0$ gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für ${}n,m\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\Vert {f_{n}(x)-f_{m}(x)}\Vert \leq \epsilon \,$

für alle ${}x\in T$} gilt. Daher ist für jedes ${}x\in T$ die Folge ${}{\left(f_{n}(x)\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}E$ und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in ${}E$. Wir nennen den Grenzwert dieser Folge ${}f(x)$, sodass sich insgesamt eine Grenzabbildung

$f\colon T\longrightarrow E,\,x\longmapsto f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x),$

ergibt, gegen die die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Da ${}{\left(f_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen ${}\epsilon >0$ stets ein ${}n_{0}$ derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle ${}x\in T$ gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar gleichmäßig gegen ${}f$ (und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm). Aufgrund von Lemma 55.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist daher ${}f$ stetig und daher ist ${}f\in C$.