Kurs:Analysis/Teil II/14/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Punkte 3 3 2 2 6 9 0 2 5 3 6 5 6 3 6 61




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum .
  2. Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
  3. Die Differenzierbarkeit einer Funktion

    in einem Punkt , wobei ein Intervall und ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum ist.

  4. Ein regulärer Punkt einer differenzierbaren Abbildung

    zwischen endlichdimensionalen reellen Vektorräumen.

  5. Der Gradient einer total differenzierbaren Abbildung

    in einem Punkt eines euklidischen Vektorraumes.

  6. Die Faser zu einer Abbildung

    über einem Punkt .


Lösung

  1. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

    mit folgenden Eigenschaften:

    1. Es ist

      für alle , und ebenso in der zweiten Komponente.

    2. Es ist

      für alle .

    3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.
  2. Eine Teilmenge heißt offen, wenn für jedes ein mit

    existiert.

  3. Die Abbildung heißt in differenzierbar, wenn der Limes

    existiert.

  4. Der Punkt heißt regulär, wenn

    ist.

  5. Der Gradient von in ist der eindeutig bestimmte Vektor mit

    für alle .

  6. Die Faser über ist die Menge


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Banachsche Fixpunktsatz.
  2. Das Lösungsverfahren für eine inhomogene lineare Differentialgleichung in oberer Dreiecksgestalt.
  3. Der Satz über die injektive Abbildung.


Lösung

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Banachsche Fixpunktsatz.
  2. Das Lösungsverfahren für eine inhomogene lineare Differentialgleichung in oberer Dreiecksgestalt.
  3. Der Satz über die injektive Abbildung.


Aufgabe (2 Punkte)

Was bedeutet die Polarisationsformel für ein reelles Skalarprodukt für die Multiplikation von reellen Zahlen?


Lösung

Eindimensional besagt die Polarisationsformel für reelle Zahlen einfach

Insbesondere lässt sich also die reelle Multiplikation auf das Quadrieren, Addieren und Subtrahieren von reellen Zahlen zurückführen.


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei eine Folge in einem metrischen Raum . Zeige, dass die Folge genau dann gegen konvergiert, wenn in jeder offenen Menge mit alle bis auf endlich viele Folgenglieder liegen.


Lösung

Die Folge konvergiere gegen und sei eine offene Umgebung. Es gibt ein mit

Wegen der Folgenkonvergenz gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung und damit gilt.

Umgekehrt gelte die Eigenschaft für jede offene Umgebung von . Dann gilt sie insbesondere für jede offene Ballumgebung und dies bedeutet die Konvergenz der Folge.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

Es seien und Teilmengen und ihre Produktmenge.

a) Zeige, dass wenn und beschränkt sind, dass dann auch beschränkt ist.

b) Zeige, dass wenn und kompakt sind, dass dann auch kompakt ist.


Lösung

a) Da die Mengen beschränkt sind, gibt es reelle Zahlen und mit

für und mit

für . Ausgeschrieben bedeutet dies, dass

und

sind. Durch Quadrieren erhält man für ein Punktepaar die Abschätzung

und somit

Also ist beschränkt.

b) Kompakt bedeutet beschränkt und abgeschlossen. Wir zeigen, dass wenn und abgeschlossen sind, dass dann auch das Produkt abgeschlossen ist, woraus mit Teil (a) die Aussage folgt. Die Abgeschlossenheit einer Teilmenge im kann man mit dem Folgenkriterium überprüfen. Es sei also eine Folge in , die in konvergiere, sagen wir gegen den Grenzwert . Nach Lemma 33.14 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) konvergiert dann jede Komponentenfolge und daher konvergieren die beiden Folgen und , und zwar gegen und . Da diese Folgen in bzw. liegen und diese beiden Mengen abgeschlossen sind, ist und . Also ist und somit ist die Produktmenge abgeschlossen.


Aufgabe (9 Punkte)

Beweise den Fundamentalsatz der Algebra.


Lösung

Es sei ein nichtkonstantes Polynom. Aufgrund von Lemma 36.13 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es ein mit für alle . Wir müssen zeigen, dass dieses Betragsminimum ist. Wir nehmen also an, dass ist, und müssen dann ein finden, an dem der Betrag des Polynoms kleiner wird. Durch Verschieben (d.h. indem wir die Situation in der neuen Variablen betrachten) können wir annehmen, dass das Minimum an der Stelle angenommen wird, und durch Division durch können wir annehmen, dass das Polynom im Nullpunkt den Wert besitzt. D.h. wir können annehmen, dass ein Polynom

mit und vorliegt, das im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt. Wegen Korollar 21.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es ein mit . Wir setzen (das ist eine Variablenstreckung). In der neuen Variablen erhalten wir ein Polynom der Form

das nach wie vor im Nullpunkt das Betragsminimum annimmt (hierbei ist ein Polynom). Aufgrund von Satz 36.12 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) gibt es ein mit für alle . Für reelles mit gilt

Wir haben also Stellen gefunden, wo der Betrag des Polynoms einen kleineren Wert annimmt, ein Widerspruch.


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kurve

in jedem Punkt .


Lösung

Die Ableitung rechnet man komponentenweise aus, sie ist


Aufgabe (5 (1+2+2) Punkte)

Wir betrachten ein Vektorfeld

der Form

mit einer stetigen Funktion .

  1. Zeige, dass für jeden Punkt der Richtungsvektor senkrecht auf dem Ortsvektor steht.
  2. Es sei eine Lösung der Differentialgleichung . Zeige, dass konstant ist.
  3. Es sei

    eine Lösung der Differentialgleichung

    in der einen Variablen . Zeige, dass

    eine Lösung der Differentialgleichung ist.


Lösung

  1. Es ist
    als ist der Richtungsvektor senkrecht zum Ortsvektor.
  2. Es ist
    deshalb ist konstant.
  3. Es ist


Aufgabe (3 (1+1+1) Punkte)

Es sei ein lineares Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten in Variablen und sei ein Punkt vorgegeben.

  1. Erstelle eine rekursive Formel für die Punkte im Polygonzugverfahren zum Startpunkt und zur Schrittweite in dieser Situation.
  2. Erstelle eine geschlossene Formel für zur Schrittweite .
  3. Erstelle eine Formel für zur Schrittweite .


Lösung

  1. Es ist

    und

    mit der Einheitsmatrix .

  2. Es ist

    wie unmittelbar aus Teil (1) durch Induktion folgt.

  3. Es ist


Aufgabe (6 (1+2+3) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

  1. Bestimme, welche Richtungsableitungen von im Nullpunkt existieren.
  2. Bestimme für jeden weiteren Punkt , welche Richtungsableitungen von in existieren.
  3. Bestimme, in welchen Punkten die Funktion total differenzierbar ist.


Lösung

  1. Es sei der Richtungsvektor, bei der Richtungsableitung geht es darum, ob die Abbildung

    im Nullpunkt als Funktion in differenzierbar ist. Dies ist stets der Fall (mit dem Wert ), da eine (gestreckte) Parabel vorliegt.

  2. Es sei und . Es sei zunächst und . Es geht um die Abbildung

    Bei handelt es sich um die Nullfunktion, die differenzierbar ist. Es sei also . Für hinreichend kleines besitzt das gleiche Vorzeichen wie , die Funktion kann man also für hinreichend klein als

    schreiben. Der zweite Summand ist differenzierbar in , der erste aber nicht, daher ist diese Abbildung nicht differenzierbar und diese Richtungsableitungen existieren nicht. Der Fall und ist völlig analog. Für und siehe den nächsten Teil.

  3. Im Nullpunkt ist die Abbildung total differenzierbar mit dem totalen Differential . Dazu ist zu zeigen, dass für gegen konvergiert. Dies folgt direkt aus der Abschätzung

    Für einen Punkt , für den eine Koordinate gleich ist, existieren nach dem zweiten Teil nicht alle Richtungsableitungen und daher ist in diesen Punkten auch nicht total differenzierbar. Es sei nun mit . Dann gibt es eine hinreichend kleine -Umgebung von derart, dass die Koordinaten der Punkte aus das gleiche Vorzeichen haben wie bzw. ( liegt ganz im offenen Quadranten von ). Auf ist

    und daher ist in diesen Punkten total differenzierbar. Daher existieren in diesen Punkten auch alle Richtungsableitungen.


Aufgabe (5 (3+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

(es ist also ).

a) Berechne die partiellen Ableitungen von und stelle den Gradienten zu auf.

b) Bestimme die isolierten lokalen Extrema von .


Lösung

a) Es handelt sich um eine rationale Funktionen in mehreren Variablen ohne Nullstelle des Nenners, daher existieren alle partiellen Ableitungen. Die partiellen Ableitungen von ergeben sich aus der Quotientenregel; sie sind

und

Der Gradient zu in einem Punkt ist demnach der Vektor

b) Da der Definitionsbereich offen ist und da die Funktion stetig differenzierbar ist, ist es für die Existenz eines lokalen Extremums eine notwendige Bedingung, dass der Gradient ist. Dies kann wegen der dritten partiellen Ableitung nur bei der Fall sein. Dann ist die zweite partielle Ableitung ebenfalls und wegen folgt aus der ersten partiellen Ableitung, dass sein muss. Extrema kann es also allenfalls bei Punkten der Form geben. Die Funktion hat aber bei all diesen Punkten den Wert , so dass es kein isoliertes Extremum gibt.


Aufgabe (6 (1+3+2) Punkte)

Wir betrachten die Determinante für - Matrizen als Funktion

  1. Bestimme die Jacobi-Matrix zu und die kritischen Punkte.
  2. Untersuche auf lokale Extrema. Bestimme insbesondere den Typ der Hesse-Matrix im Nullpunkt.
  3. Finde einen zweidimensionalen Untervektorraum

    auf dem die (Einschränkung der) Determinante ein lokales Minimum besitzt.


Lösung

Wir arbeiten mit der Variablenreihenfolge .

  1. Die Jacobi-Matrix ist

    Der einzige kritische Punkt ist der Nullpunkt.

  2. Die Hesse-Matrix ist (in jedem Punkt) gleich

    Diese hat die linear unabhängigen Eigenvektoren und zum Eigenwert und die beiden linear unabhängigen Eigenvektoren und zum Eigenwert . Deshalb hat die Hasse-Matrix den Typ . Insbesondere besitzt die Determinante kein lokales Extremum.

  3. Wir betrachten den Untervektorraum der Matrizen, der durch die beiden Bedingungen und gegeben ist, also den zweidimensionalen Untervektorraum der Matrizen der Form

    Auf diesem Untervektorraum ist die Determinante durch gegeben und hat im Nullpunkt ein isoliertes globales Minimum.


Aufgabe (3 Punkte)

Finde eine Lösung für die Integralgleichung


Lösung

Man kann die zugehörige zeitunabhängige Differentialgleichung

mit der Anfangsbedingung gemäß Korollar 30.6 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) lösen, dies führt auf . Man kann dies aber auch erraten und direkt überprüfen durch


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Vollständigkeit von Abbildungsräumen zu einer kompakten Teilmenge .


Lösung

Es sei

eine Cauchy-Folge von stetigen Abbildungen. Wir müssen zeigen, dass diese Folge gegen eine Grenzabbildung konvergiert, die ebenfalls stetig ist. Zu jedem gibt es ein derart, dass für die Beziehung

für alle } gilt. Daher ist für jedes die Folge eine Cauchy-Folge in und somit, wegen der Vollständigkeit von euklidischen Räumen, konvergent in . Wir nennen den Grenzwert dieser Folge , so dass sich insgesamt eine Grenzabbildung

ergibt, gegen die die Funktionenfolge punktweise konvergiert. Da eine Cauchy-Folge ist, gibt es zu jedem vorgegebenen stets ein derart, dass die Cauchy-Bedingung für alle gilt, konvergiert die Funktionenfolge sogar gleichmäßig gegen (und das bedeutet die Konvergenz in der Supremumsnorm). Aufgrund von Lemma 55.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist daher stetig und daher ist .