Kurs:Analysis/Teil II/25/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 0 2 5 2 4 0 4 4 0 4 7 5 12 6 61




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Ein Skalarprodukt auf einem komplexen Vektorraum.
  2. Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
  3. Die Stetigkeit einer Abbildung

    zwischen metrischen Räumen und in einem Punkt .

  4. Eine Lösung zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung , wobei

    ein Vektorfeld auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist (und ein Intervall und eine offene Teilmenge ist).

  5. Ein lokales Minimum einer Funktion

    auf einem metrischen Raum in einem Punkt .

  6. Der Typ einer symmetrischen Bilinearform auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .


Lösung

  1. Ein Skalarprodukt auf ist eine Abbildung

    mit folgenden Eigenschaften:

    1. Es ist

      für alle , und

      für alle , .

    2. Es ist

      für alle .

    3. Es ist für alle und genau dann, wenn ist.
  2. Eine Teilmenge heißt offen, wenn für jedes ein mit

    existiert.

  3. Die Abbildung heißt stetig in , wenn für jedes ein derart existiert, dass

    gilt.

  4. Eine Abbildung

    auf einem offenen (Teil)Intervall heißt eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

    1. Es ist für alle .
    2. Die Abbildung ist differenzierbar.
    3. Es ist für alle .
  5. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle  mit die Abschätzung

    gilt.

  6. Es sei ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform . Man sagt, dass eine solche Bilinearform den Typ

    besitzt, wobei

    und

    ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  2. Der Satz über das Wegintegral bei Umparametrisierung.
  3. Die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen.


Lösung

  1. Jedes nichtkonstante Polynom über den komplexen Zahlen besitzt eine Nullstelle.
  2. Es sei eine offene Teilmenge in einem euklidischen Vektorraum,

    ein stetiges Vektorfeld und

    eine stetig differenzierbare Kurve. Es sei

    eine bijektive, monoton wachsende, stetig differenzierbare Funktion und sei . Dann gilt

  3. Es seien und endlichdimensionale -Vektorräume, und offene Mengen, und und Abbildungen derart, dass gilt. Es sei weiter angenommen, dass in und in total differenzierbar ist. Dann ist in differenzierbar mit dem totalen Differential


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Lösung

Es ist

Division durch ergibt die Behauptung.


Aufgabe (5 Punkte)

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) verlaufen und eine Sprunghöhe von erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?


Lösung

Es sei der Radius des Kreises, der Winkel im Bogenmaß und wie in der Skizze. Dann gelten die Beziehungen

und

Daraus ergibt sich ( ist sicher keine Lösung)

und somit

Multiplikation mit ergibt

bzw.

Diese Funktion hat für eine Nullstelle, die für das Problem aber irrelevant ist. An der Stelle ist die Funktion streng wachsend und an der Stelle besitzt die Funktion einen negativen Wert, nach dem Zwischenwertsatz muss es also im Intervall eine Nullstelle geben, die man mit einer Intervallhalbierung berechnen kann.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Kurve

in jedem Punkt .


Lösung

Die Ableitung rechnet man komponentenweise aus, sie ist


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

zwischen und .


Lösung

Es ist . Daher ist die Länge des Graphen gleich dem Integral (mit der Substitution )


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Formuliere den Lösungsansatz für Zentralfelder und beweise dessen Korrektheit.


Lösung

Es sei eine offene Teilmenge in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum . Es sei

ein stetiges Zentralfeld zur stetigen Funktion

Es sei und es sei

eine Lösung der eindimensionalen Differentialgleichung

Dann ist

eine Lösung des Anfangswertproblems

Es ist

und

so dass eine Lösung des Anfangswertproblems vorliegt.


Aufgabe (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

durch einen Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Lösung

Der Potenzreihenansatz

führt eingesetzt in die Differentialgleichung auf

Aufgrund der Anfangsbedingung ist

Der Vergleich des konstanten Termes führt auf

Der Vergleich des linearen Termes führt auf

also . Der Vergleich des quadratischen Termes führt auf

also . Der Vergleich des Termes zu führt auf

also . Der Vergleich des Termes zu führt auf

also . Somit ist die polynomiale Approximation bis zur Ordnung der Lösung gleih


Aufgabe (0 Punkte)


Lösung /Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass es kein reelles Polynom in zwei Variablen vom Grad gibt, das die folgenden Eigenschaften besitzt.

  1. Es ist .
  2. Es ist .
  3. Es ist
  4. Es ist
  5. Es ist
  6. Es ist


Lösung

Wegen der ersten Bedingung können wir direkt als

ansetzen. Wegen der zweiten Bedingung ist . Die partielle Ableitung von nach ist

und die partielle Ableitung von nach ist

Die dritte Bedingung ergibt und die fünfte Bedingung ergibt . Die vierte Bedingung ergibt und die sechste Bedingung ergibt

Für die verbleibenden Unbekannten haben wir also insgesamt das lineare Gleichungssystem

Aus den beiden ersten Gleichungen ergibt sich

was mit der dritten Gleichung nicht vereinbar ist.


Aufgabe (7 (1+2+4) Punkte)

Wir betrachten die Funktion auf dem .

  1. Bestimme die kritischen Punkte von .
  2. Zeige, dass keine lokalen Extrema besitzt.
  3. Es sei

    der Einheitskreis und die Einschränkung von auf . Bestimme die lokalen Extrema von .


Lösung

  1. Es ist

    und

    Diese beiden Funktionen sind nur im Punkt gleich , also ist der einzige kritische Punkt.

  2. Wegen (1) kann allenfalls im Nullpunkt ein lokales Extremum vorliegen. Wenn dort ein lokales Extremum vorliegen würde, so hätte auch die Einschränkung auf eine jede Gerade durch den Nullpunkt dort ein lokales Extremum. Auf der durch gegebenen Geraden ist die eingeschränkte Funktion gleich , und diese ist streng wachsend und besitzt kein lokales Extremum.
  3. Der Einheitskreis wird durch

    parametrisiert, und besitzt ein lokales Extremum in einem Punkt genau dann, wenn ein lokales Extremum in besitzt. Die zusammengesetzte Funktion ist

    Es ist

    Die Nullstellen hiervon sind (wir beschränken uns auf das Intervall , und betrachten die drei Faktoren) . Es ist

    Daher ist

    Somit liegt in ein lokales Maximum und dann abwechselnd lokale Minima und Maxima vor.


Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Ist surjektiv?
  2. Ist injektiv?
  3. Skizziere das Bild des Achsenkreuzes unter .
  4. Bestimme die Jacobi-Matrix zu in einem Punkt .
  5. Bestimme die kritischen Punkte von .


Lösung

  1. Die Abbildung ist nicht surjektiv, da beispielsweise nicht erreicht wird.
  2. Die Abbildung ist nicht injektiv, da und beide auf abgebildet werden.
  3. Die -Achse , wird auf , abgebildet, also eine liegende flache nach rechts offene Parabel, die -Achse , wird auf , abgebildet, also auf die -Achse.
  4. Die Jacobi-Matrix ist
  5. Die Determinante der Jacobi-Matrix ist

    die kritischen Punkte sind also die Punkte, wo , also die Punkte auf der -Achse.


Aufgabe (12 Punkte)

Beweise den Satz über die Umkehrabbildung.


Lösung

  Wir beginnen mit einigen Reduktionen. Zuerst kann man durch Verschiebungen im Definitionsraum und im Zielraum annehmen, dass und ist. Es sei die durch das totale Differential gegebene bijektive lineare Abbildung mit der linearen Umkehrabbildung . Wir betrachten die Gesamtabbildung

Diese ist wieder stetig differenzierbar, und das totale Differential davon ist . Wenn wir für diese zusammengesetzte Abbildung die Aussage zeigen können, so folgt die Aussage auch für , da eine lineare Abbildung stetig differenzierbar ist. Wir können also annehmen, dass eine stetig differenzierbare Abbildung mit ist, deren totales Differential in die Identität ist. Wir werden dennoch von und sprechen, um klar zu machen, ob sich etwas im Definitionsraum oder im Zielraum abspielt.
Sei fixiert. Wir betrachten die Hilfsabbildung

Diese Hilfsabbildung erfüllt folgende Eigenschaft: Ein Punkt ist genau dann ein Fixpunkt von , also ein Punkt mit , wenn ist, d.h. wenn ein Urbild von unter ist. Die Abbildungen sind selbst stetig differenzierbar und es gilt .
  Wir möchten den Banachschen Fixpunktsatz auf anwenden, um dafür einen Fixpunkt zu gewinnen und diesen als Urbildpunkt von unter nachweisen zu können. Wir fixieren eine euklidische Norm. Wegen der Stetigkeit von und wegen

gibt es ein , , derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Für jedes gilt daher nach der Mittelwertabschätzung die Abschätzung

Für und gilt

Für jedes liegt also eine Abbildung

vor.
Wegen der oben formulierten Ableitungseigenschaft und aufgrund der Mittelwertabschätzung gilt für zwei Punkte die Abschätzung

so dass eine stark kontrahierende Abbildung ist. Da ein euklidischer Vektorraum und damit auch die abgeschlossene Kugel vollständig sind (siehe Aufgabe 36.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) und Aufgabe 36.22 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))), besitzt jede Abbildung aufgrund des Banachschen Fixpunktsatzes genau einen Fixpunkt aus , den wir mit bezeichnen. Aufgrund der eingangs gemachten Überlegung ist .
Zu gehört das eindeutige Urbild zur offenen Kugel , wie die obige Abschätzung zeigt. Wir setzen und , wobei aufgrund der Stetigkeit von offen ist. Die eingeschränkte Abbildung

ist wieder stetig und bijektiv. Insbesondere gibt es eine Umkehrabbildung

die wir als stetig differenzierbar nachweisen müssen.
Wir zeigen zuerst, dass Lipschitz-stetig ist mit der Lipschitz-Konstanten . Seien gegeben mit den eindeutigen Elementen mit und . Es gelten die Abschätzungen

wobei die letzte Abschätzung auf obiger Überlegung beruht. Durch Umstellung ergibt sich


Aufgrund von Lemma 51.2 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) ist auch differenzierbar und es gilt die Formel

Aus dieser Darstellung lässt sich auch die stetige Abhängigkeit der Ableitung von ablesen, da stetig ist, da das totale Differential von nach Voraussetzung stetig von abhängt und da das Bilden der Umkehrmatrix ebenfalls stetig ist.


Aufgabe (6 (3+3) Punkte)

  1. Es sei eine zusammenhängende offene Menge und sei ein Gradientenfeld auf . Zeige, dass das Potential zu bis auf eine Konstante eindeutig bestimmt ist.
  2. Es seien offene sternförmige Mengen mit der Eigenschaft, dass zusammenhängend ist. Es sei

    ein stetig differenzierbares Vektorfeld, das die Integrabilitätsbedingung erfüllt. Zeige, dass ein Gradientenfeld ist.


Lösung

  1. Es seien Potentiale für das Gradientenfeld, d.h. es gilt

    Dann ist

    es ist also zu zeigen, dass das Nullfeld nur die konstanten Funktionen als Potentiale besitzt. Es seien Punkte in und sei ein stetig differenzierbarer Weg, der und verbindet. Für das Wegintegral zum Nullfeld über und einem Potential gilt nach Lemma 57.8 (Analysis (Osnabrück 2021-2023))

    d.h. ist konstant.

  2. Nach Satz 58.9 (Analysis (Osnabrück 2021-2023)) besitzt auf ein Potential, sagen wir , und ebenso besitzt auf ein Potential, sagen wir . Es sei ein Punkt des Durchschnittes. Wir ersetzen das Potential auf durch das verschobene Potential

    Es ist dann

    Da zusammenhängend ist, unterscheiden sich zwei Potentiale darauf nur um eine Konstante. Daher stimmt das Potential , eingeschränkt auf , mit dem Potential , eingeschränkt auf , überein, da sie in einem Punkt übereinstimmen. Die beiden Potentiale und passen also auf der Übergangsmenge zusammen und definieren daher auf ein Potential.